từ \(\frac{a}{a+b}=\frac{b}{b+c}=\frac{c}{c+a}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{a}{a+b}=\frac{b}{b+c}=\frac{c}{c+a}=\frac{a+b+c}{\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)}=\frac{a+b+c}{2.\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)

vì a,b,c khác 0 và các mẫu đều khác 0 nên a = b = c

\(\Rightarrow\frac{a+b}{2c}+\frac{b+c}{3a}+\frac{c+a}{4b}=1+\frac{2}{3}+\frac{1}{2}=\frac{13}{6}\)

0,abc = 1: (a + b + c)

=> \(\frac{abc}{1000}=\frac{1}{a+b+c}\) => abc . (a+b +c) = 1000

Viết 1000 = 500.2 = 250.4 = 125.8 = 200 .5 = 100.10

thủ các cặp số trên, chỉ cố abc = 125 thỏa mãn 

Vậy a = 1; b = 2; c = 5 

nhu tren

Ta có: \(1\div\left(a+b+c\right)=\overline{0,abc}=\frac{\overline{abc}}{1000}\)

\(\Leftrightarrow\overline{abc}\times\left(a+b+c\right)=1000\)

Vì \(\overline{abc}\)là số có ba chữ số nên ta có các cách phân tích sau: 

 \(1000=500\times2=250\times4=200\times5=125\times8=100\times10\)

Thử từng trường hợp trong các trường hợp trên, chỉ có \(\overline{abc}=125\)là thỏa mãn. 

Chọn A.

+ log_ab.log_bc.log_ca = 1 khi log_ab.log_ba = log_aa = 1 .

+ Từ 2 kết quả trên ta có 

a,    \(\overline{ab,b}\) - \(\overline{c,c}\) = \(\overline{0,a}\)

      (\(\overline{ab,b}\) - \(\overline{c,c}\)) \(\times\)10 = \(\overline{0,a}\)

       \(\overline{abb}\) - \(cc\) = \(a\)

      \(a\times\)100 + \(b\)\(\times\)11 - \(c\times\)11 = \(a\) 

      \(a\times\)100 + \(b\times\)11 - \(c\times\)11 - \(a\) = 0

      \(a\times\)99 + \(b\) \(\times\)11 - \(c\times\) 11 = 0

     11\(\times\)(\(a\times\)9 + \(b\) - \(c\)) = 0

            \(a\times\) 9 + \(b\) - \(c\) = 0 

            \(a\times\) 9 = \(c-b\) ⇒ \(c-b\)⋮9 ⇒ \(c\) = \(b\) ; \(c\) - \(b\) = 9; 

          th: \(c\) = \(b\) ⇒ \(a\times\)9 = 0 ⇒ \(a\) = 0 (loại)

         th:  \(c-b=9\) ⇒ \(c=9+b\) ⇒ \(b\) = 0; \(c\) = 9

         \(a\times\) 9 = 9 - 0 = 9 ⇒ \(a\) = 1 

Vậy thay \(a=1;b=0;c=9\) vào biểu thức: \(\overline{ab,b}-\overline{c,c}=\overline{o,a}\) ta được:

10,0 -9,9 = 0,1 

b, \(\overline{b,a}\) - \(\overline{a,b}\) = 2,7

  (\(\overline{b,a}\) - \(\overline{a,b}\))\(\times\)10 = 2,7 \(\times\) 10

  \(\overline{ba}\) - \(\overline{ab}\) = 27

\(b\times10+a-a\times10-b\) = 27

(\(b\times10\) - \(b\)) - (\(a\) \(\times\) 10 - \(a\)) = 27

(\(b\times10-b\times1\)) - (\(a\times\)10 - \(a\)\(\times\)1) = 27

\(b\)\(\times\)(10 -1) - \(a\) \(\times\)( 10 - 1) =27

\(b\times\) 9 - \(a\times9\) = 27

9\(\times\) (\(b-a\)) = 27

      \(b-a\)   = 27 : 9

     \(b-a\) = 3 ⇒ \(b\) = 3 + \(a\) ≤ 9 ⇒ \(a\) ≤ 9 - 3  = 6

Lập bảng ta có: 

Thay các giá trị của \(a;b\) lần lượt vào biểu thức \(\overline{b,a}-\overline{a,b}\) = 2,7 ta có:

3,0 - 0,3 = 2,7

4,1 - 1,4 = 2,7

5,2 - 2,5 = 2.7

6,3 - 3,6 = 2,7

8,5 - 5,8 = 2,7

9,6 - 6,9 = 2,7 

\(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\)

=> \(\frac{a}{b-c}=-\frac{b}{c-a}-\frac{c}{a-b}=\frac{-b\left(a-b\right)-c\left(c-a\right)}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}=\frac{-ab+b^2-c^2+ac}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}\)

Nhân cả hai vế với \(\frac{1}{b-c}\)

=> \(\frac{a}{\left(b-c\right)^2}=\frac{-ab+b^2-c^2+ac}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

Tương tự: \(\frac{b}{\left(c-a\right)^2}=\frac{-bc+c^2-a^2+ba}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

                  \(\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=\frac{-ca+a^2-b^2+cb}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

Cộng vế với vế ta có:

\(\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}\)

\(=\frac{-ab+b^2-c^2+ac-bc+c^2-a^2+ba-ca+a^2-b^2+cb}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=0\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

https://friend20.com/vn/d20/quiz/69707687