Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 960 cm2. Trên các cạnh AB, BC, CD và DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = 3/4 AB, BN = 1/4 BC, CP = 1/3 CD và DQ = QA. Tính diện tích hình MNPQ.
Hướng dẫn:
SMNPQ = SABCD - (SAMQ+SBMN+SCNP+SPDQ)
+ Tính diện tích 4 tam giác theo độ dài của chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật
+ Từ đó tính được:
SMNPQ =73 (cm2)
Bài này có rất nhiều lời giải tương tự chỉ thay số thôi em
Vẽ hình
Tính diện tích 4 tam giác
MNPQ = ABCD - S4 tam giác
Hình như mình từng nói với bạn về cái bổ đề cho tam giác ABC với E, F lần lượt thuộc cạnh AC với AB thì \(\dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\dfrac{AE.AF}{AB.AC}\) rồi đúng không?
Áp dụng bổ đề ấy cho bài toán này, ta được \(\dfrac{S_{AMQ}}{S_{ABD}}=\dfrac{AM}{AB}.\dfrac{AQ}{AD}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}\)
\(\dfrac{S_{BMN}}{S_{BAC}}=\dfrac{BM}{BA}.\dfrac{BN}{BC}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}\)
\(\dfrac{S_{CNP}}{S_{CBD}}=\dfrac{CN}{CB}.\dfrac{CP}{CD}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}\)
\(\dfrac{S_{DPQ}}{S_{DAC}}=\dfrac{DQ}{DA}.\dfrac{DP}{DC}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{8}\)
Mà \(S_{ABD}=S_{BAC}=S_{CBD}=S_{DAC}=\dfrac{1}{2}S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}.480=240\) và \(S_{AMQ}+S_{BMN}+S_{CNP}+S_{DPQ}=S_{ABCD}-S_{MNPQ}=480-S_{MNPQ}\) nên từ các đẳng thức trên suy ra \(\dfrac{480-S_{MNPQ}}{240}=\dfrac{23}{24}\) \(\Rightarrow S_{MNPQ}=250\left(cm^2\right)\)
SBMN = \(\dfrac{1}{2}\)SABN (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh N xuống đáy AB và BM = \(\dfrac{1}{2}\)AB)
SABN = \(\dfrac{2}{3}\)SABC (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh A xuống đáy BC và BN = \(\dfrac{2}{3}\)BC)
SABC = \(\dfrac{1}{2}\)SABCD (vì ABCD là hình chữ nhật)
SBMN = \(\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{2}\)SABCD =480 \(\times\) \(\dfrac{1}{6}\) = 80(cm2)
SAMQ = \(\dfrac{1}{2}\)SABQ(vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh Q xuống đáy AB và AM = \(\dfrac{1}{2}\)AB)
SABQ = \(\dfrac{1}{2}\)SABD (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh B xuống đáy ADvà AQ = \(\dfrac{1}{2}\)AD)
SABD = \(\dfrac{1}{2}\)SABCD (vì ABCD là hình chữ nhật)
SAMQ = \(\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}\)SABCD = 480 \(\times\) \(\dfrac{1}{8}\) = 60(cm2)
SDPQ = \(\dfrac{1}{2}\)SAPD (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh P xuống đáy AD và DQ = \(\dfrac{1}{2}\)AD)
PD = DC - CP = DC - \(\dfrac{3}{4}\)DC = \(\dfrac{1}{4}\)DC
SAPD = \(\dfrac{1}{4}\)SACD (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh A xuống đáy CD và PD = \(\dfrac{1}{4}\)CD)
SACD = \(\dfrac{1}{2}\)SABCD(vì ABCD là hình chữ nhật)
SDPQ = \(\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{2}\)SABCD = 480 \(\times\dfrac{1}{16}\) = 30 (cm2)
