. Xét \(\Delta\) CMB có EF là đường trung bình của \(\Delta\).

\(\Rightarrow\) EF // MB \(\Rightarrow\) EF // AB. (1)

Xét \(\Delta\)ADM có KI là đường trung bình của \(\Delta\).

\(\Rightarrow\) KI // AM \(\Rightarrow\) KI // AB. (2)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow\) Tứ giác EFIK là hình thang (*)

Gọi P; Q lần lượt là trung điểm của AM và BN.

Xét \(\Delta\) ACM có PE là đường trung bình của \(\Delta\).

\(\Rightarrow\) PE // AC mà AC // MD (Do góc A = góc M = 60 ở vị trí đồng vị)

\(\Rightarrow\) PE // MD (3)

Mặt khác \(\Delta\)ADM có PK là đường trung bình của \(\Delta\).

\(\Rightarrow\) PK // MD (4)

Từ (3) và (4)

\(\Rightarrow\) P; E; K thẳng hàng mà PE // AC nên KE // AC (5).

Từ (2) và (5)

\(\Rightarrow\) CAB = EKI (Hai góc nhọn có cạnh tương ứng song song)

Mà CAB = 60 độ \(\Rightarrow\) EKI = 60 độ (**)

Chứng minh tương tự ta được F; I; Q thẳng hàng mà QF // MC nên IF // MC;

Lại có MC // BD nên FI // BD (6).

Từ (2) và (6)

\(\Rightarrow\) DBA = FIK (Hai góc nhọn có cạnh tương ứng song song)

Mà DAB = 60 độ

\(\Rightarrow\) FIK = 60 độ (***)

Từ (*); (**) và (***)

\(\Rightarrow\) EFIK là hình thang cân (Hình thang có 2 góc ở đáy bàng nhau là hình thang cân)

\(\Rightarrowđcpm\)

Xét ∆ CMB có EF là đường trung bình của ∆. 
=> EF // MB <=> EF // AB. (1) 
Xét ∆ ADM có KI là đường trung bình của ∆. 
=> KI // AM <=> KI // AB. (2) 
Từ (1);(2) => Tứ giác EFIK là hình thang. (3) 
Gọi giao của CM và AD là O. 
Xét ∆ COA có EK là đương trung bình ∆. 
=> EK // CA. 
Lại có KI // AM 
Mà CA hợp với AM góc 60 độ (∆ACM đều) 
nên EK sẽ hợp với KI góc 60 độ. hay góc EKI = 60 độ. 
Chưng minh tương tự với góc FIK. => góc EKI = góc FIK = 60 độ. (4) 
Từ (3);(4) => hình thang có 2 góc ở đáy bàng nhau là hình thang cân. => đpcm

Xét ∆ CMB có EF là đường trung bình của ∆. 
=> EF // MB <=> EF // AB. (1) 
Xét ∆ ADM có KI là đường trung bình của ∆. 
=> KI // AM <=> KI // AB. (2) 
Từ (1);(2) => Tứ giác EFIK là hình thang. (3) 
Gọi giao của CM và AD là O. 
Xét ∆ COA có EK là đương trung bình ∆. 
=> EK // CA. 
Lại có KI // AM 
Mà CA hợp với AM góc 60 độ (∆ACM đều) 
nên EK sẽ hợp với KI góc 60 độ. hay góc EKI = 60 độ. 
Chưng minh tương tự với góc FIK. => góc EKI = góc FIK = 60 độ. (4) 
Từ (3);(4) => hình thang có 2 góc ở đáy bàng nhau là hình thang cân. => đpcm

Bạn vẽ thêm hình nhé ^_^

dựa vào đâu mà bạn nói EK la đường trung bình của Tam giác COA ?

vẽ hình đi 

1. Chứng minh: Tứ giác EFIK là hình thang cân:

Gọi P là trung điểm của AM và S là trung điểm của BM.

Xét \(\Delta\)ACM: E là trung điểm CM, P là trung điểm AM => EP là đường trung bình \(\Delta\)ACM

=> EP//AC (*)

Ta có: ^DMB=^CAM=60⁰. Mà 2 góc này đồng vị => DM//AC (1)

Xét \(\Delta\)ADM: K là trung điểm AD, P là trung điểm AM

=> PK là đường trung bình \(\Delta\)ADM => PK//DM (2)

Từ (1) và (2) => PK//AC (**)

Từ (*) và (**) => 3 điểm E,K,P thẳng hàng

Tương tự: FS là đường trung bình \(\Delta\)CMB => FS//CM.

Mà CM//BD (Đồng vị) => FS//BD. Lại có: IS//BD => 3 điểm F,I,S thẳng hàng.

Xét  \(\Delta\)CMB: E là trung điểm CM, F là trung điểm BC

=> EF là đường trung bình của \(\Delta\)CMB => EF/MB => EF//AB (3)

Xét \(\Delta\)AMD: K là trung điểm AD, I là trung điểm DM

=> IK là đường trung bình \(\Delta\)AMD => IK//AM => IK//AB (4)

Từ (3) và (4) => EF//IK (5)

Do E,K,P thẳng hàng => ^EKI và ^EPS là 2 góc đồng vị. Mà IK//AB (KI//PS)

=> ^EKI=^EPS (6)

Tương tự F,I,S thẳng hàng; IK//PS => ^FIK=^FSP (Đồng vị) (7)

Ta thấy: EP//AC => ^EPS=^CAM=60⁰;  FS//BD => ^FSP=^DBM=60⁰

=> ^EPS=^FSP=60⁰ (8)

Từ (6); (7) và (8) => ^EKI=^FIK=60⁰ (9)

Từ (5) và (9) => Tứ giác EFIK là hình thang cân (đpcm)

2. Chứng minh KF=1/2CD:

Gọi N là trung điểm AB, Q là trung điểm AC.

Xét \(\Delta\)ADB: K là trung điểm AD, N là trung điểm AB

=> KN là đường trung bình của \(\Delta\)ADB => KN//BD và KN=1/2BD => KN=1/2DM (10)

PK là đường trung bình \(\Delta\)AMD (cmt) => PK=1/2DM (11)

Từ (10) và (11) => KN=PK

Xét \(\Delta\)ACM: Q là trung điểm AC, P là trung điểm AM

=> PQ là đường trung bình \(\Delta\)ACM => PQ//CM ;PQ=1/2CM (12)

NF là đường trung bình \(\Delta\)ABC => NF=1/2AC => NF=1/2CM (13)

Từ (12) và (13) => PQ=NF

Lại có: ^KPQ=^KNF=60⁰ (Tự tính)

Xét \(\Delta\)QKP và \(\Delta\)FKN có:

KP=KN (cmt)

^KPQ=^KNF       => \(\Delta\)QKP=\(\Delta\)FKN (c.g.c)

PQ=NF (cmt)

=> KQ=KF (2 canh tương ứng) (14)

Xét \(\Delta\)CAD: Q là trung điểm AC, K là trung điểm AD

=> KQ là đường trung bình \(\Delta\)CAD => KQ=1/2CD (15)

Từ (14) và (15) => KF=1/2CD (đpcm).

7jhjjjjhbn