Ta có \(1994\)có tổng các chữ số là \(1+9+9+4=23⋮̸3\)nên \(1994⋮̸3\Rightarrow1994^{100}⋮̸3\).

Ta có \(1994^{100}-1,1994^{100},1994^{100}+1\)là 3 số tự nhiên liên tiếp nên một trong 3 số đó chia hết cho \(3\). 

Do đó trong 2 số \(1994^{100}-1,1994^{100}+1\) có 1 số chia hết cho \(3\).

Từ đây ta có đpcm. 

* 1994 chia 1993 dư 1 => 1994^100 chia 1993 dư 1 
=> 1994^100 - 1 chia hết cho 1993 
hiển nhiên 1994^100 > 1993 
=> 1994^100 - 1 là hợp số 

* ta cũng có thể dùng khai triển nhị thức: 
1994^100 - 1 = (1994-1)(1994^99 + 1994^98 + ... + 1) 
=> 1994^100 - 1 là hợp số 
-------------- 
tôi nghĩ chỉ cần cm một trong hai số là hợp số là xong, tuy nhiên như thế thì đề đưa ra 1994^100 + 1 để làm gì??? 
có lẽ ý người ra đề muốn giải theo cách khác!!! 

1994^100 -1; 1994^100; 1994^100 +1 là 3 số tự nhiên liên tiếp, nên có 1 số chia hết cho 3 
mà 1994 không chia hết cho 3 => 1994^100 không chia hết cho 3 
=> trong 1994^100-1 và 1994^100+1 phải có 1 số chia hết cho 3 => chúng không đồng thời là số nguyên tố 

1994 chia 1993 dư 1 => 1994^100 chia 1993 dư 1 
=> 1994^100 - 1 chia hết cho 1993 
hiển nhiên 1994^100 > 1993 
=> 1994^100 - 1 là hợp số 

* ta cũng có thể dùng khai triển nhị thức: 
1994^100 - 1 = (1994-1)(1994^99 + 1994^98 + ... + 1) 
=> 1994^100 - 1 là hợp số 
-------------- 
tôi nghĩ chỉ cần cm một trong hai số là hợp số là xong, tuy nhiên như thế thì đề đưa ra 1994^100 + 1 để làm gì??? 
có lẽ ý người ra đề muốn giải theo cách khác!!! 

1994^100 -1; 1994^100; 1994^100 +1 là 3 số tự nhiên liên tiếp, nên có 1 số chia hết cho 3 
mà 1994 không chia hết cho 3 => 1994^100 không chia hết cho 3 
=> trong 1994^100-1 và 1994^100+1 phải có 1 số chia hết cho 3 => chúng không đồng thời là số nguyên tố 

TUI THẤY HÌNH NHƯ SKT_NXS COPPY OF VIỆT ANH HAY SAO Ý VÌ VIỆT ANH TRẢ LỜI LÚC 19 : 49 CÒN SKT_NXS TRẢ LỜI LÚC 19:53 

1994¹⁰⁰ = (1994²)⁵⁰ = (...6) ⁵⁰ = ...6 (vì số có tận cùng là 6 khi nâng lên lũy thừa mũ bất kì luôn cho tận cùng là 6)

=> 1994¹⁰⁰ - 1 = ...6 - 1 = ...5 

Mà ...5 chia hết cho 5

=> 1994¹⁰⁰ là hợp số

=> 1994¹⁰⁰-1 và 1994¹⁰⁰+1  không thể đồng thời là số nguyên tố 

Nhận xét:

1994¹⁰⁰-1 ; 1994¹⁰⁰ ; 1994¹⁰⁰+1  là ba số tự nhiên liên tiếp nên phải có một số chia hết cho 3

Mà 1994¹⁰⁰ không chia hết cho 3 vì 1994 không chia hết cho 3

=>Hoặc 1994¹⁰⁰-1 hoặc 1994¹⁰⁰+1 chia hết cho 3

=>Hoặc 1994¹⁰⁰-1 hoặc 1994¹⁰⁰+1 là hợp số

=>1994¹⁰⁰-1 và 1994¹⁰⁰+1 không thể đòng thời là 2 số nguyên tố

Bài 2 :

Với p là số nguyên tố lớn hơn 3 => p chỉ có dạng hoặc 3k + 1 hoặc 3k + 2

+ Nếu p = 3k + 1 => 2p + 1 = 2 . ( 3k + 1 ) + 1 = 6k + 2 + 1 = 6k + 3 \(⋮\)3 và lớn hơn 3 là hợp số ( loại )

Vì p ko có dạng 3k + 1 nên p có dạng 3k + 2

Với p = 3k + 2 thì 4p + 1 = 4 . ( 3k + 2 ) + 1 = 12k + 8 + 1 = 12k + 9 là hợp số

Vậy ...

Bài 1 :

Ta có \(1994^{100}-1,1994^{100},1994^{100}+1\) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên phải có 1 số chia hết cho 3 mà \(1994^{100}\)có tổng các chữ số là \(1+9+9+4=123\)không chia hết 3 nên \(1994^{100}\)không chia hết cho 3 nên trong 2 số còn lại ít nhất có một số chia hết cho 3 ,số đó không thể là số nguyên tố 

Vậy \(1994^{100}-1\)và \(1994^{100}+1\)không thể đồng thời là số nguyên tố

Bài 2

Do P là số nguyên tố lớn hơn 3 nên 4p không chia hết cho 3 ,tương tự \(4p+2=2\left(2p+4\right)\)cũng không chia hết cho 3

Mà \(4p,4p+1,4p+2\)là 3 số tự nhiên liên tiếp nên ít nhất phải có 1 số chia hêt cho 3 .Do đó \(4p+1⋮3\)mà \(4p+1>13\)nên \(4p+1\)là hợp số 

Chúc bạn học tốt ( -_- )

Bài 1:

1994¹⁰⁰ - 1; 1994¹⁰⁰; 1994¹⁰⁰ + 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp

=> Sẽ có 1 trong số 3 

1994 ko chia hết cho 3

=> 1994¹⁰⁰ chia hết cho 3 (phải có 1 số chia hết cho 3 số đó là 1994¹⁰⁰ - 1)

=> Chúng ko đồng thời là Số nguyên tố

Bài 2:

p là số tự nhiên > 3 nên có dạng: 3k + 1

                                                         3k + 2

Xét 2 trường hợp:

Th1: p = 3k + 1, ta có:

2p + 1 = 2(3k + 1) + 1 = 6k + 2 + 1 = 6k + 3 (do vì chia hết cho 3 nến => nó là hợp số) (loại)

Th2: p = 3k + 2, ta có:

2p = 1 = 2(3k + 2) + 1 = 6k + 4 + 1 = 6k + 5 (nhận)

Do: 4p + 1 = 4(3k + 2) + 1 = 12k + 8 + 1 = 12k + 9, ta thấy rằng:

12k và 9 đều chia hết cho 3 => (12k + 9) là hợp số

=> 4p + 1 là hợp số (đpcm).