SCPN = \(\dfrac{3}{4}\)SCDN(vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh N xuống đáy CD và CP = \(\dfrac{3}{4}\)CD)
CN = BC - BN = BC - \(\dfrac{2}{3}\)BC = \(\dfrac{1}{3}\)BC
SCDN = \(\dfrac{1}{3}\)SCBD Vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh D xuống đáy BC và CN = \(\dfrac{1}{3}\)BC)
SBCD = \(\dfrac{1}{2}\)SABCD (vì ABCD là hình chữ nhật)
SCPN = \(\dfrac{3}{4}\times\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}\)SABCD = 480 \(\times\) \(\dfrac{1}{8}\) = \(60\) (cm2)
Diện tích của tứ giác MNPQ là:
480 - (80 + 60 + 30 + 60) = 250(cm2)
Đáp số: 250 cm2
SAMQ = \(\dfrac{1}{2}\)AM\(\times\)AQ = \(\dfrac{1}{2}\)\(\times\)\(\dfrac{1}{3}\)AB\(\times\)\(\dfrac{1}{2}\)AD = \(\dfrac{1}{12}\)SABCD
BM = AB - AM = AB - \(\dfrac{1}{3}\)AB = \(\dfrac{2}{3}\)AB
SBMN = \(\dfrac{1}{2}\)BM\(\times\)BN = \(\dfrac{1}{2}\)\(\times\)\(\dfrac{2}{3}\)AB\(\times\)\(\dfrac{1}{2}\)BC = \(\dfrac{1}{6}\)SABCD
SCPN = \(\dfrac{1}{2}\)CN \(\times\) CP = \(\dfrac{1}{2}\) \(\times\) \(\dfrac{1}{2}\)BC\(\times\)\(\dfrac{1}{3}\)CD = \(\dfrac{1}{12}\)SABCD
DP = CD - CP = CD - \(\dfrac{1}{3}\)CD = \(\dfrac{2}{3}\)CD
SDPQ = \(\dfrac{1}{2}\)DP\(\times\)DQ = \(\dfrac{1}{2}\)\(\times\)\(\dfrac{2}{3}\)CD \(\times\)\(\dfrac{1}{2}\)AD = \(\dfrac{1}{6}\)SABCD
SMNPQ = SABCD - (SAMQ + SBMN + SCPN + SDPQ)
Phân số chỉ diện tích của tứ giác MNPQ là:
1 - \(\dfrac{1}{12}\) - \(\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{6}\) = \(\dfrac{1}{2}\) (SACBD)
Diện tích của tứ giác MNPQ là:
360 \(\times\) \(\dfrac{1}{2}\) = 180(cm2)
Đáp số: 180 cm2
Cô còn đang vẽ hình em ơi.
SAMQ = \(\dfrac{1}{2}\)SAMD(vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh M xuống đáy AD và AQ = \(\dfrac{1}{2}\)AD)
SADM = \(\dfrac{2}{3}\)SADB ( vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh D xuống đáy AB và AM = \(\dfrac{2}{3}\)AB)
SABD = \(\dfrac{1}{2}\)SABCD (vì ABCD là hình chữ nhật)
SAMQ = \(\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{2}\)SABCD = 432 \(\times\)\(\dfrac{1}{6}\) = 72 (cm2)
SBMN = \(\dfrac{2}{3}\)SBMC (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh M xuống đày BC và BM = \(\dfrac{2}{3}\)BC)
BM = AB - AM = AB - \(\dfrac{2}{3}\)AB = \(\dfrac{1}{3}\)AB
SBMC = \(\dfrac{1}{3}\)SABC (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh C xuống đáy AB và BM = \(\dfrac{1}{3}\)AB)
SABC = \(\dfrac{1}{2}\)SABCD (vì ABCD là hình chữ nhật)
SBMN = \(\dfrac{2}{3}\)\(\times\)\(\dfrac{1}{3}\)\(\times\)\(\dfrac{1}{2}\)SABCD = 432 \(\times\) \(\dfrac{1}{9}\) = 48 (cm2)
SCNP = \(\dfrac{1}{3}\)SCND( vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh N xuống đáy CD và CP = \(\dfrac{1}{3}\)CD)
CN = BC - BN = BC - \(\dfrac{2}{3}\)BC = \(\dfrac{1}{3}\)BC
SCND = \(\dfrac{1}{3}\)SBCD (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh D xuống đáy BC và CN = \(\dfrac{1}{3}\)BC)
