a) ta có: \(A=\frac{4n+1}{2n+3}=\frac{4n+6-5}{2n+3}=\frac{2.\left(2n+3\right)-5}{2n+3}=2-\frac{5}{2n+3}\)

Để A nhận giá trị nguyên

=> 5/2n+3 thuộc Z

=> 5 chia hết cho 2n+3

=> 2n+3 thuộc Ư(5)={1;-1;5;-5}

nếu 2n+3 = 1 => 2n = -2 => n = -1 (TM)

2n+3 = -1 => 2n = -4 => n = -2 (TM)

2n+3 = 5 => 2n = 2 => n = 1 (TM)

2n+3 = -5 => 2n = 8 => n = -4 (TM)

KL:...

b) tìm n thuộc Z để A là phân số tối giản

Để A là phân số tối giản

\(\Rightarrow n\notin\left\{-1;-2;1;-4\right\}\)

a) Để A nhận giá trị nguyên thì 4n+1 phải chia hết cho 2n+3

\(\Rightarrow4n+1⋮2n+3\)(1)

Lại có:\(\left(2n+3\right)\times2⋮2n+3\)

\(\Rightarrow4n+6⋮2n+3\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(\left(4n+6\right)-\left(4n+1\right)⋮2n+3\)

\(\Rightarrow4n+6-4n-1⋮2n+3\)

\(\Rightarrow\left(4n-4n\right)+\left(6-1\right)⋮2n+3\)

\(\Rightarrow5⋮2n+3\)

\(\Rightarrow2n+3\inƯ\left(5\right)\)

mà Ư(5)=(-5;-1;1;5)

\(\Rightarrow2n+3\in\left(-5;-1;1;5\right)\)

\(\Rightarrow2n\in\left(-8;-4;4;8\right)\)

\(\Rightarrow n\in\left(-4;-2;2;4\right)\)

Vậy với \(n\in\left(-4;-2;2;4\right)\)

\(a,\text{ }A=\frac{n+1}{n-2}\inℤ\Leftrightarrow n+1⋮n-2\)

\(\Rightarrow n-2+3⋮n-2\)

      \(n-2⋮n-2\)

\(\Rightarrow3⋮n-2\)

\(\Rightarrow n-2\inƯ\left(3\right)\)

đến đây bn liệt kê ước của 3 r` lm tiếp!

b, \(A=\frac{n+1}{n-2}=\frac{n-2+3}{n-2}=\frac{n-2}{n-2}+\frac{3}{n-2}=1+\frac{3}{n-2}\)

để A đạt giá trị lớn nhất thì \(\frac{3}{n-2}\) lớn nhất

=> n-2 là số nguyên dương nhỏ nhất

=> n-2 = 1

=> n = 3

vậy n = 3 và \(A_{max}=1+\frac{3}{1}=4\)

a)\(A=3-\frac{4}{3n+2}\)=>\(3n+2\)là ước của 4 =>\(n=0;n=-1;n=-2\)

2n - 3 chia hết cho n + 1

=> 2(n+1) - 5 chia hết cho n + 1

=> 5 chia hết cho n + 1 

=> n + 1 thuộc Ư(5) = { -5 ; -1; 1 ; 5 }

Theo bài ra ta có 

\(2x-3⋮n+1\)

\(\Rightarrow2\left(n+1\right)-5⋮n+1\)

\(\Rightarrow-5⋮n+1\)

\(\Rightarrow n+1\inƯ\left(-5\right)=\left\{\pm1;\pm5\right\}\)

Ta lập bảng 

 Gọi d là (2n+3,3n+5)

 Xét hiệu

 2 (3n+5)-3(2n+3) chia hết cho d

(6n+10)-(6n+9) chia hết cho d

 6n+10-6n-9 chia hết cho d

1 chia hết cho d

d=1

vậy (2n+3,3n+5)=1

k mk nha

Gọi \(ƯCLN\left(2n+3;3n+5\right)=d\)

Ta có:

\(2n+3⋮d;3n+5⋮d\)

\(\Rightarrow6n+9⋮d;6n+10⋮d\)

\(\Rightarrow\left(6n+10\right)-\left(6n+9\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

=> ĐPCM

gọi d là ƯC(2n+3,3n+5)     ta có:                                                                                                                                                                          2n+3chia hết cho d    suy ra 3nhan(2n+3) chia hết cho d  nên 6n+9 chuia hết cho d                                                                                        3n+5 chia hết cho d suy ra 2 nhân (3n+5) chia hết cho d nên 6n+10 chia hết cho d                                                                                             suy ra (6n+10) - (6n+9) chia hết cho d nên 1 chia hết cho d suy ra d= 1                                                                                                     mà d=1 suy ra (2n+3; 3n+5) =1                                                                                                                                                                                          chúc bạn học giỏi 1 k cho mình nhé