Góc giữa tiếp tuyến và một dây cung

Dạng 1: Sử dụng tính chất góc giữa tiếp tuyến và dây cung để giải một số bài toán cơ bản

Dạng 1.1: Sử dụng số đo góc bằng nhau để chứng minh

1.Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp (O). Vẽ đường tròn (O’) tiếp xúc trong với (O) tại A và tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tại D, E, F. Cmr:

a) EF song song với BC.

b) AD là phân giác trong góc .

2. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) tiếp xúc trong với nhau tại A (R > R’). Qua A kẻ đường thẳng  cố định cắt (O’), (O) tại B, C tương ứng (khác A). Một đường thẳng thay đổi cắt (O’), (O) tại D, E tương ứng (khác A) ().

a) Cmr: BD//CE.

b) Biết AB = 2, AC = 3. Tìm GTNN của biểu thức .

3. Cho đường tròn (O) và một dây cung MN. Trên tiếp tuyến với (O) tại M, ta lấy điểm T sao cho MT = MN. Tia TN cắt (O) tại điểm thứ hai S. CMR: a) SM = ST.

b) .

4. Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) ta kẻ tiếp tuyến AB tới (O) (B là tiếp điểm) và cát tuyến ADC không đi qua O (D nằm giữa A và C). Phân giác trong  cắt DC tại E. Cmr: AB = AE.

5. Cho hình vuông ABCD. Vẽ cung tròn AC thuộc đường tròn tâm D bán kính DA và trên đó lấy điểm P. Gọi K là giao điểm của DP với nửa đường tròn đường kính AD (nằm ở trong hình vuông), gọi I là hình chiếu vuông góc của P lên AB. Cmr: PK = PI.

6. Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia CO lấy điểm S. Đường thẳng SA cắt đường tròn tại điểm thứ hai M. Tiếp tuyến với (O;R) tại M cắt CD tại P, BM cắt CD tại T.

a) Cmr: .

b) Biết . Hãy tính  theo .

7. Cho hai đường tròn (O) và (O') ở ngoài nhau. Đường thẳng OO' cắt (O) và (O') tương ứng và theo thứ tự tại A, B, C, D. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EFcủa hai đường tròn (E thuộc (O), F thuộc (O')). Gọi M, N là giao điểm của cặp đường thẳng AE,DF và EB,FC tương ứng. CMR:

a) MENF là một hình chữ nhật.

b) MN vuông góc với AD.

c) .

8. Từ một điểm C ở ngoài đường tròn (O) ta kẻ hai tiếp tuyến CA, CB tới (O) ( A, B là tiếp điểm). Vẽ đường tròn (O’) đi qua C và tiếp xúc với AB tại B. (O’) cắt (O) tại điểm M (khác B). Cmr: AM đi qua trung điểm của BC (HD: Kéo dài AM cắt (O’) tại D, ta có ABDC là một hình bình hành)

9. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B và một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với (O), (O’) tại C, D tương ứng. Đường thẳng AB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại E ( khác B). Cmr: ACED là một hình bình hành.

10. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Một tiếp tuyến của (O) tại B cắt (O’) tại hai điểm phân biệt C, D (C nằm giữa B và D). Các tia CA, DA cắt (O) tai E, F tương ứng.

a) Cmr: EF//CD.

b) Gọi M là điểm chính giữa cung CD không chứa A. Tính số đo .

11. Cho đường tròn (O) và một dây cung AB cố định không là đường kính. Xét điểm C di chuyển trên cung lớn AB (C khác A, B). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên hai tiếp tuyến với (O) tại A, B tương ứng, H là hình chiếu vuông góc của C lên AB.

a) Cmr: .

b) Tìm điều kiện để

12. Cho đường tròn (O) và một dây cung AB cố định không là đường kính. Xét điểm C di chuyển trên cung nhỏ AB (C khác A, B). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên hai tiếp tuyến với (O) tại A, B tương ứng, H là hình chiếu vuông góc của C lên AB. Tìm vị trí của C để biểu thức nhỏ nhất.

13. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường tròn ngoại tiếp (O) bán kính 10. Phân giác trong góc B cắt AC và tiếp tuyến tại C của (O) tại D, E tương ứng. Biết BD = 8.

a) Cmr: tam giác CDE cân tại C.

b) Tính độ dài BE.

14*. Cho đường tròn (O) và hai đường tròn nhỏ hơn  nằm trong (O) tiếp xúc trong với (O) tại M, N tương ứng,   cắt nhau tai hai điểm A, B và . Hai tia MA, MB  cắt lại  tương ứng tại  C, D. Cmr: CD tiếp xúc với . (HD: Một tiếp tuyến chung của đi qua C và tiếp xúc với  tại X . Cm:   dựa vào bài 1)

15*.

Dạng 1.2: Sử dụng tính chất:

Bài toán cơ bản:  Cho đường tròn (O: R) và điểm M ở ngoài (O). Từ M kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB tới (O). Khi đó .

1. Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp (O). Tiếp tuyến với (O) tại A cắt BC tại D. Cmr: . (HD: )

2. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B và một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với (O), (O’) tại C, D tương ứng. Gọi M là giao điểm của đường thẳng AB và đường thẳng CD. Cmr: M là trung điểm của CD.

3. Cho góc xAy và đường tròn (O) tiếp xúc với hai tia Ax, Ay tại B, C tương ứng. Từ C kẻ đường thẳng (d) song song với Ax cắt (O) tại điểm thứ hai D; AD cắt (O) tại điểm thứ hai M, CM cắt AB tại N. CMR:

a) .

b) AN=BN.

4. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B. Từ một điểm M thay đổi trên (O) (M ở ngoài (O’)) kẻ tiếp tuyến MC tới (O’) (C thuộc (O’)). Cmr:  là không đổi.

5. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B và một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với (O), (O’) tại C, D tương ứng (B gần đường thẳng CD hơn A). Từ A kẻ đường thẳng song song với CD cắt (O), (O’) tại các điểm thứ hai M, N tương ứng, hai đường thẳng MC, ND cắt nhau tại E. Hai đường thẳng BC, BD cắt MN tại P, Q tương ứng. Cmr:

a) A và E đối xứng nhau qua CD.

b) Tam giác EPQ cân tại E. (HD: Sử dụng kết quả bài 2 và bổ đề hình thang)

6. Cho hai đường tròn (O) và (O’) nằm ngoài nhau và một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với (O) và (O’) tại A, B tương ứng. Gọi C là điểm đối xứng B qua OO’. đường thẳng AC cắt (O) và (O’) tại các điểm thứ hai D, E tương ứng. Cmr:. (HD: Kẻ tiếp tuyến chung ngoài CF)  

7. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B. Tiếp tuyến với (O’) tại B cắt (O) tại điểm thứ hai C. Gọi I là trung điểm BC, đường thẳng AI cắt các đường tròn (O), (O’) tại các điểm thứ hai tương ứng D, E. Cmr: BDCE là một hình bình hành.

8. Cho tam giác ABC nhọn và (O) là đường tròn đường kính BC. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN tới (O) (M, N thuộc (O)). Gọi D là hình chiếu vuông góc của A lên BC, E là giao điểm của MN và AD.

a) Cmr: E là trực tâm tam giác ABC. (HD: Gọi F là giao điểm thứ hai của AB và (O). Cm: )

b) Cmr: DA là phân giác trong góc .

9. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Một đường tròn (O) thay đổi luôn đi qua B, C. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AD, AE với (O) (D, E thuộc (O)).

a) Cmr: D chạy trên một đường tròn cố định.

b) Cmr: đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định.

c) Gọi MN là một đường kính của (O) vuông góc với BC, đường thẳng AM cắt (O) tại điểm thứ hai K. Cmr: AB, DE, KN đồng quy.

Dạng 2: Sử dụng tính chất góc giữa tiếp tuyến và dây cung để chứng minh một đường thẳng tiếp xúc với một đường tròn

Bài toán cơ bản 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Kẻ tia Ax khác phía với AB đối với đường thẳng AC. CMR:  = khi và chỉ khi Ax tiếp xúc với (O).

Bài toán cơ bản 2: Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp (O). Trên tia đối của tia CB lấy điểm D. CMR: AD tiếp xúc với (O) khi và chỉ khi .

Bài tập áp dụng

1. Cho tam giác ABC cân tại A. Đường trung trực của AB cắt tia đối của tia CB tại D. CMR: AB tiếp xúc với (ACD).

2. Cho hình thang ABCD với hai đáy AB,CD. CMR: BC tiếp xúc với đường tròn (ABD) khi và chỉ khi .

3. Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O.

CMR: Đường tròn ngoại tiếp tam giác OCD tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB khi và chỉ khi ABCD.

4. Cho hình bình hành ABCD, . Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD cắt AC ở E. CMR: BD tiếp xúc với đường tròn (AEB).

5. Cho đường tròn (O). Từ một điểm M ở ngoài (O) ta kẻ hai cát tuyến MAB, MCD (theo thứ tự đó); kẻ dây CE song song với AB

a) CMR: =

b) CMR: AD.MB= MD.AE

c) CMR: EA tiếp xúc với đường tròn (MAD)

d) Cho AB= EC. CMR: nếu gọi I là giao điểm của EC và BD thì hai đường tròn (MAD)và (IED) tiếp xúc nhau tại D.

6. Cho tam giác ABC có phân giác trong AD. Xét đường tròn (O) đi qua A và tiếp xúc với BC tại D. Giả sử (O) cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E, F (E, F không trùng với A). CMR:

a)  EF // BC.

b).

c) DF tiếp xúc với (ABD).

7. Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH. Gọi M, N tương ứng là trung điểm AB, AC.

a) MN tiếp xúc với hai đường tròn (HBM) và (HCN).

b) CMR: Các đường tròn (HBM), (HCN), (AMN) cùng đi qua một điểm K.

c) Đường thẳng HK đi qua trung điểm của MN.

8. Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC và một điểm A trên nửa đường tròn (A khác B, C). Gọi H là hình chiếu của A lên BC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A, dựng hai nửa đường tròn đường kính HB, HC, chúng lần lượt cắt AB, AC tại E, F (E khác B, F khác C).

a) CMR: AE.AB=AF.AC.

b) CMR: EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn đường kính HB, HC.

c) Gọi I, K tương ứng là các điểm đối xứng với H qua AB, AC. CMR: I, A, K thẳng hàng và AK tiếp xúc với (O).

d) Gọi M là giao điểm của đường thẳng IK và tiếp tuyến của (O) tại B. CMR: MC, AH, EF đồng quy.

9. Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B cố định trên đó sao cho AB không là đường kính. Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ AB. Trên đoạn AB lấy hai điểm phân biệt C, D sao cho C ở giữa A, D và C, D khác A, B. Các tia MC, MD cắt (O) tại E, F tương ứng(E, F khác M). CMR

a) CEFD là một tứ giác nội tiếp.

b) MA tiếp xúc với đường tròn (ACE).

c) Nếu gọi  lần lượt là tâm các đườn tròn (ACE), (BDF) thì khi C, D thay đổi, thỏa mãn điều kiện đã cho, thì hai đường thẳng  luôn cắt nhau tại một điểm cố định.

10. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có đường tròn ngoại tiếp (O). Xét điểm M thay đổi trên cung nhỏ AC (M khác A, C). Gọi D là giao điểm của hai đường thẳng AM và BC.

a) CMR: AM.AD không đổi.

b) Giả sử 2.AM = BC. Tính số đo các góc .

c) Tìm M để (2.AM + AD) nhỏ nhất.

d) CMR: Đường tròn (MCD) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.

e) CMR: Tâm I của đường tròn (MCD) luôn chạy trên một đường thẳng cố định.

11. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi (I) là đường tròn tiếp xúc với AB tại B và tiếp xúc với AC tại C. Gọi D là trung điểm AB. Tia CD cắt (I) tại E và (ABE) tại K (K khác E). CMR

a)  AK//BC, BK//AC.

b) BC tiếp xúc với (ABE).

12. Cho hai đường tròn (O), (O’) cắt nhau ở A và B. Kẻ tiếp tuyến chung CC’(C thuộc (O), C’ thuộc (O’), A gần CC’ hơn B ) và kẻ đường kính CD của (O). Gọi E, F theo thứ tự là giao điểm của OO’ với C’D và CC’.

a) CMR: .

b) CMR: FA tiếp xúc với đường tròn (CAC’).

13. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF của hai đường tròn (E thuộc (O), F thuộc (O') và E,A,F nằm cùng một phía đối với đường thẳng OO') cắt OO' tại I. CMR: AI tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF.

Chép à??

dài dòng văn tự

rút là xong

cái đo : tự hỏi tự trả lời

Góc giữa tiếp tuyến và một dây cung

Dạng 1: Sử dụng tính chất góc giữa tiếp tuyến và dây cung để giải một số bài toán cơ bản

Dạng 1.1: Sử dụng số đo góc bằng nhau để chứng minh

1.Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp (O). Vẽ đường tròn (O’) tiếp xúc trong với (O) tại A và tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tại D, E, F. Cmr:

a) EF song song với BC.

b) AD là phân giác trong góc .

2. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) tiếp xúc trong với nhau tại A (R > R’). Qua A kẻ đường thẳng  cố định cắt (O’), (O) tại B, C tương ứng (khác A). Một đường thẳng thay đổi cắt (O’), (O) tại D, E tương ứng (khác A) ().

a) Cmr: BD//CE.

b) Biết AB = 2, AC = 3. Tìm GTNN của biểu thức .

3. Cho đường tròn (O) và một dây cung MN. Trên tiếp tuyến với (O) tại M, ta lấy điểm T sao cho MT = MN. Tia TN cắt (O) tại điểm thứ hai S. CMR: a) SM = ST.

b) .

4. Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) ta kẻ tiếp tuyến AB tới (O) (B là tiếp điểm) và cát tuyến ADC không đi qua O (D nằm giữa A và C). Phân giác trong  cắt DC tại E. Cmr: AB = AE.

5. Cho hình vuông ABCD. Vẽ cung tròn AC thuộc đường tròn tâm D bán kính DA và trên đó lấy điểm P. Gọi K là giao điểm của DP với nửa đường tròn đường kính AD (nằm ở trong hình vuông), gọi I là hình chiếu vuông góc của P lên AB. Cmr: PK = PI.

6. Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia CO lấy điểm S. Đường thẳng SA cắt đường tròn tại điểm thứ hai M. Tiếp tuyến với (O;R) tại M cắt CD tại P, BM cắt CD tại T.

a) Cmr: .

b) Biết . Hãy tính  theo .

7. Cho hai đường tròn (O) và (O') ở ngoài nhau. Đường thẳng OO' cắt (O) và (O') tương ứng và theo thứ tự tại A, B, C, D. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EFcủa hai đường tròn (E thuộc (O), F thuộc (O')). Gọi M, N là giao điểm của cặp đường thẳng AE,DF và EB,FC tương ứng. CMR:

a) MENF là một hình chữ nhật.

b) MN vuông góc với AD.

c) .

8. Từ một điểm C ở ngoài đường tròn (O) ta kẻ hai tiếp tuyến CA, CB tới (O) ( A, B là tiếp điểm). Vẽ đường tròn (O’) đi qua C và tiếp xúc với AB tại B. (O’) cắt (O) tại điểm M (khác B). Cmr: AM đi qua trung điểm của BC (HD: Kéo dài AM cắt (O’) tại D, ta có ABDC là một hình bình hành)

9. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B và một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với (O), (O’) tại C, D tương ứng. Đường thẳng AB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại E ( khác B). Cmr: ACED là một hình bình hành.

10. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Một tiếp tuyến của (O) tại B cắt (O’) tại hai điểm phân biệt C, D (C nằm giữa B và D). Các tia CA, DA cắt (O) tai E, F tương ứng.

a) Cmr: EF//CD.

b) Gọi M là điểm chính giữa cung CD không chứa A. Tính số đo .

