a)    \(VT=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)\(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\) (vì  a+b+c = 1)

\(=3+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\)

\(=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)

C/m  BĐT phụ:   \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)   với  x,y dương

             \(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2\ge2xy\)

            \(\Leftrightarrow\) \(x^2-2xy+y^2\ge0\)

            \(\Leftrightarrow\) \(\left(x-y\right)^2\ge0\)  luôn đúng

Dấu "=" xảy ra   \(\Leftrightarrow\)\(x=y\)

Áp dụng BĐT trên ta có:   \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2;\) \(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2;\) \(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2\)

\(\Rightarrow\)\(VT=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\ge3+2+2+2=9\)

Dấu "=" xảy ra  \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)

Vậy    \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)

Dấu "=" xảy ra  \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)

Dễ thấy với a,b >0 thì (a+b)/2 ≥ √ab <=> 1/(a+b) ≤ 1/4 (1/a +1/b) 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 
1/(a+2b+3c)=1/[(a+c)+2(b+c)]≤ 1/4[1/(a+c)+1/2(b+c)] (lại áp dụng tiếp được) 
≤ 1/16a+1/16c+1/32b+1/32c 
=1/16a+1/32b+3/32c 
Trường hợp này dấu "=" xảy ra <=> a+c=2(b+c);a=c;b=c <=> c= 0 mâu thuẩn giả thiết 
Do đó dấu "=" không xảy ra 
Thế thì 1/(a+2b+3c)<1/16a+1/32b+3/32c (1) 
Tương tự 1/( b+2c+3a)<1/16b+1/32c+3/32a (2) 
1/ ( c+2a+3b) < 1/16c+1/32a+3/32b (3) 
Cộng (1)(2)(3) cho ta 
1/( a+2b+3c) + 1/( b+2c+3a) + 1/ ( c+2a+3b) <(1/16+1/32+3/32)(1/a+1/b+1/c) 
=3/16*(ab+bc+ca)abc= 3/16

tk nha mk trả lời đầu tiên đó!!!

a,a+b+c=0 <=>c=-a-b

Khi đ f(x)=ax^2+bx-a-b

f(x)=a(x^2-1)+b(x-1)=(x-1)(ax+a+b)

=>f(x) có nghiệm x=1

b,a-b+c=0 <=>c=b-a

Khi đó f(x)=ax^2+bx+b-a

f(x)=a(x^2-1)+b(x+1)=(x+1)(ax-a+b)

=>f(x) có nghiệm x=-1

a. Ta có: \(f\left(1\right)=a.1^2+b.1+c\)

\(f\left(1\right)=a+b+c\)

Mà theo đề bài có a+b+c=0

=>\(f\left(1\right)=0\)

x=1 là một nghiệm của đa thức f(x)

Phần b bạn làm tương tự nhé

\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\)

Ta có:

\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\ge\frac{3a}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge\frac{6a-b-c-2}{8}\)

Tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}\ge\frac{6b-c-a-2}{8}\\\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\frac{6c-a-b-2}{8}\end{cases}}\)

Cộng vế theo vế ta được

\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\frac{6a-b-c-2}{8}+\frac{6b-c-a-2}{8}+\frac{6c-a-b-2}{8}\)

\(=\frac{a+b+c}{2}-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{2}.\sqrt[3]{abc}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\)

Mai mình làm cho

ukm mơn alibaba nguyễn nhìu

câu a,mình ko biết nhưng câu b bạn cộng 1+b cho số hạng đầu áp dụng cô si,các số hạng khác tương tự rồi cộng vế theo vế,ta có điều phải c/m

Bạn nói rõ hơn được không???

Để chừng nào t làm được câu 1 thì t giải giúp cho 1 lần luôn

x/y=y/z=z/x

=> x*z = 2*y = x*y = 2*z

Ta có :

x*z = x*y 

=> z=y

Ta có :

x*z = 2*y = y*y

Mà y = z (cmt)

=> x*z = y*z

=>x=y

Mà y = z (cmt)

