A=a^3/24+a^2/8+a/12 
= (a^3+ 3 a^2+ 2) /24 = a(a+1)(a+2)/24 
ta cần CM a(a+1)(a+2) chia hết cho 24 
để dễ hiểu mình sẽ trình bày cụ thể, còn nếu muốn rút gọn thì b có thể tự trình bày lại nhá :D 
do a chắn => a=4k hoặc a=4k+2 (k thuộc Z) 
TH1: a=4k; a+2=4k+2 
=> a(a+1)(a+2) chia hết cho 4*2=8 
và trong 3 số a, a+1, a+2 có 1 số chia hết cho 3 mà (3;8)=1 
=> a(a+1)(a+2) chia hết cho 24 

TH2: a=4k+2, a+2= 4k+4 (k thuộc Z) 
=> a(a+1)(a+2) chia hết cho 4*2=8 
và trong 3 số a, a+1, a+2 có 1 số chia hết cho 3 mà (3;8)=1 
=> a(a+1)(a+2) chia hết cho 24 

vậy A=a^3/24+a^2/8+a/12 luôn có giá trị nguyên 

1) Đặt a=2k vì a chẵn 
=>A = k^3/3+k^2/2+k/6 = (2k^3+3k^2+k)/6 
= (2(k-1)k(k+1) + 3k(k+1))/6 
=(k-1)k(k+1)/3 + k(k+1)/2 
(k-1)k(k+1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3 =>(k-1)k(k+1)/3 nguyên 
k(k+1) là tích của hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 =>k(k+1)/2 nguyên 
=>A nguyên

\(\frac{n}{12}+\frac{n^2}{8}+\frac{n^3}{24}=\frac{2n+3n^2+n^3}{24}=\frac{n^3+2n^2+n^2+2n}{24}=\frac{n^2\left(n+2\right)+n\left(n+2\right)}{24}\)

\(=\frac{\left(n^2+n\right)\left(n+2\right)}{24}=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{24}\)

Do n chẵn nên n=2k (k nguyên) => n+2=2k+2=2(k+1) => n(n+2)=2k.2(k+1)=4k(k+1)

k(k+1) là 2 số nguyên liên tiếp, trong đó có ít nhất 1 số chẵn nên k(k+1) chia hết cho 2 => 4k(k+1) chia hết cho 8

=>n(n+2) chia hết cho 8=>n(n+1)(n+2) chia hết cho 8 (1)

Mặt khác n;n+1;n+2 là 3 số nguyên liên tiếp nên trong đó có ít nhất 1 số chia hết cho 3 (tự chứng minh hoặc xem cách chứng minh trên mạng nhé)

=>n(n+1)(n+2) chia hết cho 3 (2)

Từ (1) và (2) và (3;8)=1 => n(n+1)(n+2) chia hết cho 3.8=24

=>\(\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{24}\) nguyên => đpcm

ta cóA=\(\frac{n}{12}+\frac{n^2}{8}+\frac{n^3}{24}\)=\(\frac{2n+3n^2+n^3}{24}=\frac{n\left(n^2+3n+2\right)}{24}\)=\(\frac{n\left(n^2+n+2n+2\right)}{24}=\frac{n\left[n\left(n+1\right)+2\left(n+1\right)\right]}{24}\)

=\(\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{24}\)
n là số chẵn=> n có dạng 2k
ta có: A=\(\frac{2k\left(2k+1\right)\left(2k+2\right)}{24}=\frac{8k^3+12k^2+4k}{24}\)

=\(\frac{2k^3+3k^2+k}{12}=\frac{2k^3+2k^2+k^2+k}{12}=\frac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{12}\)

ta có tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 12=> A nguyên với mọi n là số chẵn

Đặt n = 2k , ta có                      ( đk k >= 1 do n là một số chẵn lớn hơn 4)