11. Cho đường tròn (O) và một dây cung AB cố định không là đường kính. Xét điểm C di chuyển trên cung lớn AB (C khác A, B). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên hai tiếp tuyến với (O) tại A, B tương ứng, H là hình chiếu vuông góc của C lên AB.

a) Cmr: .

b) Tìm điều kiện để

12. Cho đường tròn (O) và một dây cung AB cố định không là đường kính. Xét điểm C di chuyển trên cung nhỏ AB (C khác A, B). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên hai tiếp tuyến với (O) tại A, B tương ứng, H là hình chiếu vuông góc của C lên AB. Tìm vị trí của C để biểu thức nhỏ nhất.

13. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường tròn ngoại tiếp (O) bán kính 10. Phân giác trong góc B cắt AC và tiếp tuyến tại C của (O) tại D, E tương ứng. Biết BD = 8.

a) Cmr: tam giác CDE cân tại C.

b) Tính độ dài BE.

14*. Cho đường tròn (O) và hai đường tròn nhỏ hơn  nằm trong (O) tiếp xúc trong với (O) tại M, N tương ứng,   cắt nhau tai hai điểm A, B và . Hai tia MA, MB  cắt lại  tương ứng tại  C, D. Cmr: CD tiếp xúc với . (HD: Một tiếp tuyến chung của đi qua C và tiếp xúc với  tại X . Cm:   dựa vào bài 1)

15*.

Dạng 1.2: Sử dụng tính chất:

Bài toán cơ bản:  Cho đường tròn (O: R) và điểm M ở ngoài (O). Từ M kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB tới (O). Khi đó .

1. Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp (O). Tiếp tuyến với (O) tại A cắt BC tại D. Cmr: . (HD: )

2. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B và một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với (O), (O’) tại C, D tương ứng. Gọi M là giao điểm của đường thẳng AB và đường thẳng CD. Cmr: M là trung điểm của CD.

3. Cho góc xAy và đường tròn (O) tiếp xúc với hai tia Ax, Ay tại B, C tương ứng. Từ C kẻ đường thẳng (d) song song với Ax cắt (O) tại điểm thứ hai D; AD cắt (O) tại điểm thứ hai M, CM cắt AB tại N. CMR:

a) .

b) AN=BN.

4. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B. Từ một điểm M thay đổi trên (O) (M ở ngoài (O’)) kẻ tiếp tuyến MC tới (O’) (C thuộc (O’)). Cmr:  là không đổi.

5. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B và một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với (O), (O’) tại C, D tương ứng (B gần đường thẳng CD hơn A). Từ A kẻ đường thẳng song song với CD cắt (O), (O’) tại các điểm thứ hai M, N tương ứng, hai đường thẳng MC, ND cắt nhau tại E. Hai đường thẳng BC, BD cắt MN tại P, Q tương ứng. Cmr:

a) A và E đối xứng nhau qua CD.

b) Tam giác EPQ cân tại E. (HD: Sử dụng kết quả bài 2 và bổ đề hình thang)

6. Cho hai đường tròn (O) và (O’) nằm ngoài nhau và một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với (O) và (O’) tại A, B tương ứng. Gọi C là điểm đối xứng B qua OO’. đường thẳng AC cắt (O) và (O’) tại các điểm thứ hai D, E tương ứng. Cmr:. (HD: Kẻ tiếp tuyến chung ngoài CF)  

7. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B. Tiếp tuyến với (O’) tại B cắt (O) tại điểm thứ hai C. Gọi I là trung điểm BC, đường thẳng AI cắt các đường tròn (O), (O’) tại các điểm thứ hai tương ứng D, E. Cmr: BDCE là một hình bình hành.

8. Cho tam giác ABC nhọn và (O) là đường tròn đường kính BC. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN tới (O) (M, N thuộc (O)). Gọi D là hình chiếu vuông góc của A lên BC, E là giao điểm của MN và AD.

a) Cmr: E là trực tâm tam giác ABC. (HD: Gọi F là giao điểm thứ hai của AB và (O). Cm: )

b) Cmr: DA là phân giác trong góc .

9. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Một đường tròn (O) thay đổi luôn đi qua B, C. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AD, AE với (O) (D, E thuộc (O)).

a) Cmr: D chạy trên một đường tròn cố định.

b) Cmr: đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định.

c) Gọi MN là một đường kính của (O) vuông góc với BC, đường thẳng AM cắt (O) tại điểm thứ hai K. Cmr: AB, DE, KN đồng quy.

Dạng 2: Sử dụng tính chất góc giữa tiếp tuyến và dây cung để chứng minh một đường thẳng tiếp xúc với một đường tròn

Bài toán cơ bản 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Kẻ tia Ax khác phía với AB đối với đường thẳng AC. CMR:  = khi và chỉ khi Ax tiếp xúc với (O).

Bài toán cơ bản 2: Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp (O). Trên tia đối của tia CB lấy điểm D. CMR: AD tiếp xúc với (O) khi và chỉ khi .

Bài tập áp dụng

1. Cho tam giác ABC cân tại A. Đường trung trực của AB cắt tia đối của tia CB tại D. CMR: AB tiếp xúc với (ACD).

2. Cho hình thang ABCD với hai đáy AB,CD. CMR: BC tiếp xúc với đường tròn (ABD) khi và chỉ khi .

3. Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O.

CMR: Đường tròn ngoại tiếp tam giác OCD tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB khi và chỉ khi ABCD.

4. Cho hình bình hành ABCD, . Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD cắt AC ở E. CMR: BD tiếp xúc với đường tròn (AEB).

