4m² + m = 5n² + n <=> (5m² - 5n²) + (m - n) = m² <=> 5.(m - n).(m + n) + (m - n) = m²

<=> (m - n).(5m + 5n + 1) = m²  (1)

Gọi d = ƯCLN (m- n; 5m + 5n + 1) 

=> m - n chia hết cho d và 5m + 5n+ 1 chia hết cho d

=> m² = (m - n).(5m + 5n + 1) chia hết cho d²

=> m chia hết cho d

lại có: 5.(m - n) + (5m + 5n + 1) = 10m + 1 chia hết cho d

10m chia hết cho d nên 1 chia hết cho d 

=> m - n và 5m + 5n + 1 nguyên tố cùng nhau    (2)

Từ (1)(2) => m - n; 5m + 5n + 1 đều là số chính phương

Ta có:

4m² + m

= 5n² + n

<=> (5m² - 5n²) + (m - n) = m² 

<=> 5.(m - n).(m + n) + (m - n) = m²

<=> (m - n).(5m + 5n + 1) = m²  (*)

Gọi d = ƯCLN (m- n; 5m + 5n + 1) 

=> m - n chia hết cho d và 5m + 5n+ 1 chia hết cho d

=> m² = (m - n).(5m + 5n + 1) chia hết cho d²

=> m chia hết cho d

Ta lại có: 5.(m - n) + (5m + 5n + 1) = 10m + 1 chia hết cho d

10m chia hết cho d nên 1 chia hết cho d 

=> m - n và 5m + 5n + 1 nguyên tố cùng nhau    (**)

Từ (*)(**) => m - n; 5m + 5n + 1 đều là số chính phương

hok tốt

Mk muốn giúp bạn lắm nhưng mà chưa học đến, sory nha

4m²+m=5m²+n suy ra m= 5m²+n-4m²= m²+n

ta có m-n

m²+n -n=m² là một số chính phương

mình chưa học đâu . sorry

Ta có : 

\(4m^2+m=5n^2+n\)

\(\Leftrightarrow5m^2+m=5n^2+n+m^2\)

\(\Leftrightarrow5\left(m^2-n^2\right)+\left(m-n\right)=m^2\)

\(\Leftrightarrow\left(m-n\right)\left(5m+5n+1\right)=m^2\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}m-n⋮d\\5m+5n+1⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}m^2=\left(m-n\right)\left(5m+5n+1\right)⋮d^2\\5\left(m-n\right)\left(5m+5n+1\right)⋮d\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m⋮d\\10m+1⋮d\end{cases}\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1}\)

Vậy \(m-n,5m+5n+1\) nguyên tố cùng nhau . Mà tích của chúng là một số chính phương nên bản thân \(m-n,5m+5n+1\) cũng là số chính phương ( đpcm)

Chúc bạn học tốt !!!

4m²+m=5n²+n

{=}5m²+m=5n²+n+m²

{=}5(m²-n²)+(m-n)=m²

{=}(m-n)(5m+5n+1)=m²

là sao

sao gì ??????

Để giải được bài toán sau thì ta liên tưởng đến một tính chất rất đặc biệt và hữu ích được phát biểu như sau:

\("\) Nếu  \(a,b\)  là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và  \(a.b\)  là một số chính phương thì \(a\)  và  \(b\) đều là các số chính phương  \("\)

Ta có:

\(4m^2+m=5n^2+n\)

\(\Leftrightarrow\)  \(4m^2+m-5n^2-n=0\)

\(\Leftrightarrow\)  \(5m^2-5n^2+m-n=m^2\)

\(\Leftrightarrow\)  \(5\left(m^2-n^2\right)+\left(m-n\right)=m^2\)

\(\Leftrightarrow\)  \(\left(m-n\right)\left(5m+5n+1\right)=m^2\)  \(\left(\text{*}\right)\)

Gọi  \(d\)  là ước chung lớn nhất của  \(m-n\)  và   \(5m+5n+1\)  \(\left(\text{**}\right)\), khi đó:

\(m-n\)  chia hết cho  \(d\)   \(\Rightarrow\)  \(5\left(m-n\right)\)  chia hết cho  \(d\)

\(5m+5n+1\)  chia hết cho  \(d\)

nên   \(\left[\left(5m+5n+1\right)+5\left(m-n\right)\right]\)  chia hết cho  \(d\)

\(\Leftrightarrow\)   \(10m+1\)  chia hết cho  \(d\)   \(\left(1\right)\)

Mặt khác, từ  \(\left(\text{*}\right)\), với chú ý cách gọi ở \(\left(\text{**}\right)\), ta suy ra được:  \(m^2\)  chia hết cho  \(d^2\)

Do đó,  \(m\)  chia hết cho  \(d\)

  \(\Rightarrow\)   \(10m\)  chia hết cho  \(d\)   \(\left(2\right)\)

Từ  \(\left(1\right)\)  và  \(\left(2\right)\), ta có  \(1\)  chia hết cho  \(d\)  \(\Rightarrow\)  \(d=1\)

Do đó,  \(m-n\)  và  \(5m+5n+1\)  là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau  

Kết hợp với  \(\left(\text{*}\right)\)  và điều mới chứng minh trên, thỏa mãn tất cả các điều kiện cần thiết ở tính chất nêu trên nên ta có đpcm

Vậy,   \(m-n\)  và  \(5m+5n+1\)  đều là các số chính phương.