\(\left(2k\right)^4-4\times\left(2k\right)^3-4\times\left(2k\right)^2+16\times2k\)

\(=16k^4-32k^3-16k^2+32k\)

\(=16k^2\left(k^2-1\right)-32k\left(k^2-1\right)\)

\(=16k\times k\left(k-1\right)\left(k+1\right)-32\times k\left(k-1\right)\left(k+1\right)\)

Nhận xét \(\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\)  là 3 số tự nhiên liên tiếp nên 

\(\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\) chia hết cho 3

Suy ra điều cần chứng minh

câu 1:

a, giả sử 2 số chẵn liên tiếp là 2k và (2k+2) ta có:

2k(2k+2) = 4k²+4k = 4k(k+1) chia hết cho 8 vì 4k chia hết cho 4, k(k+1) chia hết cho 2

b, giả sử 3 số nguyên liên tiếp là a,a+1,a+2 với mọi a thuộc Z

mặt khác vì là 3 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ chia hết cho 3.

vậy tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6.

c, giả sử 5 số nguyên liên tiếp là a,a+1,a+2, a+3,a+4 với mọi a thuộc Z

vậy tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 120.

câu 2:

a, a³ + 11a = a[(a² - 1)+12] = (a - 1)a(a+1) + 12a

vậy a³ + 11a chia hết cho 6.

b, ta có a³ - a = a(a² - 1) = (a-1)a(a+1) chia hết cho 3 (1) 

mn(m²-n²) = m³n - mn³ = m³n - mn + mn - mn³ = n( m³ - m) - m(n³ -n)

theo (1) mn(m²-n²) chia hết cho 3.

c, ta có: a(a+1)(2a+10 = a(a+1)(a -1+ a +2) = [a(a+1)(a - 1) + a(a+1)(a+2)] chia hết cho 6.( théo ý b bài 1)

sao dài yữ vậy trời???????????????????????????????????????

Ta có: A =n^12-n^8-n^4+1 
=(n^8-1)(n^4-1)=(n^4+1)(n^4-1)^2 
=(n^4+1)[(n^2+1)(n^2-1)]^2 
=(n-1)^2*(n+1)^2*(n^2+1)^2*(n^4+1) 
Ta có n-1 và n+1 là 2 số chẵn liên tiếp nên có 1 số chỉ chia hết cho 2 ,1 số chia hết cho 4 nên (n-1)(n+1) chia hết cho 8 => (n-1)^2*(n+1)^2 chia hết cho 64 
Mặt khác n lẻ nên n^2+1,n^4+1 cũng là số chẵn nên (n^2+1)^2*(n^4+1) chia hết cho 2^3=8 
Do đó : A chia hết cho 64*8=512

a, Ta có m là số nguyên chẵn

=> m có dạng 2k 

=> m³+20m=(2k)³+20.2k

=8k³+40k=8k(k²+5)

Cần chứng minh k(k²+5) chia hết cho 6

Nếu k chẵn => k(k²+5) chia hết cho 2

Nếu k lẻ =>k² lẻ=> k²+5 chẵn=> k(k²+5) chia hết cho 2

Nếu k chia hết cho 3 thì k(k²+5) chia hết cho 3

Nếu k chia 3 dư 1 hoặc dư 2 thì 

k có dạng 3k+1 hoặc 3k+2

=> (3k+1)[(3k+1)²+5)]

=(3k+1)(9k²+6k+6) Vì 9k²+6k+6 chia hết cho 3 

=> k(k²+5) chia hết cho 3

Nếu  k chia 3 dư 2 

=> k có dạng 3k +2

=> k(k²+5)=(3k+2)[(3k+2)²+5]

=(3k+2)(9k²+12k+9)

Vì 9k²+12k +9 chia hết cho 3

=> k(k^2+5) chia hết cho 3

=> k(k²+5) chia hết cho 6

=> 8k(k²+5) chia hết cho 48

=> dpcm

mơn bạn