5. Cho đường tròn (O). Từ một điểm M ở ngoài (O) ta kẻ hai cát tuyến MAB, MCD (theo thứ tự đó); kẻ dây CE song song với AB

a) CMR: =

b) CMR: AD.MB= MD.AE

c) CMR: EA tiếp xúc với đường tròn (MAD)

d) Cho AB= EC. CMR: nếu gọi I là giao điểm của EC và BD thì hai đường tròn (MAD)và (IED) tiếp xúc nhau tại D.

6. Cho tam giác ABC có phân giác trong AD. Xét đường tròn (O) đi qua A và tiếp xúc với BC tại D. Giả sử (O) cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E, F (E, F không trùng với A). CMR:

a)  EF // BC.

b).

c) DF tiếp xúc với (ABD).

7. Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH. Gọi M, N tương ứng là trung điểm AB, AC.

a) MN tiếp xúc với hai đường tròn (HBM) và (HCN).

b) CMR: Các đường tròn (HBM), (HCN), (AMN) cùng đi qua một điểm K.

c) Đường thẳng HK đi qua trung điểm của MN.

8. Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC và một điểm A trên nửa đường tròn (A khác B, C). Gọi H là hình chiếu của A lên BC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A, dựng hai nửa đường tròn đường kính HB, HC, chúng lần lượt cắt AB, AC tại E, F (E khác B, F khác C).

a) CMR: AE.AB=AF.AC.

b) CMR: EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn đường kính HB, HC.

c) Gọi I, K tương ứng là các điểm đối xứng với H qua AB, AC. CMR: I, A, K thẳng hàng và AK tiếp xúc với (O).

d) Gọi M là giao điểm của đường thẳng IK và tiếp tuyến của (O) tại B. CMR: MC, AH, EF đồng quy.

9. Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B cố định trên đó sao cho AB không là đường kính. Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ AB. Trên đoạn AB lấy hai điểm phân biệt C, D sao cho C ở giữa A, D và C, D khác A, B. Các tia MC, MD cắt (O) tại E, F tương ứng(E, F khác M). CMR

a) CEFD là một tứ giác nội tiếp.

b) MA tiếp xúc với đường tròn (ACE).

c) Nếu gọi  lần lượt là tâm các đườn tròn (ACE), (BDF) thì khi C, D thay đổi, thỏa mãn điều kiện đã cho, thì hai đường thẳng  luôn cắt nhau tại một điểm cố định.

10. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có đường tròn ngoại tiếp (O). Xét điểm M thay đổi trên cung nhỏ AC (M khác A, C). Gọi D là giao điểm của hai đường thẳng AM và BC.

a) CMR: AM.AD không đổi.

b) Giả sử 2.AM = BC. Tính số đo các góc .

c) Tìm M để (2.AM + AD) nhỏ nhất.

d) CMR: Đường tròn (MCD) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.

e) CMR: Tâm I của đường tròn (MCD) luôn chạy trên một đường thẳng cố định.

11. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi (I) là đường tròn tiếp xúc với AB tại B và tiếp xúc với AC tại C. Gọi D là trung điểm AB. Tia CD cắt (I) tại E và (ABE) tại K (K khác E). CMR

a)  AK//BC, BK//AC.

b) BC tiếp xúc với (ABE).

12. Cho hai đường tròn (O), (O’) cắt nhau ở A và B. Kẻ tiếp tuyến chung CC’(C thuộc (O), C’ thuộc (O’), A gần CC’ hơn B ) và kẻ đường kính CD của (O). Gọi E, F theo thứ tự là giao điểm của OO’ với C’D và CC’.

a) CMR: .

b) CMR: FA tiếp xúc với đường tròn (CAC’).

13. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF của hai đường tròn (E thuộc (O), F thuộc (O') và E,A,F nằm cùng một phía đối với đường thẳng OO') cắt OO' tại I. CMR: AI tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF.

Có 1 câu mak đăng mãi

Góc giữa tiếp tuyến và một dây cung

Dạng 1: Sử dụng tính chất góc giữa tiếp tuyến và dây cung để giải một số bài toán cơ bản

Dạng 1.1: Sử dụng số đo góc bằng nhau để chứng minh

1.Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp (O). Vẽ đường tròn (O’) tiếp xúc trong với (O) tại A và tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tại D, E, F. Cmr:

a) EF song song với BC.

b) AD là phân giác trong góc .

2. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) tiếp xúc trong với nhau tại A (R > R’). Qua A kẻ đường thẳng  cố định cắt (O’), (O) tại B, C tương ứng (khác A). Một đường thẳng thay đổi cắt (O’), (O) tại D, E tương ứng (khác A) ().

a) Cmr: BD//CE.

b) Biết AB = 2, AC = 3. Tìm GTNN của biểu thức .

3. Cho đường tròn (O) và một dây cung MN. Trên tiếp tuyến với (O) tại M, ta lấy điểm T sao cho MT = MN. Tia TN cắt (O) tại điểm thứ hai S. CMR: a) SM = ST.

b) .

4. Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) ta kẻ tiếp tuyến AB tới (O) (B là tiếp điểm) và cát tuyến ADC không đi qua O (D nằm giữa A và C). Phân giác trong  cắt DC tại E. Cmr: AB = AE.

5. Cho hình vuông ABCD. Vẽ cung tròn AC thuộc đường tròn tâm D bán kính DA và trên đó lấy điểm P. Gọi K là giao điểm của DP với nửa đường tròn đường kính AD (nằm ở trong hình vuông), gọi I là hình chiếu vuông góc của P lên AB. Cmr: PK = PI.

6. Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia CO lấy điểm S. Đường thẳng SA cắt đường tròn tại điểm thứ hai M. Tiếp tuyến với (O;R) tại M cắt CD tại P, BM cắt CD tại T.

a) Cmr: .

b) Biết . Hãy tính  theo .

7. Cho hai đường tròn (O) và (O') ở ngoài nhau. Đường thẳng OO' cắt (O) và (O') tương ứng và theo thứ tự tại A, B, C, D. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EFcủa hai đường tròn (E thuộc (O), F thuộc (O')). Gọi M, N là giao điểm của cặp đường thẳng AE,DF và EB,FC tương ứng. CMR:

a) MENF là một hình chữ nhật.

b) MN vuông góc với AD.

c) .

8. Từ một điểm C ở ngoài đường tròn (O) ta kẻ hai tiếp tuyến CA, CB tới (O) ( A, B là tiếp điểm). Vẽ đường tròn (O’) đi qua C và tiếp xúc với AB tại B. (O’) cắt (O) tại điểm M (khác B). Cmr: AM đi qua trung điểm của BC (HD: Kéo dài AM cắt (O’) tại D, ta có ABDC là một hình bình hành)

9. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B và một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với (O), (O’) tại C, D tương ứng. Đường thẳng AB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại E ( khác B). Cmr: ACED là một hình bình hành.

10. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Một tiếp tuyến của (O) tại B cắt (O’) tại hai điểm phân biệt C, D (C nằm giữa B và D). Các tia CA, DA cắt (O) tai E, F tương ứng.

a) Cmr: EF//CD.

b) Gọi M là điểm chính giữa cung CD không chứa A. Tính số đo .

11. Cho đường tròn (O) và một dây cung AB cố định không là đường kính. Xét điểm C di chuyển trên cung lớn AB (C khác A, B). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên hai tiếp tuyến với (O) tại A, B tương ứng, H là hình chiếu vuông góc của C lên AB.

a) Cmr: .

b) Tìm điều kiện để

12. Cho đường tròn (O) và một dây cung AB cố định không là đường kính. Xét điểm C di chuyển trên cung nhỏ AB (C khác A, B). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên hai tiếp tuyến với (O) tại A, B tương ứng, H là hình chiếu vuông góc của C lên AB. Tìm vị trí của C để biểu thức nhỏ nhất.

13. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường tròn ngoại tiếp (O) bán kính 10. Phân giác trong góc B cắt AC và tiếp tuyến tại C của (O) tại D, E tương ứng. Biết BD = 8.

a) Cmr: tam giác CDE cân tại C.

b) Tính độ dài BE.

14*. Cho đường tròn (O) và hai đường tròn nhỏ hơn  nằm trong (O) tiếp xúc trong với (O) tại M, N tương ứng,   cắt nhau tai hai điểm A, B và . Hai tia MA, MB  cắt lại  tương ứng tại  C, D. Cmr: CD tiếp xúc với . (HD: Một tiếp tuyến chung của đi qua C và tiếp xúc với  tại X . Cm:   dựa vào bài 1)

15*.

Dạng 1.2: Sử dụng tính chất:

Bài toán cơ bản:  Cho đường tròn (O: R) và điểm M ở ngoài (O). Từ M kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB tới (O). Khi đó .

1. Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp (O). Tiếp tuyến với (O) tại A cắt BC tại D. Cmr: . (HD: )

2. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B và một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với (O), (O’) tại C, D tương ứng. Gọi M là giao điểm của đường thẳng AB và đường thẳng CD. Cmr: M là trung điểm của CD.

3. Cho góc xAy và đường tròn (O) tiếp xúc với hai tia Ax, Ay tại B, C tương ứng. Từ C kẻ đường thẳng (d) song song với Ax cắt (O) tại điểm thứ hai D; AD cắt (O) tại điểm thứ hai M, CM cắt AB tại N. CMR:

a) .

b) AN=BN.

4. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B. Từ một điểm M thay đổi trên (O) (M ở ngoài (O’)) kẻ tiếp tuyến MC tới (O’) (C thuộc (O’)). Cmr:  là không đổi.

5. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B và một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với (O), (O’) tại C, D tương ứng (B gần đường thẳng CD hơn A). Từ A kẻ đường thẳng song song với CD cắt (O), (O’) tại các điểm thứ hai M, N tương ứng, hai đường thẳng MC, ND cắt nhau tại E. Hai đường thẳng BC, BD cắt MN tại P, Q tương ứng. Cmr:

a) A và E đối xứng nhau qua CD.

b) Tam giác EPQ cân tại E. (HD: Sử dụng kết quả bài 2 và bổ đề hình thang)

6. Cho hai đường tròn (O) và (O’) nằm ngoài nhau và một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với (O) và (O’) tại A, B tương ứng. Gọi C là điểm đối xứng B qua OO’. đường thẳng AC cắt (O) và (O’) tại các điểm thứ hai D, E tương ứng. Cmr:. (HD: Kẻ tiếp tuyến chung ngoài CF)  

7. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B. Tiếp tuyến với (O’) tại B cắt (O) tại điểm thứ hai C. Gọi I là trung điểm BC, đường thẳng AI cắt các đường tròn (O), (O’) tại các điểm thứ hai tương ứng D, E. Cmr: BDCE là một hình bình hành.

