bài nữa nek
cho a,b,c> 0 và a,b,c=9.tìm MIN B=\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{5}{ab+bc+ca}\)
\(A=\frac{a^2}{a+bc}+\frac{b^2}{b+ca}+\frac{c^2}{c+ab}\)cho ab+bc+ca=abc và a,b,c>0 Tìm min
\(\frac{a^2}{a+bc}=\frac{a^3}{a^2+abc}=\frac{a^3}{a^2+ab+bc+ac}=\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
Áp dụng BĐT cosi
\(\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\ge\frac{3}{4}a\)
Tương tự
=> \(A\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)\)
Lại có \(\left(a+b+c\right)\ge\frac{9}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}=\frac{9}{1}=9\)
=> \(A\ge\frac{9}{4}\)
MinA=9/4 khi a=b=c=3
Bài 1: cho x khác 0, tìm Min \(T=8x^2-4x+\frac{1}{4x^2}+15\)
Bài 2: Cho a,b,c>0 và ab+bc+ca=3abc
Tìm Min: \(P=\frac{a^2}{c\left(c^2+a^2\right)}+\frac{b^2}{a\left(a^2+b^2\right)}+\frac{c^2}{b\left(b^2+c^2\right)}\)
Đề thi HSG đấy ạ!
Bài làm:
Bài 1:
Ta có: \(T=8x^2-4x+\frac{1}{4x^2}+15\)
\(=\left(4x^2-4x+1\right)+\left(4x^2+\frac{1}{4x^2}\right)+14\)
\(=\left(2x-1\right)^2+\left(4x^2+\frac{1}{4x^2}\right)+14\)\(\ge0+2\sqrt{4x^2.\frac{1}{4x^2}}+14=2+14=16\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}\left(2x-1\right)^2=0\\4x^2=\frac{1}{4x^2}\end{cases}\Rightarrow x=\frac{1}{2}}\)
Vậy \(Min\left(T\right)=16\)khi \(x=\frac{1}{2}\)
Bài 2:
Ta có: \(ab+bc+ca=3abc\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}=3\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\left(1\right)\)
Ta xét \(\frac{a^2}{c\left(c^2+a^2\right)}=\frac{\left(c^2+a^2\right)-c^2}{c\left(c^2+a^2\right)}=\frac{1}{c}-\frac{c}{c^2+a^2}=\frac{1}{c}-\frac{1}{a}.\frac{ac}{c^2+a^2}\ge\frac{1}{c}-\frac{1}{a}.\frac{ac}{2ac}=\frac{1}{c}-\frac{1}{2}a\)
Tương tự ta chứng minh được: \(\frac{b^2}{a\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{1}{a}-\frac{1}{2}b\)và \(\frac{c^2}{b\left(b^2+c^2\right)}\ge\frac{1}{b}-\frac{1}{2}c\)
Cộng vế 3 bất đẳng thức trên lại ta được:
\(P\ge\frac{1}{c}-\frac{1}{2}a+\frac{1}{a}-\frac{1}{2}b+\frac{1}{b}-\frac{1}{2}c\)\(=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{2}.3=\frac{3}{2}\left(theo\left(1\right)\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}a^2=b^2\\b^2=c^2\\c^2=a^2\end{cases}\Rightarrow a=b=c=1}\)
Vậy \(Min\left(P\right)=\frac{3}{2}\)khi \(a=b=c=1\)
Học tốt!!!!
Bạn nào học qua rồi thì giải hộ tớ bài này với.
1.Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác
Chứng minh: (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)<=abc
2.Cho a, b, c>0 thoả mãn ab+bc+ca=1.
Tim min M = \(\frac{3a^2b^2+1}{c^2+1}+\frac{3b^2c^2+1}{a^2+1}+\frac{3c^2a^2+1}{b^2+1}\)
3.Cho a,b,c>0 thoả mãn a+b+c=3.
Tìm min N = \(\frac{3+a^2}{b+c}+\frac{3+b^2}{c+a}+\frac{3+c^2}{a+b}\)
4.Cho a, b, c>0 thoả mãn abc=1
Chứng minh: \(\frac{ab}{a^5+b^5+ab}+\frac{bc}{b^5+c^5+bc}+\frac{ca}{c^5+a^5+ac}<=1\)
Cho a,b,c>=0 tm ab+bc+ca=1.Tìm Min B=\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\)
Ta có \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)=3.1=3\) \(\Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{3}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel
\(B=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}\\ab+bc+ca=1\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Cho ab+bc+ca=abc ; a,b,c >0 Tìm min \(A=\frac{a^2}{a+bc}+\frac{b^2}{b+ac}+\frac{c^2}{c+ab}\)
Bài 1: Cho a,b,c >0 và ab+bc+ca=3abc.
