Đầu tiên, nhận thấy khi n lẻ thì tử và mẫu đều là số chẵn, không thỏa 
Vậy n phải là số chẵn 
Ta có (n+1)/(n-3)=1+4/(n-3) 
4 có các ước là -4;-2;-1;1;2;4 
Khi n là số chẵn thì n-3 lẻ. Do đó để 4/(n-3) tối giản thì n-3<>-1 và n-3<>1 hay n<>2 và n<>4 
Kết luận: để (n+1)/(n-3) là tối giản thì n phải là số chẵn khác 2 và 4. 

Chú ý: lý luận n-3 là ước của 4 chỉ có thể áp dụng để giải bài toán "tìm n để (n+1)/(n-3) là số nguyên", nếu áp dụng vào bài toán này thì sẽ không chính xác lắm. 

PS. Bài này anh giải theo hướng (n+1)/(n-3), còn nếu là n+1/(n-3) thì dễ hơn nhiều. Vì thế, khi gửi đề toán, em làm ơn dùng DẤU NGOẶC ĐƠN để diễn tả đúng biểu thức nhé! 

n+1/n-3 nghĩa là n cộng cho 1/n, tất cả trừ 3. Cái này thì có lẽ không đúng ý của em là n<>3 
n+1/(n-3) nghĩa là n cộng cho thuơng 1/(n-3). Cái này giải ra n khác 4 và n khác 2 
(n+1)/(n-3) nghĩa là (n+1) là tử số, (n-3) là mẫu số. Cái này giải ra n là số chẵn khác 4 và 2

\(2A=\frac{2\left(n+10\right)}{2n-8}=\frac{2n+20}{2n-8}=\frac{2n-8+28}{2n-8}=1+\frac{28}{2n-8}\)

Để \(1+\frac{28}{2n-8}\) là số nguyên \(\frac{28}{2n-8}\) là số nguyên

=> 2n - 8 thuộc ước của 28

Ư(28) = { - 28; - 14; - 7; - 4; - 2; - 1; 1; 2; 4; 7; 14; 28 }

=> 2n - 8 = { - 28; - 14; - 7; - 4; - 2; - 1; 1; 2; 4; 7; 14; 28 }

=> n = { - 10; - 3; 2; 3; 5; 6; 11; 18 }

Vì A \(\in Z\)\(\Rightarrow\frac{n+10}{2n-8}\)\(\in Z\)

=> \(n+10⋮2n-8\)

=> \(2.\left(n+10\right)⋮2n-8\)

=> \(2n+20⋮2n-8\)

=> \(\left(2n-8\right)+28⋮2n-8\)

=> \(28⋮2n-8\)

=> \(2n-8\inƯ\left(28\right)=\left\{-28;-14;-7;-4;-2;-1;1;2;4;7;14;28\right\}\)

Vì \(2n-8\)là số nguyên chẵn 

=> \(2n-8\in\left\{-28;-14;-4;-2;2;4;14;28\right\}\)

=> \(2n\in\left\{-20;-6;4;6;10;12;22;36\right\}\)

=> \(n\in\left\{-10;-3;2;3;5;6;11;18\right\}\)

Thử lại: với các giá trị của \(n\in\left\{-10;-3;2;3;5;6;11;18\right\}\)

Ta thấy: \(n\in\left\{-10;2;3;6;18\right\}\)( thỏa mãn )

Vậy: \(n\in\left\{-10;2;3;6;18\right\}\)thì A \(\in Z\)

\(A=\frac{n-8}{n+1}+\frac{n+3}{n+1}=\frac{n-8+n+3}{n+1}=\frac{2n-5}{n+1}\)

Để \(A\)là số nguyên thì \(2n-5⋮n+1\)

\(n+1⋮n+1\Rightarrow2\left(n+1\right)⋮n+1\Rightarrow2n+2⋮n+1\)

\(\Rightarrow2n-5-\left(2n+2\right)⋮n+1\Rightarrow2n-5-2n-2⋮n+1\)\(\Rightarrow-7⋮n+1\)

\(\Rightarrow n+1\inƯ\left(7\right)=\left\{1;7;-1;-7\right\}\Rightarrow n\in\left\{0;6;-2;-8\right\}\)

thanks bn nhju nha Kurokawa Neko

n thuộc N* => (2n - 5) thuộc Z và lớn hơn hoặc bằng -3 
Để a là số nguyên thì 8 chia hết cho (2n - 5) 
=> n thuộc Ư(8)
=> Ư( 8 ) = { -1; 1; -2; 2; -4;4;-8; 8 }
=> n thuộc { 2 ; 3 }

Chúc bạn học giỏi nhé !!!