Bạn An và Bình chơi một trò chơi,bạn An viết số 2019 lên bảng,bạn bình sẽ viết 2 số 2018 lên bảng,bạn An tiếp tục viết 2² số 2017 lên bảng,...Cứ số sau được viết sẽ kém số được viết ngay trước đó 1 đơn vị nhưng gấp đôi số lần viết.Thực hiện đến khi số được viết trên bảng là số 1 thì dừng lại.Chứng minh rằng khi đó tổng các số trên bảng sẽ nhỏ hơn 2²⁰²⁰.

An và Bình chơi 1 trò chơi: An viết số 2019 lên bảng, Bình viết  2 số 2018 lên bảng, An viết tiếp 2² số 2017 lên bảng...,  cứ số sau được viết sẽ kém hơn số được viết trước đó 1 đơn vị nhưng gấp đôi số lần viết. Thực hiện đến khi số được viết là số 1 thì dừng lại. CMR: khi đó tổng các số trên bảng nhỏ hơn 2²⁰²⁰

Thầy giáo yêu cầu học trò An tính tích tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 32. An nói rằng số đó quá lớn, cậu ta không viết nổi. Thầy giáo cho phép An bỏ đi các chữ số 0 ở cuối của kết quả. An lên bảng viết đáp số nhưng cố tình viết sai chữ số đầu tiên và chữ số cuối cùng và được số 6631308369336935301672801214. Thầy giáo biết điều này và yêu cầu bạn Bình hãy phục hồi lại kết quả đúng. Sau vài phút tính toán bạn Bình đã hoàn thành nhiệm vụ. Còn bạn, bạn có thể làm được như Bình không?

Thầy giáo viết lên bảng các sốtừ1 đến 2021 và yêu cầu học sinh trong lớp lần lượt lên bảng xóa đi 1 số rồi viết tổng các chữ số của số bị xóa cho đến khi trên bảng chỉ gồm các số có 1 chữ số. Hỏi khi đó, mỗi số 5 và 6 có bao nhiêu số?