a) Kẻ O'K vuông góc với OB tại K.

Ta có: \(OO'=AO+AO'=R+r\). Dễ thấy tứ giác BKO'C là hình chữ nhật

\(\Rightarrow O'C=BK\Rightarrow BK=r\)\(\Rightarrow OK=OB-BK=R-r\)

Áp dụng ĐL Pytago cho \(\Delta\)OKO' vuông tại K: \(OO'^2-OK^2=O'K^2\)

\(\Leftrightarrow\left(R+r\right)^2-\left(R-r\right)^2=O'K^2\)

\(\Leftrightarrow O'K^2=\left(R+r-R+r\right)\left(R+r+R-r\right)=2r.2R=4Rr\)

\(\Leftrightarrow O'K=2\sqrt{Rr}.\)Mà O'K=BC => \(BC=2\sqrt{Rr}\)

b) Sửa đề: CMR: O'B; OC và AH đồng qui ...

Gọi giao điểm của OC và AH là I. Áp dụng hệ quả ĐL Thales: 

\(\frac{AI}{O'C}=\frac{OA}{OO'}=\frac{R}{R+r}\)\(\Rightarrow\frac{AI}{r}=\frac{R}{R+r}\Leftrightarrow AI=\frac{Rr}{R+r}\)(1)

\(\frac{HI}{OB}=\frac{CH}{BC}=\frac{O'A}{OO'}\)(Do OB // AH // O'C) \(\Rightarrow\frac{HI}{R}=\frac{r}{R+r}\Leftrightarrow HI=\frac{Rr}{R+r}\)(2)

Từ (1) và (2) => AI=HI => I là trung điểm của AH => OC đi qua trung điểm của AH

Tương tự ta c/m được O'B đi qua trung điểm AH => ĐPCM.

Bạn bồi dưỡng Toán phải không?

hình :

a) Đường tròn ( O ) và ( O' ) tiếp xúc ngoài tại A tại A nên A,O,O' thẳng hàng.

Qua A vẽ tiếp tuyến chung cắt BC tại M,ta được MB = MC = MA 

Suy ra BC = 2MA

Ta có : \(MO\perp MO'\) 

áp dụng hệ thức lượng vào \(\Delta MOO'\)vuông tại M,ta có :

MA² = AO.AO' hay MA² = R.r 

\(\Rightarrow MA=\sqrt{R.r}\)

\(\Rightarrow BC=2\sqrt{R.r}\)

b) gọi D là giao điểm của OC và AH. 

Ta có OB // O'C // AH ( cùng vuông góc với BC )

Theo định lí Ta-let, ta có :

\(\frac{DH}{OB}=\frac{CD}{CO}=\frac{AO'}{OO'}\)

Suy ra : \(\frac{DH}{R}=\frac{r}{R+r}\Rightarrow DH=\frac{R.r}{R+r}\)

Tương tự : \(DA=\frac{R.r}{R+r}\)

\(\Rightarrow AD=DH\)

CMTT O'B cũng đi qua D

Vậy 3 đường thẳng OC,O'B,AH đồng quy tại D

b) Ta có: M là trung điểm của cạnh huyền BC

⇒ MA = MB = MC

⇒ ΔMAB cân tại M ⇒ ∠(MAB ) = ∠(MBA )

Lại có: ΔOAB cân tại O ⇒ ∠(OAB ) = ∠(OBA )

⇒ ∠(MAB ) + ∠(OAB ) = ∠(MBA ) + ∠(OBA ) ⇔ ∠(MAO ) = ∠(MBO) = 90 0

⇒ MA là tiếp tuyến của (O)

Chứng minh tương tự: MA là tiếp tuyến của (O')

Vậy MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O')

https://diendantoanhoc.net/index.php?app=core&module=attach&section=attach&attach_id=20602

Vào link này xem nhé

Học tốt!!!!!!!

Tam giác DIE vuông tại I có IK là trung tuyến thuộc cạnh huyền DE nên: KI = KD = (1/2).ED (tính chất tam giác vuông)

Suy ra tam giác IKD cân tại K