Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định không đi qua tâm. Trên tia đối của tia BC lấy điểm A ( A khác B ). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (O) ( M và N là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC.
a, Chứng minh A, O, M, N, I cùng thuộc một đường tròn 
b, Gọi K là giao điểm của MN và BC. H là giao điểm của MN và AO. Chứng minh rằng AK. AI = AB. AC = AM^2
c, Chứng minh: \(\frac{2}{AC}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}\)

1 . Cho đường tròn (O; R) và dây AB cố định. Trên tia Bx là tia đối của BA lấy một điểm I. Từ I kẻ tiếp tuyến IM, IN với đường tròn (O). Gọi K là trung điểm AB. H là trực tâm của MNI.

a) Chứng minh 4 điểm O, I, K, M cùng thuộc một đường tròn.

b) Nếu OI = 2R. Tính SOMHN = ?

c) Khi I chạy trên tia Bx. Chứng minh MN luôn đi qua 1 điểm cố định.

d) Từ B hạ đường vuông góc với MO, cắt MN tại C, cắt AM tại D. Chứng minh C là trung điểm của BD. 

2 . Cho a , b , c là các số thực dương thỏa mãn : a + b + c = 1

CMR : \(\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+c}\le\frac{1}{4}\)

Cho đường tròn tâm O có đường kính AB. Trên tiếp tuyến tại A của đường tròn (O), lấy điểm M khác điểm A. Vẽ tiếp tuyến thứ hai MC của đường tròn (O) (C là tiếp điểm). MB cắt đường tròn (O) tại D (D khác B). Gọi H là giao điểm của OM và AC.

a) Chứng minh góc ABH = góc CAD.

b) Gọi N là giao điểm của AC và BD. Chứng minh \(\frac{1}{MD}+\frac{1}{MB}=\frac{2}{MN}.\)

Câu 1: Cho a,b,c,d>0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=\frac{a-d}{d+b}+\frac{d-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{a+d}\)

Câu 2:Cho \(\Delta ABC\) nhọn, các đường cao AA', BB', CC', H là trực tâm, O là giao điểm của các đường trung trực \(\Delta ABC\), M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AC.

a. Tính tổng \(\frac{HA'}{AA'}+\frac{HB'}{BB'}+\frac{HC'}{CC'}\)

b. Chứng minh \(\Delta AHB\infty\Delta MON\) và AH=2OM

c. Gọi G là trọng tâm của \(\Delta ABC\). Chứng minh 3 điểm H,G,O thẳng hàng.

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh:

a) Các tứ giác ADHE và BEDC nội tiếp

b) AE . AB = AD . AC

c) vẽ tiếp tuyến Ax với đường tròn tâm O

    Chứng minh: OA vuông góc với DE

d) Khi A đi động nhưng B,C cố định, chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\)không đổi

( gợi ý :kéo dài đường kính OA cắt đg tròn O tại M, c/m HCMB là hbh , gọi I là trung điểm BC )

e) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. C/m trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC luôn luôn thẳng hàng và GO=\(\frac{1}{3}\)HO

1,a/giải hệ \(x+y+\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=5\)

và      \(x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{4}{y^2}=7\)

b/ giải phương trình \(\frac{x+\sqrt{1-x^2}}{1-2x^2}=1\)

2,a/ các cạnh a,b,c của tam giác ABC thoả mãn đẳng thức sau.hỏi tam giác ABC là tam giác gì?

\(\frac{1}{P}=\frac{1}{P-a}-\frac{1}{P-b}-\frac{1}{P-c}\)

b/ các số dương x,y,z thoả mãn \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=2\)

                                và            x+y+z=2

 hãy tính \(P=\sqrt{\left(1+X\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\left(\frac{\sqrt{x}}{1+x}+\frac{\sqrt{y}}{1+y}+\frac{\sqrt{z}}{1+z}\right)\)

3, ba đường tròn (O,R),(O1,R1).(O2,R2) vời R<R1<R2 tiếp xúc ngoài với nhau từng đôi một đồng thời cùng tiếp xúc với một đường thẳng,gọi S, S1, S2 lần lượt là diện tích các hình tròn tâm O,O1,O2.

Chứng minh \(\frac{1}{\sqrt[4]{S}}=\frac{1}{\sqrt[4]{S1}}+\frac{1}{\sqrt[4]{S2}}\)

4,Cho đường tròn tâm O bán kính R và đường tròn tâm O' bán kính R' cắt nhau tại A Và B. TRên tia đổi của tia AB,lấy điểm C,Kẻ tiếp tuyến CD.CE với đường tròn tâm O(D,E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn tâm O') đường thẳng AD.AE cắt đường tròn tâm O' lần lượt tại M,N (M và N khác A) tia DE cắt MN tại I ,chứng minh rằng

a, tam giác MIB đồng dạng với tam giác AEB

b. O'I vuông góc với MN

5, tam giác ABC Có góc A không nhọn, BC =a,CA=b,AB=c

Tìm Min của P=(1-a/b)(1-b/c)(1-c/a)