Do x+ y= 1 nên

S = 16 x 2 y 2 + 12 ( x + y ) ( x 2 - x y + y 2 ) + 34 x y = 16 x 2 y 2 + 12 ( x + y ) 2 - 3 x y + 34 x y ,   d o   x + y = 1 = 16 x 2 y 2 - 2 x y + 12

Đặt t= xy . Do x≥ 0 ; y≥0  nên

  0 ≤ x y ≤ ( x + y ) 2 4 = 1 4 ⇒ t ∈ 0 ; 1 4

Xét hàm số f(t) = 16t²- 2t + 12  trên [0 ; 1/4].

Ta có f’ (t) = 32t- 2 ; f’(t) =0 khi t= 1/ 16  .

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có:

m i n 0 ; 1 4 f ( t ) = f ( 1 16 ) = 191 16 ;         m a x 0 ; 1 4 f ( t ) = f ( 1 4 ) = 25 2

Vậy giá trị lớn nhất của S là 25/2 đạt được khi 

x + y = 1 x y = 1 4 ⇔ x = 1 2 y = 1 2

giá trị nhỏ nhất của S  là 191/ 16 đạt được khi

Chọn A.

Ta có : \(x^2+y^2=4< =>x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)

\(< =>4\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}< =>\left(x+y\right)^2\le4.2=8< =>x+y\le\sqrt{8}\)

Hay \(x+y\le\sqrt{8}\)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=\sqrt{2}\)

Vậy GTLN của P = \(\sqrt{8}\)đạt được khi và chỉ khi \(x=y=\sqrt{2}\)

bằng 1 nha bạn

Bài này hơi căng đấy, theo cách tao nhã nào đó, nó có thể là một bề dày không hoen ố. 

Dễ dàng chứng minh được bđt sau:

\(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\) \(\left(i\right)\)

Thật vậy, áp dụng bđt  \(B.C.S\) cho bộ số bao gồm  \(\left(1;1\right)\)  và  \(\left(x^2;y^2\right)\)  ta được:

\(\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\) 

\(\Rightarrow\)  \(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)

Hay nói cách khác,  \(\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\ge x+y\)

Dấu  \("="\)  xảy ra khi  \(x=y\)

Vậy, bđt đã cho được chứng minh!

Theo như cách đề bài đã chọn, để biểu thức  \(A\)  có giá trị lớn nhất thì  \(\frac{1}{A}\) phải đạt giá trị nhỏ nhất hay ta phải tìm  \(P_{min}\)(với  \(P=\frac{1}{A}\)\(\Rightarrow\) \(P\in Z^+\))

Ta có:  \(P=\frac{x+y+2}{xy}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{xy}\)

Lại có:  \(4=x^2+y^2\ge2xy\)  \(\Rightarrow\)  \(2\ge xy\)  (theo bđt Cauchy cho hai số  \(x^2,y^2\)  không âm)

nên  \(P\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+1\)

Mặt khác, tiếp tục áp dụng bđt  \(Cauchy-Schwarz\)  dạng  \(Engel\)  cho bộ số gồm  \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y}\right)\)  đối với  \(P,\)ta có:

\(P\ge\frac{4}{x+y}+1\ge\frac{4}{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}+1=\frac{4}{\sqrt{2.4}}+1=\sqrt{2}+1\) (theo bđt  \(\left(i\right)\)  )

Do đó,  \(P_{min}=\sqrt{2}+1\)  tức là  \(\frac{1}{A}\)  đạt giá trị nhỏ nhất là  \(\sqrt{2}+1\)

Vậy, dễ dàng suy ra được  \(A_{max}=\frac{1}{\sqrt{2}+1}\)

Dấu  \("="\)  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}x,y>0\\x^2+y^2=4\\x=y\end{cases}\Leftrightarrow}\) \(x=y=\sqrt{2}\)

x=2               y=2

vì x,y>0

p/4=x^2+y^2/x^2+y^2-xy

đặt x/y=a>0

p/4=a^2+1/a^2-a+1 suy ra P(a^2-a+1=4(a^2+1) suy ra a^2(P-4)-Pa+P-4=0

ta có P^2-4(P-4)^2_>0 suy ra 8/3_< P_<8

ak dấu _< là lớn hơn hoặc bằng nha

k mk nữa

Ta có: \(x+y+z=xyz\Leftrightarrow x=\frac{x+y+z}{yz}\Leftrightarrow x^2=\frac{x^2+xy+xz}{yz}\Leftrightarrow x^2+1=\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{yz}\)\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}=\sqrt{\frac{yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)

Tương tự, ta được: \(\frac{1}{\sqrt{y^2+1}}=\sqrt{\frac{zx}{\left(y+x\right)\left(y+z\right)}}\); \(\frac{1}{\sqrt{z^2+1}}=\sqrt{\frac{xy}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)

Cộng theo từng vế ba đẳng thức trên, ta được: \(P=\sqrt{\frac{yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\sqrt{\frac{zx}{\left(y+x\right)\left(y+z\right)}}+\sqrt{\frac{xy}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)\(\le\frac{\frac{y}{x+y}+\frac{z}{z+x}+\frac{x}{x+y}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{z+x}+\frac{y}{y+z}}{2}=\frac{3}{2}\)(BĐT Cô-si)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = \(\sqrt{3}\)