Đặt n+6=a²    n+1=b² (a,b dương a>b)

=> \(a^2-b^2=5\)=> \(\left(a+b\right)\left(a-b\right)=5\)=> \(\hept{\begin{cases}a+b=5\\a-b=1\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}a=3\\b=2\end{cases}}\)=>\(n=3^2-6=2^2-1=3\)

Mình làm đại đó,ahihi  :v

Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho:

n ; n+ 2 ; n+ 6 là các số nguyên tố

Trình bày cả cách giải ra giúp mình nhé

Ta có : n ; n + 2 ; n + 6 là số nguyên tố

   => n = 1

Ta có : 1 + 2 = 3 đúng

1 + 6 = 7 đúng

Vậy n =  1

Ta có : n ; n + 2 ; n + 6 là số nguyên tố

   => n = 1

Ta có : 1 + 2 = 3 đúng

            1 + 6 = 7 đúng

Vậy n =  1

n=5

n+2=5+2=7

n+6=5+6=11

=> n bằng 5 là số nguyên tố nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên

Trước hết, ta chứng minh rằng với mọi số n lớn hơn hoặc bằng 5, điều kiện của đề bài không thỏa mãn.

Thật vậy, với \(n\ge5\), ta có:

+ Nếu n = 5k thì n + 15 chia hết 5. Vậy n + 15 là hợp số.

+ Nếu n = 5k + 1 thì n + 9 chia hết cho 5. Vậy n + 9 là hợp số.

+ Nếu n = 5k + 2 thì n + 3 chia hết cho 5. Vậy n + 3 là hợp số.

+ Nếu n = 5k + 3 thì n + 7 chia hết cho 5. Vậy n + 7 là hợp số.

+ Nếu n = 5k + 4 thì n + 1 chia hết cho 5. Vậy n + 1 là hợp số.

Vậy n < 5.

Để n + 1, n + 3, n + 7, n + 9, n + 13 và n + 15 đều là số nguyên tố thì n phải là số chẵn. Vì nếu n là số lẻ thì các số trên là số chẵn lớn hơn 2, và là hợp số.

Vậy n = 2 hoặc n = 4.

Với n = 2, ta thấy ngay n + 7 = 2 + 7 = 9, là hợp số.

Với n = 4, ta có các số 5, 7, 11, 13, 17, 19 đều là số nguyên tố.

Vậy số cần tìm là n = 4.

Thử n đến 3 không thỏa mãn

* n=4 thì các số là các số nguyên tố

*Xét n >4 thì các số đó đều lớn hơn 5

Xét các số dư khi chia n cho 5

+ Dư 1 thì n+ 9\(⋮\)5n+9\(⋮\)5

+Dư 2 thì n+13 \(⋮\)5n+13\(⋮\)5

+ Dư 3 thì n+7 \(⋮\)5n+7\(⋮\)5

+ Dư 4 thì n+1 \(⋮\)5n+1\(⋮\)5

+ Dư 0 thì n+15\(⋮\)5n+15\(⋮\)5

Không TM trường hợp nào cả

=>n = 4 là giá trị cần tìm

Ta có: Xét:

+n=0n+1=1;n+3=3;n+7=7;n+9=9;n+13=13;n+15=15n+1=1;n+3=3;n+7=7;n+9=9;n+13=13;n+15=15(hợp số,loại)

+n=1

n+1=2;n+3=4;n+7=8;n+9=10;n+13=14;n+15=16n+1=2;n+3=4;n+7=8;n+9=10;n+13=14;n+15=16(hợp số,loại)

+n=2

n+1=3;n+3=5;n+7=9;n+9=11;n+13=15;n+15=17n+1=3;n+3=5;n+7=9;n+9=11;n+13=15;n+15=17(hợp số,loại)

+n=3

n+1=4;n+3=6;n+7=10;n+9=12;n+13=16;n+15=18n+1=4;n+3=6;n+7=10;n+9=12;n+13=16;n+15=18(hợp số,loại)

+n=4

n+1=5;n+3=7;n+7=11;n+9=13;n+13=17;n+15=19n+1=5;n+3=7;n+7=11;n+9=13;n+13=17;n+15=19(SNT,chọn)

Nếu n>4 sẽ có dạng 4k+1;4k+2;4k+3

+n=4k+1

⇔n+3=4k+

Một bể đựng nước dạng hình hộp chữ nhật có chiều cao 2,8m đáy là một hình vuông cạnh 4m. Hiện tại 85% bể đang chứa nước . Hỏi:

    a. Số nước bể đang chứa là bao nhiêu lít nước ( biết 1dm3 = 1 lít )

    b. Chiều cao mực nước trong bể là bao nhiêu mét ?

Với n nguyên dương.

Đặt A=\(n^{2015}+n+1=\left(n^{2015}-n^2\right)+\left(n^2+n+1\right)=n^2\left(n^{2013}-1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=n^2\left(\left(n^3\right)^{.671}-1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

Mà : \(\left(n^3\right)^{.671}-1⋮\left(n^3-1\right)\)

 và       \(n^3-1=\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)\)

=> \(\left(n^3\right)^{671}-1⋮\left(n^2+n+1\right)\)

=> \(A⋮n^2+n+1\)

Theo bài ra: A là số nguyên tố

=> \(\orbr{\begin{cases}A=n^2+n+1\\n^2+n+1=1\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n^{2015}=n^2\\n^2+n=0\end{cases}\Leftrightarrow}}\orbr{\begin{cases}n=1\left(tm\right)\\n=0;n=-1\left(loai\right)\end{cases}}\)vì n nguyên dương

Vậy n=1