Bài toán sai.

Ví dụ: a \(\ge\) b \(\ge\) c  1

Thì có a=1, b=1, c=1

\(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{b+1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}<2\)

xin lỗi mk nhầm đề!!

bạn giải chi tiết ra cho mk đc ko?

999 - 888 - 111 + 111 - 111 + 111 - 111

= 111 - 111 + 111 - 111 + 111 - 111

= 0 + 111 - 111 + 111 - 111

= 111 - 111 + 111 - 111

= 0 + 111 - 111

= 111 - 111

= 0

Ta sử dụng bất đẳng thức Chebyshev sau đây:

Nếu các số \(a\ge b\ge c,x\ge y\ge z\) thì \(3\left(ax+by+cz\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(x+y+z\right).\)

Thực vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với \(\left(a-b\right)\left(x-y\right)+\left(b-c\right)\left(y-z\right)+\left(c-a\right)\left(z-x\right)\ge0.\)

Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\ge b\ge c\). Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

\(\frac{a+b}{\sqrt{c\left(a+b\right)}}+\frac{b+c}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}+\frac{c+a}{\sqrt{b\left(c+a\right)}}\ge2\left(\frac{c}{\sqrt{c\left(a+b\right)}}+\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}+\frac{b}{\sqrt{b\left(c+a\right)}}\right)\)

\(\leftrightarrow\frac{a+b-2c}{\sqrt{c\left(a+b\right)}}+\frac{c+a-2b}{\sqrt{b\left(c+a\right)}}+\frac{b+c-2a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge0\)         (***)

Tuy nhiên ta có \(a+b-2c\ge c+a-2b\ge b+c-2a\)   và \(\frac{1}{\sqrt{c\left(a+b\right)}}\ge\frac{1}{\sqrt{b\left(c+a\right)}}\ge\frac{1}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\)  nên theo bất đẳng thức Chebyshev 

\(\frac{a+b-2c}{\sqrt{c\left(a+b\right)}}+\frac{c+a-2b}{\sqrt{b\left(c+a\right)}}+\frac{b+c-2a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\)

\(\ge\frac{1}{3}\left(a+b-2c+b+c-2a+c+a-2b\right)\left(\frac{1}{\sqrt{c\left(a+b\right)}}+\frac{1}{\sqrt{b\left(c+a\right)}}+\frac{1}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\right)=0.\)

Vậy bất đẳng thức (***) đúng, nên ta có điều phải chứng minh.

\(\sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{c+a}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{b}{a}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{c}{b}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{a}{c}}}\)

Đặt \(\frac{b}{a}=x;\frac{c}{b}=y;\frac{a}{c}=z\) khi đó x,y,z>0 và xyz=1
Không mất tính tổng quát giả sử z là số lớn nhất trong 3 số x,y,z \(\Rightarrow z^3\ge xyz=1\Rightarrow z\ge1\)

\(\Rightarrow xy\le1\)

Ta có:\(VT=\frac{1}{\sqrt{1+x}}+\frac{1}{\sqrt{1+y}}+\frac{1}{\sqrt{1+z}}\le\sqrt{2\left(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\right)}+\frac{1}{\sqrt{1+z}}\)

\(\le\sqrt{2.\frac{2}{1+\sqrt{xy}}}+\frac{1}{\sqrt{1+z}}\)(Vì \(xy\le1\) thì \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\le\frac{2}{1+\sqrt{xy}}\)  tự chứng minh)

\(=\frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{z}}}}+\frac{1}{\sqrt{1+z}}\)

Ta cần chứng minh:\(\frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{z}}}}+\frac{1}{\sqrt{z+1}}\le\frac{3}{\sqrt{2}}\) với \(z\ge1\)(Tuơng đuơng là ra)

Okie nha

hello nha

2k? vậy ạ

Áp dụng BĐT Bunyakovsky dạng cộng mẫu:

\(\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{\sqrt{b}}+\frac{\left(\sqrt{b}-1\right)^2}{\sqrt{c}}\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}-2\right)^2}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)

\(=\frac{\left(-\sqrt{c}\right)^2}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{c}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)

Tương tự CM được: \(4\left[\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{\sqrt{b}}+\frac{\left(\sqrt{b}-1\right)^2}{\sqrt{c}}+\frac{\left(\sqrt{c}-1\right)^2}{\sqrt{a}}\right]\ge2\left(\frac{a}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}+\frac{b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{c}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\right)\) (1)

Lại có: \(VP\left(1\right)-\left(\frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{b+c}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{c+a}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}\right)=...=0\) (biến đổi đồng nhất)

=> \(VT\left(1\right)\ge\frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{b+c}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{c+a}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=\frac{4}{9}\)