*Bạn tự vẽ kình nha

a) Xét \(\Delta\) IHC có J, M là trung điểm của IH,IC

=> JM là đường trung bình

=> +) JM = 1/2 HC

     +) JM // HC 

Có AK // BC mà H thuộc BC => AK // HC

                                            mà JM // HC (cmt) 

=>AK // JM

Lại có N là trung điểm của AK => +) N\(\in\)AK 

                                                  mà AK // JM (cmt) => AN // JM (1)

                                                      +) AN = 1/2 AK

Xét tứ giác AKNH có AK // Hc , AH // KC

=> AKNH là hình bình hành => AK = HC

                                            Có : AN = 1/2 AK

                                                    JM = 1/2 HC

=> AN = JM (2)

Từ (1) và (2) => tứ giác ANMJ là hình bình hành

Xem lại đề nhà bạn, BI vuông góc với MN thì hơi vô lí, BI vuông góc với AN thôi

Gọi gia điểm của AJ và BI là G. và giao điểm của AH và BI là O.

Ta c/m đc : IH=IC => \(\frac{1}{2}.IH=\frac{1}{2}.IC\)=> JH=\(\frac{1}{2}.IC\) (vì  J là t/đ của HI)=> \(\frac{JH}{IC}=\frac{1}{2}\)  

Mặt khác : \(\frac{AH}{BC}=\frac{1}{2}\) (vì tg ABC vuông cân tai A)  . Nên \(\frac{JH}{IC}=\frac{AH}{BC}\)

xét tg AJH và tg BIC có: \(\frac{JH}{IC}=\frac{AH}{BC}\)(cmt) ; ^AHJ=^BCI (cùng phụ vs ^IHC)

=> tg AJH đ.dạng vs tg BIC(c.g.c)=> ^HAJ=^CBI   

Xét tg BOH có: ^OBH+^BHO+^HOB=180( t/c tổng các góc trong tg)=> ^OBH+90+^HOB=180 (vì ^BHO=90)      (1)

Xét tg AOG có: ^OAG+^AGO+^GOA=180(......................................)   (2)

Từ (1),(2) => ^OBH+90+^HOB=^OAG+^AGO+^GOA

mà  ^OBH=^OAG (vì ^HAJ=^CBI) ; ^HOB=^GOA (đ.đ) nên ^AGO=90 => BI vuông góc vs AJ. Mà AJ//MN(vì tg AJMN là hbh) nên BI vuông góc vs MN (đpcm)

Gọi O là giao điểm của AH và IK, N là giao điểm của AM và IK. Ta có 

MAK = MCK, OKA = OAK nên

MAK + OKA = MCK + OAK = 90 độ

Do đó AM vuông góc IK

bạn ơi bạn làm như giải ý 

Gọi G là giao điểm của AH và IK, O là giao điểm của AM và IK.

Do AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác ABC vuông tại A nên AM = MC.

\(\Rightarrow\Delta AMC\)cân tại M\(\Rightarrow\widehat{MCA}=\widehat{MAC}\)(1)

Dễ thấy AIHK là hình chữ nhật. Vì vậy GA = GK ( do G là giao điểm của hai đường chéo AH và IK)

\(\Rightarrow\Delta AGK\)cân tại G\(\Rightarrow\widehat{GAK}=\widehat{GKA}\)(2)

Cộng vế theo vế (1) và (2), ta được:

\(\widehat{MAC}+\widehat{GKA}=\widehat{MCA}+\widehat{GAK}=90^0\)(do tam giác AHC vuông tại H) 

 \(\Rightarrow\widehat{MAC}+\widehat{GKA}=90^0\)

\(\Rightarrow\Delta OAK\)vuông tại O hay \(AM\perp IK\)

Vậy \(AM\perp IK\)(đpcm)

1) Ta có:

\(\hept{\begin{cases}IM=\frac{1}{2}HC\\AN=\frac{1}{2}AK\\HC=AK\end{cases}}\)\(\Rightarrow IM=AN\)

mà IM // AN

\(\Rightarrow\)AJMN là hình bình hành.

Sửa IM thành JM nhé. Mình nhầm.