Bạn đừng đăng bài của cuộc thi bên mình nhé, nếu bạn muốn biết đáp án thì để hết vòng 1 mình sẽ làm

\(\frac{a}{b}=\frac{b}{3c}=\frac{c}{9a}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=b.k\\b=c.3k\\c=c.9k\end{cases}\Leftrightarrow abc=abc.27k^3.}\)

\(\Leftrightarrow k=\frac{1}{3}\Rightarrow\frac{b}{3c}=\frac{1}{3}\Rightarrow b=c.\)

Bài hình do ngại, mình chụp ảnh ko đưa lên đây dc. nên thôi nhé .

giúp mk đi nếu đúng mk k bn 10 cái

Bài giải :

Gọi E,D,F lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC,AB,AC.

Vì I là giao điểm các đường phân giác trong tam giác ABC nên : ID = IE = IF = x

- Ta có : Tam giác ADI vuông tại D có góc DAI = \(45^o\)

⇒ Tam giác ADI vuông cân tại D .

hay AD = ID = x

- Xét hai tam giác vuông AID và tam giác vuông AIF có :

Tam giác vuông AID = Tam giác vuông AIF ( cạnh huyền-góc nhọn )

⇒AD = AF = x

Vậy ID = IE =IF = AD = AF = x

Xét hai tam giác vuông BEI và tam giác vuông BDI có :

Tam giác vuông BDI = tam giác vuông BEI ( cạnh huyền - góc nhọn)

nên BD = BE = y

- Tương tự ta có : tam giác vuông CIE = tam giác vuông CIF

nên CE = CF = z

Ta có :

\(CI^2=CE^2+IE^2=z^2+x^2\left(1\right)\)

Mà : \(\frac{\left(BC-AB\right)^2+AC^2}{2}=\frac{\left[\left(y+z\right)^2-\left(x+y\right)^2\right]+\left(x+z\right)^2}{2}\)

                                                   \(=\frac{\left(z-x\right)^2+\left(x+z\right)^2}{2}=\frac{2x^2+2z^2}{2}=x^2+z^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có \(CI^2=\frac{\left(BC-AB\right)^2+AC^2}{2}\)

Hình thì bạn tự vẽ nhé

Kẻ ID, IE, IF lần lượt vuông với  AB, BC, CE 
- vì I là giao điểm 3 dường phân giác của tam giác  nên       ID = IE = IF = x
- ta có:  \(\Delta ADI\) vuông tại D có \(\widehat{DAI}=45^0\) suy ra  \(\Delta ADI\)vuông cân tại D
                                                                            hay AD = ID = x
- chứng minh tương tự, ta dươc ID = IE = IF = AD = AF = x
-  ta có:  \(\Delta BDI=\Delta BEI\)(cạnh huyền - góc nhọn )
     nên  BD = BE = y
- chứng minh tương tự, ta có: CE = CF = z

Ta có:   \(CI^2=CE^2+IE^2=z^2+x^2\)    (1)

Lại có:   \(\frac{\left(BC-AB\right)^2+AC^2}{2}=\frac{\left[\left(y+z\right)-\left(x+y\right)\right]^2+\left(x+z\right)^2}{2}\)  

\(=\frac{\left(z-x\right)^2+\left(x+z\right)^2}{2}=\frac{z^2-2xz+x^2+x^2+2xz+z^2}{2}=\frac{2\left(x^2+z^2\right)}{2}=x^2+z^2\)   (2)

So sánh (1) và (2) suy ra đpcm.

Năm sau tui giải cho =))

Năm sau thì thôi

đề bài có chút sai xót, sửa lại là

b) \(\frac{AM}{BN}=\left(\frac{AI}{BI}\right)^2\)