Gọi I là giao của ∠ABC và ∠ACB, gọi D, F, E lần lượt là hình chiếu của I trên
AC, AB, BC
Xét ∆FBI và ∆EBI:
∠FBI=∠IBE(gt)
BI chung
∠BFI=∠IEB=900(gt) =>∆FBI = ∆EBI(g-c-g)
Do đó IF=IE(cạnh tương ứng)
Xét ∆FAI và ∆DAI:
∠FAI=∠IAD(gt)
AI chung
∠AFI=∠IDA=900(gt) =>∆FAI = ∆DAI(g-c-g)
Do đó IF=ID(cạnh tương ứng)
IF=ID;IF=IE =>ID=IE
Xét ∆ECI và ∆DCI:
∠IEC=∠IDC=900(gt)
ID=IE(CMT)
CI chung => ∆ECI = ∆DCI (cạnh huyền -cạnh góc vuông)
Do đó : ∠ECI=∠ICD
=>IC là phân giác góc BCA
Vậy ba đường phân giác trong CI, AI, BI đồng quy tại một diểm
 

Giả sử hai tia phân giác của các góc ngoài tại đỉnh B và C của tam giác ABC cắt nhau tại O. Ta sẽ chứng minh AO là tia phân giác của góc A.

Kẻ các đường vuông góc OH, OI, OK từ O lần lượt đến các đường thẳng AB, BC, AC.

Vì BO là tia phân giác của góc HBC nên OH = OI (1)

Vì CO là tia phân giác của góc KCB nên OI = OK (2)

Từ (1) và (2) suy ra OI = OH = OK

(3)

Suy ra: O thuộc đường phân giác của góc BAC.

Suy ra AO là tia phân giác của góc BAC và ta có điều phải chứng minh.

^{Chịu rồi!!!}

Gọi K là giao điểm của hai tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh B và góc ngoài tại đỉnh C.

Kẻ KE ⊥ BC, KF ⊥ AC, KD ⊥ AB

Vì K nằm trên phân giác của ∠(CBD) nên:

KD = KE (tính chất tia phân giác) (1)

Vì K nằm trên tia phân giác của ∠(BCF) nên:

KE = KF (tính chất tia phân giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: KD = KF

Điểm K nằm trong ∠(BAC) cách đều 2 cạnh AB và AC nên K nằm trên tia phân giác của ∠(BAC) .

Gọi K là giao điểm của hai đường phân giác góc ngoài tại B và C

Kẻ KE,KD,KF vuông góc lần lượt với BC,AB,AC

Xét ΔBDK vuông tại D và ΔBEK vuông tại E có

KB chung

\(\widehat{DBK}=\widehat{EBK}\)

Do đó: ΔBDK=ΔBEK

Suy ra: KD=KE(1)

Xét ΔCEK vuông tại E và ΔCFK vuông tại F có

CK chung

\(\widehat{ECK}=\widehat{FCK}\)

Do đó;ΔCEK=ΔCFK

Suy ra: KE=KF(2)

Từ (1) và (2) suy ra KD=KF

hay K nằm trên đường phân giác của góc A(Đpcm)