Ta có:

\(\left(x-\frac{1}{y}\right)^2\ge0\Rightarrow x^2+\frac{1}{y^2}\ge2.\frac{x}{y}\)

\(\left(y-\frac{1}{x}\right)^2\ge0\Rightarrow y^2+\frac{1}{x^2}\ge2.\frac{y}{x}\)

Mặt khác , vì \(x>0;y>0\)nên suy ra

\(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)\ge2.\frac{x}{y}.2.\frac{y}{x}=4\)

Vậy GTNN của M là 4, khi xy=1

P/s tham khảo nha

a) xy + 4x = 35 + 5y

=> xy + 4x - 5y = 35

=> x(y + 4) - 5(y + 4) = 15

=> (x - 5)(y + 4) = 15

=> x - 5;y + 4 \(\in\)Ư(15) = {1; 3; 5; 15}

Lập bảng :

Vậy ...

b)  2^|x| + y² + y = 2x + 1

Ta có: 2x + 1 là số lẻ => 2^|x| + y² + y là số lẻ

Mà y² +  y = y(y + 1) là số chẵn => 2^|x| là số lẻ

                              <=> 2^|x| = 1 <=> 2^|x| = 2⁰ <=> |x| = 0 <=> x = 0

Với x = 0 => 2⁰ + y² + y = 2.0 + 1

=> 1 + y² + y = 1

=> y(y + 1) = 0

=> \(\orbr{\begin{cases}y=0\\y+1=0\end{cases}}\)

=> \(\orbr{\begin{cases}y=0\\y=-1\end{cases}}\)

Do x; y \(\in\)N => x = y = 0 (tm)

\(A=\frac{1}{x}+\frac{4}{y}\ge\frac{\left(1+2\right)^2}{x+y}=9\)  ( BĐT Cauchy - Schwart)

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi \(\frac{1}{x}=\frac{2}{y}\) và x + y = 1 \(\Rightarrow y=2x=2\left(1-y\right)\Rightarrow y=\frac{2}{3}\Rightarrow x=\frac{1}{3}\)

Vậy min A = 9 khi và chỉ khi \(y=\frac{2}{3};x=\frac{1}{3}\)

\(A=\frac{1}{x}+\frac{1}{\frac{1}{2}y}+\frac{1}{\frac{1}{2}y}\)
Có:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{\frac{1}{2}y}+\frac{1}{\frac{1}{2}y}\ge\frac{9}{x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}y}=9\)
\(\Rightarrow A\ge9\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}y=\frac{1}{3}\)
tick nhé
 

Áp dụng BĐT Bun .... :

\(A=\frac{1}{x}+\frac{4}{y}=\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}\right)=\left[\left(\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{y}\right)^2\right]\left[\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2+\left(\frac{2}{\sqrt{y}}\right)^2\right]\)

\(\ge\left[\sqrt{x}\cdot\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{y}\cdot\frac{2}{\sqrt{y}}\right]^2=\left(1+2\right)^2=9\)

Vậy Min A =  9 tại \(\frac{\sqrt{x}}{\frac{1}{\sqrt{x}}}=\frac{\sqrt{y}}{\frac{2}{\sqrt{y}}}\Rightarrow x=\frac{y}{2}\) thay vào x + y = 1 Giải ra x ; y 

bạn ơi câu 1 phương trình có đúng không vậy?

Câu 1 : Cho \(\left(x_0;y_0\right)\)là nghiệm nguyên dương của phương trình 1003x+2y=2008. Biểu thức A= \(x_0^2+y_0^2\)có giá trị bằng?

nhận xét rằng 1003x chia hết cho 2

đặt x=2k(k thuoc Z)

thay vào pt. biểu diễn y theo k

cm pt luôn có nghiệm với mọi x, y thuộc Z

A=x+y)(1/x+1/y)

phá ra áp dụng cô si cho 2 cái ẩn,,,dấu = 2x=y