Giả sử bài toán đã có đầu đủ giả thuyết cần thiết rồi. (Thiếu giả thuyết nhá bác).

\(x^3+y^3+z^3\ge\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^3+\left(\dfrac{y+z}{2}\right)^3+\left(\dfrac{z+x}{2}\right)^3\)

\(\Leftrightarrow6\left(x^3+y^3+z^3\right)-3\left(xy^2+xz^3+yx^2+yz^2+zx^2+zy^2\right)\ge0\)

Ta có bổ đề:

\(x^3+x^3+y^3\ge3yx^2\)

Thế vô thì bài toán được chứng minh.

1 cách giải khác:

\(bdt\Leftrightarrow8\left(x^3+y^3+z^3\right)\ge\left(x+y\right)^3+\left(y+z\right)^3+\left(x+z\right)^3\)

\(\Leftrightarrow8\left(x^3+y^3+z^3\right)\ge2\left(x^3+y^3+z^3\right)+xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+xz\left(x+z\right)\)

\(\Leftrightarrow6\left(x^3+y^3+z^3\right)\ge xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+xz\left(x+z\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+3\left(y+z\right)\left(y^2-yz+z^2\right)+3\left(x+z\right)\left(x^2-xz+z^2\right)\ge xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+xz\left(x+z\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2+3\left(y+z\right)\left(y-z\right)^2+3\left(x+z\right)\left(x-z\right)^2=0\)

\("="\Leftrightarrow x=y=z\)

a)

\(x^3-7x-6=x^3-x-6x-6\)

\(=x(x^2-1)-6(x+1)\)

\(=x(x-1)(x+1)-6(x+1)=(x+1)[x(x-1)-6]\)

\(=(x+1)(x^2-x-6)=(x+1)[x^2-3x+2x-6]\)

\(=(x+1)[x(x-3)+2(x-3)]=(x+1)(x+2)(x-3)\)

b) \(x^3-6x^2+8x\)

\(=x(x^2-6x+8)\)

\(=x(x^2-4x-2x+8)\)

\(=x[x(x-4)-2(x-4)]=x(x-2)(x-4)\)

c) \(x^4+2x^3-16x^2-2x+15\)

\(=(x^4+2x^3-x^2-2x)-15x^2+15\)

\(=[(x^4-x^2)+(2x^3-2x)]-15(x^2-1)\)

\(=[x^2(x^2-1)+2x(x^2-1)]-15(x^2-1)\)

\(=(x^2-1)(x^2+2x)-15(x^2-1)=(x^2-1)(x^2+2x-15)\)

\(=(x^2-1)(x^2-3x+5x-15)=(x^2-1)[x(x-3)+5(x-3)]\)

\(=(x^2-1)(x+5)(x-3)=(x-1)(x+1)(x+5)(x-3)\)

d)

\(x^3-11x^2+30x=x(x^2-11x+30)\)

\(=x(x^2-5x-6x+30)\)

\(=x[x(x-5)-6(x-5)]=x(x-6)(x-5)\)

a) x³ -7x -6

=x³ -x-6x-6

= x(x² -1)-6(x-1)

= x(x-1)(x+1)-6(x-1)

=(x-1)(x² +x+6)

sao máy chủ bảo mình không được phép thi vậy

Bạn sửa nhanh giúp mình. Làm xong không noppj được. Ức quá. Tí tối đi học sợ nộp sau quá :[

Sao ko có mk

Lời giải:

Theo BĐT về tam giác: độ dài một cạnh tam giác thì nhỏ hơn tổng độ dài 2 cạnh còn lại:

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} AM< MP+AP\\ AM< MN+AN\end{matrix}\right.\Rightarrow 2AM< MP+MN+AP+AN\)

Dễ nhận thấy $MN,MP$ là các đường trung bình của tam giác $ABC$

\(\Rightarrow MN=\frac{1}{2}AB; MP=\frac{1}{2}AC\)

Lại có: \(AP=\frac{1}{2}AB; AN=\frac{1}{2}AC\)

Do đó: \(2AM< \frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}AC=AB+AC\)

\(\Rightarrow AM< \frac{AB+AC}{2}\)

Hoàn toàn TT với \(BN, CP\) suy ra:

\(AM+BN+CP< \frac{AB+AC}{2}+\frac{BC+BA}{2}+\frac{CA+CB}{2}=AB+BC+AC\)

Ta có đpcm

c) \(xy(x-y)+yz(y-z)+xz(z-x)\)

\(=xy(x-y)-yz[(x-y)+(z-x)]+zx(z-x)\)

\(=(xy-yz)(x-y)+(zx-yz)(z-x)\)

\(=y(x-z)(x-y)+z(x-y)(z-x)\)

\(=(x-y)(z-x)(z-y)\)

d) \(x^4+4a^4=(x^2)^2+(2a^2)^2\)

\(=(x^2)^2+(2a^2)^2+2x^2.2a^2-4x^2a^2\)

\(=(x^2+2a^2)^2-(2xa)^2\)

\(=(x^2+2a^2-2ax)(x^2+2a^2+2ax)\)

e)

\(x^5+x+1=x^5-x^2+x^2+x+1\)

\(=x^2(x^3-1)+x^2+x+1\)

\(=x^2(x-1)(x^2+x+1)+(x^2+x+1)\)

\(=(x^2+x+1)[x^2(x-1)+1]=(x^2+x+1)(x^3-x^2+1)\)

f)

\(x^4+2013x^2+2012x+2013\)

\(=x^4-x+2013x^2+2013x+2013\)

\(=x(x^3-1)+2013(x^2+x+1)\)

\(=x(x-1)(x^2+x+1)+2013(x^2+x+1)\)

\(=(x^2+x+1)[x(x-1)+2013]=(x^2+x+1)(x^2-x+2013)\)

a)

\((a+b+c)^2+(a+b-c)^2-4c^2\)

\(=(a+b+c)^2+(a+b-c)^2-(2c)^2\)

\(=(a+b+c)^2+(a+b-c-2c)(a+b-c+2c)\)

\(=(a+b+c)^2+(a+b-3c)(a+b+c)\)

\(=(a+b+c)(a+b+c+a+b-3c)=(a+b+c)(2a+2b-2c)\)

\(=2(a+b+c)(a+b-c)\)

b) \(x^2-y^2+2x-4y-3\)

\(=(x^2+2x+1)-(y^2+4y+4)\)

\(=(x+1)^2-(y+2)^2\)

\(=[(x+1)-(y+2)][(x+1)+(y+2)]\)

\(=(x-y-1)(x+y+3)\)

\(-27x^2+257-1200=-\left(3\sqrt{2}x-\dfrac{256}{6\sqrt{3}}\right)^2-\dfrac{16016}{27}< 0\forall x\)

\(\Rightarrow\) phương trình vô nghiệm

câu này tương đương với \(\left(2k\right)^2-\left(2k+2\right)^2⋮16\) thế \(k=1\) vào thì không thỏa mãn \(\Rightarrow\) đề sai

cmt đầu

hehe

sao chưa thưởng GP cho tui!!!

he he m được cộng 3gp rùi , còn được vào vòng 2 nữa

Đề khó căng mắt ra :)

Chấm điểm bài mình đi

Mình thấy vậy có hợp lí mà đề lớp 6-7 gì mà khó thế bạn?