=> x=y=z

các bài toán bên dưới đều có thể áp dụng bđt tổng quát sau: 
a²/x + b²/y + c²/z + d²/t ≥ (a+b+c+d)² /(x+y+z+t) (*-*) 
bao nhiêu cặp số cũng đc trong đó có đk x, y, z, t > 0 
dấu "=" khi a/x = b/y = c/z = d/y 
~ ~ ~ ~ 
chứng minh là hệ quả trực tiếp từ bđt Bunhiacopski 
hoặc cách khác: với 2 cặp số: a²/x + b²/y ≥ (a+b)²/(x+y) 
ta chứng minh bằng biến đổi tương đương sẽ bđt đúng là (ay-bx)² ≥ 0 
ad: a²/x + b²/y + c²/z ≥ (a+b)²/(x+y) + c²/z ≥ (a+b+c)²/(x+y+z) 
cứ bổ sung thêm vào ta cm được cho 4, 5... cặp số 
~ ~ ~ ~ 
1) ad (*-*) với 5 cặp số: 
1/a + 1/a + 1/b + 1/c + 1/d ≥ (5)² /(2a+b+c+d) 
=> 25/(2a+b+c+d) ≤ 2/a + 1/b + 1/c + 1/d 
tương tự: 25/(a+2b+c+d) ≤ 2/b + 1/a + 1/c + 1/d 
25/(a+b+2c+d) ≤ 2/c + 1/a + 1/b + 1/d 
25/(a+b+c+2d) ≤ 2/d + 1/a + 1/b + 1/c 
cộng lại 4 bđt trên: 
25.VT ≤ 5(1/a + 1/b + 1/c +1/d) = 25 => VT ≤ 1 (đpcm) ; dấu "=" khi a = b = c = d = 1 
~ ~ ~ ~ 
2) ad bđt (*-*) với 4 cặp số: 
a/(b+c) + b/(c+d) + c/(d+a) + d/(a+b) = 
= a²/(ab+ac) + b²/(bc+bd) + c²/(cd+ca) + d²/(da+db) ≥ 
≥ (a+b+ c+d)²/(ab+ac +bc+bd + cd+ca + da+db) cần cm ≥ 2 
qui đồng, khai triển rút gọ => cần cm a²+b²+c²+d² ≥ 2ca + 2db 
<=> (a-c)² + (b-d)² ≥ 0 là bđt đúng => đpcm 
~ ~ ~ ~ 
3) hình như lại ghi sai đề, thử thay a = 2, b = c = 1 có: 
a/(b+2a) + b/(c+2a) + c/(a+2b) = 2/5 + 1/5 + 1/4 = 17/20 ≥ 1 (???) 
~ ~ ~ ~ 
4) vẫn ad (*-*): dùng luôn cho 8 cặp số (hoặc tách thành vài lần kủng đc) 
1/a + 3(1/b) + 4(1/c) ≥ (1+3+4)² /(a+3b+4c) 
1/b + 3(1/c) + 4(1/a) ≥ (1+3+4)² /(b+3c+4a) 
1/c + 3(1/a) + 4(1/b) ≥ (1+3+4)² /(c+3a+4b) 

cộng lại hết: 
8(1/a + 1/b + 1/c) ≥ 8²/(a+3b+4c) + 8²/(b+3c+4a) + 8²/(c+3a+4b) 
=> 8²/(a+3b+4c) + 8²/(b+3c+4a) + 8²/(c+3a+4b) ≤ 8(bc+ca+ab)/abc = 8 
=> 1/(a+3b+4c) + 1/(b+3c+4a) + 1/(c+3a+4b) ≤ 1/8 (đpcm) 
dấu "=" khi a = b = c = 3 
~ ~ ~ ~ ~ 
5) ad (*-*) 
a/(a+2b+3c) + b/(b+2c+3a) + c/(c+2a+3b) = 
= a²/(a²+2ab+3ac) + b²/(b²+2bc+3ab) + c²/(c²+2ac+3bc) ≥ 
≥ (a+b+c)² /(a²+b²+c² + 5ab + 5ac + 5bc) 

mặt khác có bđt: a²+b²+c² ≥ ab+bc+ca 
=> (a+b+c)² = a²+b²+c² + 2ab+2bc+2ca ≥ 3ab+bc+3ca 
=> 2(a+b+c)² ≥ (a+b+c)² + 3ab+3bc+3ca = a²+b²+c² + 5ab+5bc+5ca 
=> (a+b+c)² /(a²+b²+c² + 5ab + 5ac + 5bc) ≥ 1/2 

thay vào trên ta có VT ≥ 1/2 (đpcm); dấu "=" khi a = b = c