SBCD = \(\dfrac{1}{2}\)SABCD (vì ABCD là hình chữ nhật)
SCPN = \(\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}\)SABCD = 432 \(\times\) \(\dfrac{1}{18}\) = 24 (cm2)
SDPQ = \(\dfrac{1}{2}\)SAPD (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh P xuống đáy AD và DQ = \(\dfrac{1}{2}\)AD)
PD = CD - CP = CD - \(\dfrac{1}{3}\)CD = \(\dfrac{2}{3}\)CD
SAPD = \(\dfrac{2}{3}\)SACD (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh A xuống đáy CD và PD = \(\dfrac{2}{3}\)CD)
SACD = \(\dfrac{1}{2}\)SABCD (vì ABCD là hình chữ nhật)
SDPQ = \(\dfrac{1}{2}\)\(\times\)\(\dfrac{2}{3}\times\)\(\dfrac{1}{2}\)SABCD = 432 \(\times\)\(\dfrac{1}{6}\) = 72 (cm2)
Diện tích của tứ giác MNPQ là:
432 - (72 + 48 + 24 + 72) = 216 (cm2)
Đáp số 216 cm2
SAMQ = \(\dfrac{1}{2}\)AM\(\times\)AQ = \(\dfrac{1}{2}\)\(\times\)\(\dfrac{2}{3}\)AB\(\times\)\(\dfrac{1}{2}\)AD = \(\dfrac{1}{6}\)SABCD
BM = AB - AM = AB - \(\dfrac{2}{3}\)AB = \(\dfrac{1}{3}\)AB
SBMN = \(\dfrac{1}{2}\)\(\times\)BM\(\times\)BN = \(\dfrac{1}{2}\)\(\times\)\(\dfrac{1}{3}\)AB\(\times\)\(\dfrac{2}{3}\)BC = \(\dfrac{1}{9}\)SABCD
CN = BC - BN = BC - \(\dfrac{2}{3}\)BC = \(\dfrac{1}{3}\)BC
SCPN = \(\dfrac{1}{2}\times\)\(\dfrac{1}{3}\)BC\(\times\)\(\dfrac{1}{3}\)CD = \(\dfrac{1}{18}\)SABCD
PD = DC - CP = DC - \(\dfrac{1}{3}\)CD = \(\dfrac{2}{3}\)CD
SDPQ = \(\dfrac{1}{2}\)\(\times\)\(\dfrac{2}{3}\)CD \(\times\)\(\dfrac{1}{2}\)AD = \(\dfrac{1}{6}\)SABCD
Phân số chỉ diện tích của tứ giác MBPQ là:
1 - \(\dfrac{1}{6}\) - \(\dfrac{1}{9}\) - \(\dfrac{1}{18}\) - \(\dfrac{1}{6}\) = \(\dfrac{1}{2}\) (SABCD)
Diện tích tứ giác MNPQ là:
216 \(\times\) 12 = 108 (cm2)
Đáp số: 108 cm2
SQAM = SQDP = \(\dfrac{1}{6}\) SABCD = 48 cm2
SMBN = SPNC = \(\dfrac{1}{12}\) SABCD = 24 cm2
Diện tích hình MNPQ là:
288 - (48 + 24) x 2 = 144 (cm2)
Đáp số: 144 cm2
Kẻ 2 đường chéo của MNPQ lần lượt là MP; NQ
Vì AM =2/3 AB => MB = 1/3AB
=> Vì AB = DC => 1/3 AB = 1/3CD => MB = CP
=> Kẻ đường chéo thứ nhất từ M xuống C = Chiều rộng của hcn ABCD
Vì AM =2/3 AB => MB = 1/3AB
=> Vì AB = DC => 1/3 AB = 1/3CD => MB = CP
=> Kẻ đường chéo thứ nhất từ M xuống C = Chiều rộng của hcn ABCD
Vì AM =2/3 AB => MB = 1/3AB
=> Vì AB = DC => 1/3 AB = 1/3CD => MB = CP
=> Kẻ đường chéo thứ nhất từ M xuống C = Chiều rộng của hcn ABCD
Vì BN = NC ; DQ = QA
=> Vì BC =AD=> BN = NC = DQ = QA
=> Kẻ đường chéo thứ 2 từ N sang Q = Chiều dài của hcn ABCD
=> SMNPQ = NQ*MP : 2
Mà NQ = AB và MP = BC
=> SMNPQ = AB* BC : 2
Mà AB*BC= 288
=> SMNPQ = 288 : 2
SMNPQ = 144 (cm2)
Kẻ 2 đường chéo của MNPQ lần lượt là MP; NQ
Vì AM =2/3 AB => MB = 1/3AB
=> Vì AB = DC => 1/3 AB = 1/3CD => MB = CP
=> Kẻ đường chéo thứ nhất từ M xuống C = Chiều rộng của hcn ABCD
Vì BN = NC ; DQ = QA
=> Vì BC =AD=> BN = NC = DQ = QA
=> Kẻ đường chéo thứ 2 từ N sang Q = Chiều dài của hcn ABCD
=> SMNPQ = NQ*MP : 2
Mà NQ = AB và MP = BC
=> SMNPQ = AB* BC : 2
Mà AB*BC= 288
