Ta có : a + b + c = 0

\( \implies\) b + c = - a ; a + b = - c 

Ta có : ab + 2bc + 3ca 

= ab + 2bc + ca + 2ca 

= ( ab + ca ) + ( 2bc + 2ca )

= a ( b + c ) + 2c ( a + b )

= a ( - a ) + 2c ( - c ) 

= - a² - 2c² 

= - ( a² + 2c² ) ( * )

Mà : a² \(\geq\)  0 ; 2c² \(\geq\)  0 

\( \implies\)  a² + 2c² \(\geq\)  0 ( ** )

Từ ( * ) ; ( ** ) 

\( \implies\)  - ( a² + 2c² )  \(\leq\)  0 

\( \implies\) ab + 2bc + 3ca  \(\leq\)  0 

vì a+b+c=0 nên a,b,c lớn nhất chỉ có thể bằng ko,nên ab+2bc+3ca chỉ có thể < hoặc bằng 0

\(ab+2bc+3ac\)

\(=\left(ab+ac\right)+\left(2bc+2ac\right)\)

\(=a\left(b+c\right)+2c\left(a+b\right)\)

\(=-a^2-2c^2\le0\)

Ta có : a + b + c = 0

\( \implies\) b + c = - a ; a + b = - c 

Ta có : ab + 2bc + 3ca 

= ab + 2bc + ca + 2ca 

= ( ab + ca ) + ( 2bc + 2ca )

= a ( b + c ) + 2c ( a + b )

= a ( - a ) + 2c ( - c ) 

= - a² - 2c² 

= - ( a² + 2c² ) ( * )

Mà : a² \(\geq\)  0 ; 2c² \(\geq\)  0 

\( \implies\)  a² + 2c² \(\geq\)  0 ( ** )

Từ ( * ) ; ( ** ) 

\( \implies\)  - ( a² + 2c² )  \(\leq\)  0 

\( \implies\) ab + 2bc + 3ca  \(\leq\)  0 

\(ab+2bc+3ac\)

\(=ab+2bc+ac+2ac\)

\(=a\left(b+c\right)+2c\left(a+b\right)\)

\(=-a^2-2b^2\le0\) (đúng)

Dấu "=" khi \(x=y=z=0\)

Ta có:

a+b+c=0

=> a + b = -c

=> (a+b)² = c²

=> a² + 2ab + b² = c²

=> ab = \(\dfrac{c^2-a^2-b^2}{2}\) (1)

Tương tự ta có: a² + 2ac + c² = b²

b² + 2bc + c² = a²

=> ac = \(\dfrac{b^2-a^2-c^2}{2}\) => 3ac = \(\dfrac{3b^2-3a^2-3c^2}{2}\) (2)

bc = \(\dfrac{a^2-b^2-c^2}{2}\) => 2bc = a² - b² - c² (3)

Thay (1), (2), (3) vào bdt cần ch/m, ta có:

ab + 2bc + 3ac ≤ 0

<=> \(\dfrac{c^2-a^2-b^2}{2}\) + a² - b² - c² + \(\dfrac{3b^2-3a^2-3c^2}{2}\)

<=> c² - a² - b² + 2a² - 2b² - 2c² + 3b² - 3a² - 3c² ≤ 0

<=> -2a² -4c² ≤ 0

<=> -2(a² + 2c²) ≤ 0 (Bdt đúng với mọi a, c)

Dau "=" xay ra khi a² + 2c² = 0

<=> a = c = b = 0.