Áp dụng tính chất dãy tủ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{a+b-c}{c}\) = \(\frac{a-b+c}{b}\) = \(\frac{-a+b+c}{a}\) = \(\frac{a+b+c}{a+b+c}\) = 1

=>\(\frac{a+b-c}{c}\) = 1

a+b-c = c

a+b =2c

=>\(\frac{a-b+c}{b}\) = 1

a-b+c = c

a+c =2b

=>\(\frac{-a+b+c}{a}\) = 1

-a+b+c = a

b+c =2a

Thay a+b =2c , a+c =2b , b+c =2a vào biểu thức:

M=\(\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}\) = \(\frac{2c.2b.2a}{abc}\) = \(\frac{2^3abc}{abc}\) = 2³ =8

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}\)

\(=\frac{a+b-c+a-b+c-a+b+c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}\)(1)

+) Nếu \(a+b+c=0\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=-c\\b+c=-a\\c+a=-b\end{cases}}\)

Thay vào biểu thức M ta được: \(M=\frac{\left(-c\right).\left(-a\right).\left(-b\right)}{abc}=\frac{-abc}{abc}=-1\)

+) Nếu \(a+b+c\ne0\)

\(\Rightarrow\)Giá trị của (1) \(=1\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b-c=c\\a-b+c=b\\-a+b+c=a\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=2c\\c+a=2b\\b+c=2a\end{cases}}\)

Thay vào biểu thức M ta được: \(M=\frac{2c.2b.2a}{abc}=\frac{8abc}{abc}=8\)

Vậy \(M=-1\)hoặc \(M=8\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có 

\(\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}=\frac{a+b-c+a-b+c-a+b+c}{c+b+a}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b-c=c\\a-b+c=b\\-a+b+c=a\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b-c+c=c+c\\a-b+b+c=b+b\\-a+a+b+c=a+a\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}a+b=2c\\a+c=2b\\b+c=2a\end{cases}}}\)

Thay các tổng a + b ; a + c ; b + c vào biểu thức M , ta có :

\(M=\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}=\frac{2c.2a.2b}{abc}=\frac{8.abc}{abc}=8\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}=\frac{a+b-c+a-b+c-a+b+c}{c+b+a}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

=> \(\frac{a+b-c}{c}=1\Rightarrow a+b=2c\) 

\(\frac{a-b+c}{b}=1\Rightarrow a+c=2b\)

\(\frac{-a+b+c}{a}=1\Rightarrow b+c=2a\)

Vậy \(M=\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}=\frac{2c.2b.2a}{abc}=\frac{8abc}{abc}=8\)

8 nha !

TH1: Nếu \(a+b+c=0\) ( \(a,b,c\ne0\))

\(\Rightarrow a+b=-c\); \(b+c=-a\); \(c+a=-b\)

\(\Rightarrow M=\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}=\frac{\left(-c\right).\left(-a\right).\left(-b\right)}{abc}=\frac{-abc}{abc}=-1\)

TH2: Nếu \(a+b+c\ne0\)( \(a,b,c\ne0\))

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}\)

\(=\frac{a+b-c+a-b+c-a+b+c}{a+b+c}\)

\(=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

\(\Rightarrow a+b-c=c\)\(\Rightarrow a+b=2c\)

\(a-b+c=b\)\(\Rightarrow a+c=2b\)

\(-a+b+c=a\)\(\Rightarrow b+c=2a\)

\(\Rightarrow M=\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}=\frac{2c.2a.2b}{abc}=\frac{8abc}{abc}=8\)

Vậy \(M=-1\)hoặc \(M=8\)

Với \(\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}\) và ĐK : \(a,b,c\ne0\), ta có :

\(\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{b-a+c}{a}\). Đặt \(\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{b-a+c}{a}=x\), mà \(\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{b-a+c}{a}=\frac{a+b-c+a-b+c+b-a+c}{c+b+a}\), có tiếp : \(=\frac{a-a+a+b-b+b+c-c+c}{c+b+a}=\frac{a+b+c}{c+b+a}=1\). Nhưng vì ĐK :\(=\frac{-a+b+c}{a}\), nên a + b - c = a - b + c = a - c + b = x ( coi x = a = b = c )

Tức là a,b,c = \(Stn\inℕ^∗\)

 \(M=\frac{2x2x2x}{abc}=\frac{x^38}{abc}=\frac{x512}{abc}\)

Biểu thức xảy ra khi a = b = c = x

\(\text{Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:}\)

\(\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}=\frac{a+b-c+a-b+c-a+b+c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

\(\text{Ta suy ra:}\)

- \(\frac{a+b-c}{c}=1\)=> \(\frac{a+b-c}{c}+1=1+1\)=> \(\frac{a+b-c+c}{c}=2\)=> \(\frac{a+b}{c}=2\)

- \(\frac{a-b+c}{b}=1\)=> \(\frac{a-b+c}{b}+1=1+1\)=> \(\frac{a-b+c+b}{b}=2\)=> \(\frac{a+c}{b}=2\)

- \(\frac{-a+b+c}{a}=1\)=> \(\frac{-a+b+c}{a}+1=1+1\)=> \(\frac{-a+b+c+a}{a}=2\)=> \(\frac{b+c}{a}=2\)

\(\text{Do đó :}\)

     \(\frac{a+b}{c}\cdot\frac{b+c}{b}\cdot\frac{c+a}{a}=2\cdot2\cdot2\)

=> \(\frac{\left(a+b\right)\cdot\left(b+c\right)\cdot\left(c+a\right)}{a\cdot b\cdot c}=8\)

=> \(M=8\)

    \(\text{ Vậy M=8}\)

\(\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}=\frac{a+a-a+b-b+b-c+c+c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)                                                                                                                  (Tính chất dãy các tỉ số bằng nhau)                                                                  Do đó:
\(\frac{a+b-c}{c}=1\Rightarrow\frac{a+b}{c}-1=1\Rightarrow\frac{a+b}{c}=2\)
\(\frac{a-b+c}{b}=1\Rightarrow\frac{a+c}{b}-1=1\Rightarrow\frac{a+c}{b}=2\)
\(\frac{-a+b+c}{a}=1\Rightarrow\frac{b+c}{a}-1=1\Rightarrow\frac{b+c}{a}=2\)
\(\Rightarrow M=\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}=\frac{a+b}{c}.\frac{b+c}{a}.\frac{a+c}{b}=2.2.2=8\)