a, xét tam giác AHD và tam giác AHB có : AH hcung

góc AHD = góc AHB = 90 

HD = HB (Gt)

=> tam giác HAB = tam giác HAD (2cgv)

=> AD = AB (Đn)

=> tam giác ABD cân tại  (Đn)

có góc BAC = 60 (gt)

=> tam giác ABD đều

b, tam giác ABC vuông tại A (gt)

=> góc ABC + góc ACB  = 90 (Đl)

góc ABC = 60 (gt)

=> góc ACB = 30  mà tam giác ABC vuông tại A (gt)

=> AB = BC/2 (đl)

có AB = AD = BD do tam giác ABD đều (câu a)

=> AD  = BD = BC/2 

BD + CB = BC 

=> AD = DC = BC/2

Vì tam giác ABC có AB=BC=AC

=> tam giác ABC đều

=> ABC=ACB=BAC

Tam giác BAD có

DA=DB

=> tam  giác BDA cân tại D

=> DAB=DBA

Lại có

CAD=CAB+BAD

CBD=CBA+ABD

Vì BAC=ABC, BAD=ABD

=> CAD=CBD

=> DPCM

Lời giải:
a. $AB=AC=14$ cm nên $ABC$ là tam giác cân tại $A$
Do đó đường phân giác $AD$ đồng thời là đường trung tuyến 

$\Rightarrow BD=DC=\frac{BC}{2}=6$ (cm) 

b. 

$\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{BD}{CD}=1$ 

Hình vẽ:

Cậu tự vẽ hình nhé !

Chứng minh :

a) Xét \(\Delta\)ABC : BD là tia phân giác của góc BAC ( giả thiết )

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}\) ( tính chất đường phân giác trong tam giác )

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{BD}{BD+DC}=\dfrac{AB}{AB+AC}\)  

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{AB}{AB+AC}\)

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{BD}{12}=\dfrac{14}{28}\)

\(\Rightarrow\) BD = \(\dfrac{12.14}{28}\) = 6 cm 

Có BD + DC = BC ( tính chất cộng đoạn thẳng )

\(\Rightarrow\) DC = BC - BD = 12 -6 = 6 cm

b) Xét \(\Delta\)ABC có : AB = AC ( = 14 )  

\(\Rightarrow\) \(\Delta\)ABC cân tại A 

\(\Rightarrow\) góc ABC = góc ACB ( 2 góc ở đáy )

 Xét \(\Delta\)ABD và \(\Delta\)ACD có :

 góc ABC = góc ACB ( chứng minh trên ) 

góc BAD = góc DAC ( BD là tia phân giác của góc BAC ) 

\(\Rightarrow\)\(\Delta ABD\) đồng dạng \(\Delta\)ACD ( g.g )

\(\Rightarrow\dfrac{S\Delta ABD}{S\Delta ACD}=^{ }\) \(\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2\)

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{S\Delta ABD}{S\Delta ACD}=\dfrac{144}{144}=1\)