Chứng minh: \(\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ac}+\frac{c}{c^2+ab}\le\frac{3}{2}\)
Bài 2: Cho a,b > 0; \(2a+b\ge7.\)
Tìm GTNN của: S=\(a^2-a+3b+\frac{9}{a}+\frac{1}{b}+9\)
Help me!!!
cho a;b;c>0 thỏa mãn abc+ab+bc+ca=2.tìm min của
\(P=\frac{1}{ab+a+b}+\frac{1}{bc+b+c}+\frac{1}{ca+c+a}\)
\(\frac{a}{1+2b^2}+\frac{b}{1+2c^2}+\frac{c}{1+2a^2}\)Cho a,b,c>0 và ab+bc+ca=3 Tìm min P =
làm bài bất trước khi nghỉ tết chứ mấy god nhề( bài e chế) bài này để giải trí thôi nên dễ, ai sol đầu thì e tick. còn ko thì chắc vài ngày nữa e sẽ đăng lời giải hoặc ko đăng vì việc khác...
Cho a,b,c>0 thỏa mãn:
\(\frac{ab+bc+ca+6\left(a+b+c\right)+27}{\left(a+3\right)\left(b+3\right)\left(c+3\right)}=\frac{3}{5}\)
Tìm Min P biết
\(P=\frac{1}{a^2-9}+\frac{1}{b^2-9}+\frac{1}{c^2-9}\)
Sửa lại đề là tìm Max nhé m.n
Ta có:
\(\frac{ab+bc+ca+6\left(a+b+c\right)+27}{\left(a+3\right)\left(b+3\right)\left(c+3\right)}=\frac{3}{5}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(b+3\right)\left(c+3\right)+\left(c+3\right)\left(a+3\right)+\left(a+3\right)\left(b+3\right)}{\left(a+3\right)\left(b+3\right)\left(c+3\right)}=\frac{3}{5}\)
\(\Leftrightarrow\frac{5}{a+3}+\frac{5}{b+3}+\frac{5}{c+3}=3\Leftrightarrow\frac{a-2}{a+3}+\frac{b-2}{b+3}+\frac{c-2}{c+3}=0\)
Xét biểu thức:
\(\frac{a^2-4}{a^2-9}=\frac{\left(a-2\right)\left(a+2\right)}{\left(a-3\right)\left(a+3\right)}=\frac{a-2}{a+3}.\frac{a+2}{a-3}\)
tưởng tự:
\(\frac{b^2-4}{b^2-9}=\frac{b-2}{b+3}.\frac{b+2}{b-3},\frac{c^2-4}{c^2-9}=\frac{c-2}{c+3}.\frac{c+2}{c-3}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2-4}{a^2-9}+\frac{b^2-4}{b^2-9}+\frac{c^2-4}{c^2-9}=\frac{a-2}{a+3}.\frac{a+2}{a-3}+\frac{b-2}{b+3}.\frac{b+2}{b-3}+\frac{c-2}{c+3}.\frac{c+2}{c-3}\)
Do vai trò của a và b và c như nhau nên ta giả sử
\(a\ge b\ge c\)
Khi đó ta có:
\(\frac{a-2}{a+3}\ge\frac{b-2}{b+3}\ge\frac{c-2}{c+3},\frac{a+2}{a-3}\le\frac{b+2}{b-3}\le\frac{c+2}{c-3}\)
Áp dụng bất đẳng thức chebyshev cho 2 bộ ngược chiều trên ta có
\(\frac{a-2}{a+3}.\frac{a+3}{a-2}+\frac{b-2}{b+3}.\frac{b+2}{b-3}+\frac{c-2}{c+3}.\frac{c+2}{c-3}\le\left(\frac{a-2}{a+3}+\frac{b-2}{b+3}+\frac{c-2}{c+3}\right).\left(\frac{a+2}{a-3}+\frac{b+2}{b-3}+\frac{c+2}{c-3}\right)\)
Mà \(\frac{a-2}{a+3}+\frac{b-2}{b+3}+\frac{c-2}{c+3}=0\)
\(\Rightarrow\frac{a^2-4}{a^2-9}+\frac{b^2-4}{b^2-9}+\frac{c^2-4}{c^2-9}\le0\)
\(\Rightarrow\frac{5}{a^2-9}+\frac{5}{b^2-9}+\frac{5}{c^2-9}\le-3\Rightarrow\frac{1}{a^2-9}+\frac{1}{b^2-9}+\frac{1}{c^2-9}\le\frac{-3}{5}\)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=2
Tìm max nha mấy god, e bị nhầm sory
e sửa lại hahaha, bất đẳng thức chebyshev áp dụng v là ko đúng, phải lớn hơn hoặc bằng ạ, e cứ bị nhầm dấu, lần đầu đã ok r sau lại còn sửa hjhj