=> SMNPQ = 288 : 2
SMNPQ = 144 (cm2)
Xl lúc nãy mình làm nhầm
SAMQ = \(\dfrac{2}{3}\)SABQ (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh Q xuống đáy AB và AM = \(\dfrac{2}{3}\) AB)
SABQ = \(\dfrac{1}{2}\)SABD (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh B xuống đáy AD và AQ = \(\dfrac{1}{2}\)AD)
SABD = \(\dfrac{1}{2}\)SABCD (vì ABCD là hình chữ nhật)
SAMQ = \(\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}\)SABCD = 216 \(\times\) \(\dfrac{1}{6}\) = 36 (cm2)
SBMN = \(\dfrac{1}{3}\)BMC (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ điỉnh M xuống đáy BC và BN = \(\dfrac{1}{3}\)BC)
BM = AB - AM = AB - \(\dfrac{2}{3}\)AB = \(\dfrac{1}{3}\)AB
SBCM = \(\dfrac{1}{3}\)SACB (vì hai tam giâc có chung chiều cao hạ từ đỉnh C xuống đáy AB và BM = \(\dfrac{1}{3}\)AB)
SABC = \(\dfrac{1}{2}\)SABCD (vì ABCD là hình chữ nhật)
SBMN = \(\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}\) = \(\dfrac{1}{18}\)SABCD = 216 \(\times\) 18 = 12 (cm2)
CN = BC - BN = BC - \(\dfrac{1}{3}\)BC = \(\dfrac{2}{3}\)BC
SCPN = \(\dfrac{2}{3}\)SBPC (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh P xuống đáy BC và CN = \(\dfrac{2}{3}\)BC)
SPBC = \(\dfrac{1}{2}\)SBCD (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh B xuống đáy CD và PC = \(\dfrac{1}{2}\)CD)
SBCD = \(\dfrac{1}{2}\)SABCD (vì ABCD là hình chữ nhật)
SCPN = \(\dfrac{2}{3}\times\)\(\dfrac{1}{2}\times\)\(\dfrac{1}{2}\)SABCD =\(\dfrac{1}{6}\)SABCD = 216 \(\times\) \(\dfrac{1}{6}\) = 36 (cm2)
SDPQ = \(\dfrac{1}{2}\)SDQC (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh Q xuống đáy DC và DP = \(\dfrac{1}{2}\)DC)
SDQC = \(\dfrac{1}{2}\)SACD (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh C xuống đáy AD và DQ = \(\dfrac{1}{2}\)AD )
SACD = \(\dfrac{1}{2}\) SABCD (vì ABCD là hình chữ nhật)
SDPQ = \(\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}\)SABCD = 216 \(\times\) \(\dfrac{1}{8}\) = 27 (cm2)
Diện tích tứ giác MNPQ là:
216 - ( 36 + 12 + 36 + 27) = 105 (cm2)
Đáp số: 105 cm2
SAMQ = \(\dfrac{1}{2}\)AM\(\times\)AQ = \(\dfrac{1}{2}\times\) \(\dfrac{1}{2}\)AB\(\times\)\(\dfrac{1}{2}\)AD = \(\dfrac{1}{8}\)\(\times\)SABCD
SDPQ = \(\dfrac{1}{2}\)DQ\(\times\)DP = \(\dfrac{1}{2}\)\(\times\)\(\dfrac{1}{2}\) AD\(\times\)\(\dfrac{1}{2}\)DP = \(\dfrac{1}{8}\) \(\times\) SABCD
CN = CB - BN = CB - \(\dfrac{1}{3}\)CB = \(\dfrac{2}{3}\)CB
SCPN = \(\dfrac{1}{2}\)CP\(\times\)CN = \(\dfrac{1}{2}\)\(\times\)\(\dfrac{1}{2}\) CD\(\times\)\(\dfrac{2}{3}\)CB = \(\dfrac{1}{6}\)SABCD
SBNM = \(\dfrac{1}{2}\)BN\(\times\)BM = \(\dfrac{1}{2}\)\(\times\)\(\dfrac{1}{2}\)AB\(\times\)\(\dfrac{1}{3}\)BC = \(\dfrac{1}{12}\)SABCD
Diện tích tứ giác MNPQ bằng: (1 - \(\dfrac{1}{8}\) - \(\dfrac{1}{8}\) - \(\dfrac{1}{6}\) - \(\dfrac{1}{12}\) )SABCD = \(\dfrac{1}{2}\)SABCD
Diện tích của tứ giác MNPQ là: 240\(\times\)\(\dfrac{1}{2}\) = 120 (cm2)