Ta có BF/3=BC/5=>BF²/9=BC²/25

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

BF²/9=BC²/25=BC²-BF²/25-9=CF²/16=64/16=4

=>BC²=4.5=20

BC=\(\sqrt{20}\)cm

k dùm mình

a. Ta thấy: Tam giác BFC=tam giác CEB (ch-cgv)
\Rightarrow \{ABC}=\{ACB}\{ABC}=\{ACB} \Rightarrow Tam giác ABC cân tại A
b. Ta đặt: BF3=BC5BF3=BC5=a
\Rightarrow BF=3a, BC=5a
Áp dụng định lí Pi-ta-go cho tam giác vuông BFC ta được:
BC2=BF2+FC2BC2=BF2+FC2
\Rightarrow 25a2=9a2+8225a2=9a2+82
\Rightarrow 25a2−9a2=6425a2−9a2=64
\Rightarrow 16a2=6416a2=64 \Rightarrow a2=4a2=4
\Rightarrow a=2 \Rightarrow BC=10cm
c. Từ câu a ta suy ra: AF=AE \Rightarrow A thuộc đường trung trực của EF (1)
\Rightarrow Tam giác AFO=tam giác AEO (ch-cgv) \Rightarrow OF=OE 
\Rightarrow O thuộc đường trung trực EF (2)
Từ (1) và (2) \Rightarrow OA là đường trung trực EF

Tham khảo:  Câu hỏi của Nguyễn Đức Duy

Bài làm:

a, Xét △BFC vuông tại F và △CEB vuông tại E

Có: BC là cạnh chung

      CF = BE (gt)

=> △BFC = △CEB (ch-cgv)

=> FBC = ECB (2 góc tương ứng)

Xét △ABC có: ABC = ACB (cmt)

=> △ABC cân tại A

b, Gọi độ dài của cạnh BF và BC là a, b (cm, a, b > 0)

Theo bài ra, ta có: \(\frac{a}{3}=\frac{b}{5}\)\(\Rightarrow b=\frac{5a}{3}\)

Xét △FBC vuông tại F có: \(BC^2=BF^2+FC^2\)(định lý Pitago)

\(\Rightarrow b^2=a^2+8^2\)\(\Rightarrow\left(\frac{5a}{3}\right)^2=a^2+64\)\(\Rightarrow\frac{25}{9}.a^2-a^2=64\)

\(\Rightarrow a^2\left(\frac{25}{9}-1\right)=64\)\(\Rightarrow a^2.\frac{16}{9}=64\)\(\Rightarrow a^2=64\div\frac{16}{9}=36\)\(\Rightarrow a=6\)

\(\Rightarrow b=\frac{5}{3}a=\frac{5}{3}.6=10\)\(\Rightarrow BC=10\)(cm)

c, Vì △ABC cân tại A => AB = AC

Ta có: AB = AF + FB

          BC = AE + EC

Mà AB = AC (cmt) ; BF = EC (△BFC = △CEB)

=> AF = AE

=> A thuộc đường trung trực của FE   (1)

Ta có: DBC = FBE + EBC 

          ECB = ECF + FCB

Mà DBC = ECB (cmt); BCF = EBC (△BFC = △CEB)

=> FBE = ECF

Xét △BFO vuông tại F và △CEO vuông tại E

Có: FBO = ECO (cmt) 

     BF = CE (△BFC = △CEB)

=> △BFO = △CEO (cgv-gnk)

=> FO = OE (2 cạnh tương ứng)

=> O thuộc đường trung trực của FE   (2)

Từ (1) và (2) => đường thẳng AO là trung trực của EF.

thank bạn

Bài 3: 

a: Xét ΔABM và ΔACN có

AB=AC
góc ABM=góc ACN

BM=CN

Do đó: ΔABM=ΔACN

Suy ra: AM=AN

b: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAKC vuông tại K có

AB=AC

góc BAH=góc CAK

Do đó; ΔAHB=ΔAKC

Suy ra: AH=AK và BH=CK

c: Xét ΔHBM vuông tại H và ΔKCN vuông tại K có

MB=CN

góc M=góc N

Do đó ΔHBM=ΔKCN

Suy ra: góc HBM=góc KCN

=>góc OBC=góc OCB

hay ΔOBC can tại O

Ta có: ΔABC đều, D ∈ AB, DE⊥AB, E ∈ BC
=> ΔBDE có các góc với số đo lần lượt là: 300
; 600
; 900
 => BD=1/2BE
Mà BD=1/3BA => BD=1/2AD => AD=BE => AB-AD=BC-BE (Do AB=BC)
=> BD=CE. 
Xét ΔBDE và ΔCEF: ^BDE=^CEF=900
; BD=CE; ^DBE=^ECF=600
=> ΔBDE=ΔCEF (g.c.g) => BE=CF => BC-BE=AC-CF => CE=AF=BD
Xét ΔBDE và ΔAFD: BE=AD; ^DBE=^FAD=600
; BD=AF => ΔBDE=ΔAFD (c.g.c)
=> ^BDE=^AFD=900
 =>DF⊥AC (đpcm).
b) Ta có: ΔBDE=ΔCEF=ΔAFD (cmt) => DE=EF=FD (các cạnh tương ứng)
=> Δ DEF đều (đpcm).
c) Δ DEF đều (cmt) => DE=EF=FD. Mà DF=FM=EN=DP => DF+FN=FE+EN=DE+DP <=> DM=FN=EP
Lại có: ^DEF=^DFE=^EDF=600=> ^PDM=^MFN=^NEP=1200
 (Kề bù)
=> ΔPDM=ΔMFN=ΔNEP (c.g.c) => PM=MN=NP => ΔMNP là tam giác đều.
d) Gọi AH; BI; CK lần lượt là các trung tuyến của  ΔABC, chúng cắt nhau tại O.
=> O là trọng tâm ΔABC (1)
Do ΔABC đều nên AH;BI;BK cũng là phân giác trong của tam giác => ^OAF=^OBD=^OCE=300
Đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác => OA=OB=OC
Xét 3 tam giác: ΔOAF; ΔOBD và ΔOCE:
AF=BD=CE
^OAF=^OBD=^OCE      => ΔOAF=ΔOBD=ΔOCE (c.g.c)
OA=OB=OC
=> OF=OD=OE => O là giao 3 đường trung trực  Δ DEF hay O là trọng tâm Δ DEF (2)
(Do tam giác DEF đề )
/

(Do tam giác DEF đều)
Dễ dàng c/m ^OFD=^OEF=^ODE=300
 => ^OFM=^OEN=^ODP (Kề bù)
Xét 3 tam giác: ΔODP; ΔOEN; ΔOFM:
OD=OE=OF
^ODP=^OEN=^OFM          => ΔODP=ΔOEN=ΔOFM (c.g.c)
OD=OE=OF (Tự c/m)
=> OP=ON=OM (Các cạnh tương ứng) => O là giao 3 đường trung trực của  ΔMNP
hay O là trọng tâm ΔMNP (3)
Từ (1); (2) và (3) => ΔABC; Δ DEF và ΔMNP có chung trọng tâm (đpcm).