8. Cho tam giác ABC nhọn và (O) là đường tròn đường kính BC. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN tới (O) (M, N thuộc (O)). Gọi D là hình chiếu vuông góc của A lên BC, E là giao điểm của MN và AD.

a) Cmr: E là trực tâm tam giác ABC. (HD: Gọi F là giao điểm thứ hai của AB và (O). Cm: )

b) Cmr: DA là phân giác trong góc .

9. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Một đường tròn (O) thay đổi luôn đi qua B, C. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AD, AE với (O) (D, E thuộc (O)).

a) Cmr: D chạy trên một đường tròn cố định.

b) Cmr: đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định.

c) Gọi MN là một đường kính của (O) vuông góc với BC, đường thẳng AM cắt (O) tại điểm thứ hai K. Cmr: AB, DE, KN đồng quy.

Dạng 2: Sử dụng tính chất góc giữa tiếp tuyến và dây cung để chứng minh một đường thẳng tiếp xúc với một đường tròn

Bài toán cơ bản 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Kẻ tia Ax khác phía với AB đối với đường thẳng AC. CMR:  = khi và chỉ khi Ax tiếp xúc với (O).

Bài toán cơ bản 2: Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp (O). Trên tia đối của tia CB lấy điểm D. CMR: AD tiếp xúc với (O) khi và chỉ khi .

Bài tập áp dụng

1. Cho tam giác ABC cân tại A. Đường trung trực của AB cắt tia đối của tia CB tại D. CMR: AB tiếp xúc với (ACD).

2. Cho hình thang ABCD với hai đáy AB,CD. CMR: BC tiếp xúc với đường tròn (ABD) khi và chỉ khi .

3. Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O.

CMR: Đường tròn ngoại tiếp tam giác OCD tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB khi và chỉ khi ABCD.

4. Cho hình bình hành ABCD, . Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD cắt AC ở E. CMR: BD tiếp xúc với đường tròn (AEB).

5. Cho đường tròn (O). Từ một điểm M ở ngoài (O) ta kẻ hai cát tuyến MAB, MCD (theo thứ tự đó); kẻ dây CE song song với AB

a) CMR: =

b) CMR: AD.MB= MD.AE

c) CMR: EA tiếp xúc với đường tròn (MAD)

d) Cho AB= EC. CMR: nếu gọi I là giao điểm của EC và BD thì hai đường tròn (MAD)và (IED) tiếp xúc nhau tại D.

6. Cho tam giác ABC có phân giác trong AD. Xét đường tròn (O) đi qua A và tiếp xúc với BC tại D. Giả sử (O) cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E, F (E, F không trùng với A). CMR:

a)  EF // BC.

b).

c) DF tiếp xúc với (ABD).

7. Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH. Gọi M, N tương ứng là trung điểm AB, AC.

a) MN tiếp xúc với hai đường tròn (HBM) và (HCN).

b) CMR: Các đường tròn (HBM), (HCN), (AMN) cùng đi qua một điểm K.

c) Đường thẳng HK đi qua trung điểm của MN.

8. Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC và một điểm A trên nửa đường tròn (A khác B, C). Gọi H là hình chiếu của A lên BC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A, dựng hai nửa đường tròn đường kính HB, HC, chúng lần lượt cắt AB, AC tại E, F (E khác B, F khác C).

a) CMR: AE.AB=AF.AC.

b) CMR: EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn đường kính HB, HC.

c) Gọi I, K tương ứng là các điểm đối xứng với H qua AB, AC. CMR: I, A, K thẳng hàng và AK tiếp xúc với (O).

d) Gọi M là giao điểm của đường thẳng IK và tiếp tuyến của (O) tại B. CMR: MC, AH, EF đồng quy.

9. Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B cố định trên đó sao cho AB không là đường kính. Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ AB. Trên đoạn AB lấy hai điểm phân biệt C, D sao cho C ở giữa A, D và C, D khác A, B. Các tia MC, MD cắt (O) tại E, F tương ứng(E, F khác M). CMR

a) CEFD là một tứ giác nội tiếp.

b) MA tiếp xúc với đường tròn (ACE).

c) Nếu gọi  lần lượt là tâm các đườn tròn (ACE), (BDF) thì khi C, D thay đổi, thỏa mãn điều kiện đã cho, thì hai đường thẳng  luôn cắt nhau tại một điểm cố định.

10. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có đường tròn ngoại tiếp (O). Xét điểm M thay đổi trên cung nhỏ AC (M khác A, C). Gọi D là giao điểm của hai đường thẳng AM và BC.

a) CMR: AM.AD không đổi.

b) Giả sử 2.AM = BC. Tính số đo các góc .

c) Tìm M để (2.AM + AD) nhỏ nhất.

d) CMR: Đường tròn (MCD) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.

e) CMR: Tâm I của đường tròn (MCD) luôn chạy trên một đường thẳng cố định.

11. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi (I) là đường tròn tiếp xúc với AB tại B và tiếp xúc với AC tại C. Gọi D là trung điểm AB. Tia CD cắt (I) tại E và (ABE) tại K (K khác E). CMR

a)  AK//BC, BK//AC.

b) BC tiếp xúc với (ABE).

12. Cho hai đường tròn (O), (O’) cắt nhau ở A và B. Kẻ tiếp tuyến chung CC’(C thuộc (O), C’ thuộc (O’), A gần CC’ hơn B ) và kẻ đường kính CD của (O). Gọi E, F theo thứ tự là giao điểm của OO’ với C’D và CC’.

a) CMR: .

b) CMR: FA tiếp xúc với đường tròn (CAC’).

13. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF của hai đường tròn (E thuộc (O), F thuộc (O') và E,A,F nằm cùng một phía đối với đường thẳng OO') cắt OO' tại I. CMR: AI tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF.

Giống thằng Ben 10 , tự hỏi tự trả lời ! Đúng là hâm hấp !

dung la hap

Góc giữa tiếp tuyến và một dây cung

Dạng 1: Sử dụng tính chất góc giữa tiếp tuyến và dây cung để giải một số bài toán cơ bản

Dạng 1.1: Sử dụng số đo góc bằng nhau để chứng minh

1.Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp (O). Vẽ đường tròn (O’) tiếp xúc trong với (O) tại A và tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tại D, E, F. Cmr:

a) EF song song với BC.

b) AD là phân giác trong góc .

2. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) tiếp xúc trong với nhau tại A (R > R’). Qua A kẻ đường thẳng  cố định cắt (O’), (O) tại B, C tương ứng (khác A). Một đường thẳng thay đổi cắt (O’), (O) tại D, E tương ứng (khác A) ().

a) Cmr: BD//CE.

b) Biết AB = 2, AC = 3. Tìm GTNN của biểu thức .

3. Cho đường tròn (O) và một dây cung MN. Trên tiếp tuyến với (O) tại M, ta lấy điểm T sao cho MT = MN. Tia TN cắt (O) tại điểm thứ hai S. CMR: a) SM = ST.

b) .

4. Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) ta kẻ tiếp tuyến AB tới (O) (B là tiếp điểm) và cát tuyến ADC không đi qua O (D nằm giữa A và C). Phân giác trong  cắt DC tại E. Cmr: AB = AE.

5. Cho hình vuông ABCD. Vẽ cung tròn AC thuộc đường tròn tâm D bán kính DA và trên đó lấy điểm P. Gọi K là giao điểm của DP với nửa đường tròn đường kính AD (nằm ở trong hình vuông), gọi I là hình chiếu vuông góc của P lên AB. Cmr: PK = PI.

6. Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia CO lấy điểm S. Đường thẳng SA cắt đường tròn tại điểm thứ hai M. Tiếp tuyến với (O;R) tại M cắt CD tại P, BM cắt CD tại T.

a) Cmr: .

b) Biết . Hãy tính  theo .

7. Cho hai đường tròn (O) và (O') ở ngoài nhau. Đường thẳng OO' cắt (O) và (O') tương ứng và theo thứ tự tại A, B, C, D. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EFcủa hai đường tròn (E thuộc (O), F thuộc (O')). Gọi M, N là giao điểm của cặp đường thẳng AE,DF và EB,FC tương ứng. CMR:

a) MENF là một hình chữ nhật.

b) MN vuông góc với AD.

c) .

8. Từ một điểm C ở ngoài đường tròn (O) ta kẻ hai tiếp tuyến CA, CB tới (O) ( A, B là tiếp điểm). Vẽ đường tròn (O’) đi qua C và tiếp xúc với AB tại B. (O’) cắt (O) tại điểm M (khác B). Cmr: AM đi qua trung điểm của BC (HD: Kéo dài AM cắt (O’) tại D, ta có ABDC là một hình bình hành)

9. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B và một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với (O), (O’) tại C, D tương ứng. Đường thẳng AB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại E ( khác B). Cmr: ACED là một hình bình hành.

10. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Một tiếp tuyến của (O) tại B cắt (O’) tại hai điểm phân biệt C, D (C nằm giữa B và D). Các tia CA, DA cắt (O) tai E, F tương ứng.

a) Cmr: EF//CD.

b) Gọi M là điểm chính giữa cung CD không chứa A. Tính số đo .

11. Cho đường tròn (O) và một dây cung AB cố định không là đường kính. Xét điểm C di chuyển trên cung lớn AB (C khác A, B). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên hai tiếp tuyến với (O) tại A, B tương ứng, H là hình chiếu vuông góc của C lên AB.

a) Cmr: .

b) Tìm điều kiện để

12. Cho đường tròn (O) và một dây cung AB cố định không là đường kính. Xét điểm C di chuyển trên cung nhỏ AB (C khác A, B). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên hai tiếp tuyến với (O) tại A, B tương ứng, H là hình chiếu vuông góc của C lên AB. Tìm vị trí của C để biểu thức nhỏ nhất.

13. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường tròn ngoại tiếp (O) bán kính 10. Phân giác trong góc B cắt AC và tiếp tuyến tại C của (O) tại D, E tương ứng. Biết BD = 8.

a) Cmr: tam giác CDE cân tại C.

b) Tính độ dài BE.

14*. Cho đường tròn (O) và hai đường tròn nhỏ hơn  nằm trong (O) tiếp xúc trong với (O) tại M, N tương ứng,   cắt nhau tai hai điểm A, B và . Hai tia MA, MB  cắt lại  tương ứng tại  C, D. Cmr: CD tiếp xúc với . (HD: Một tiếp tuyến chung của đi qua C và tiếp xúc với  tại X . Cm:   dựa vào bài 1)

15*.

Dạng 1.2: Sử dụng tính chất:

Bài toán cơ bản:  Cho đường tròn (O: R) và điểm M ở ngoài (O). Từ M kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB tới (O). Khi đó .

1. Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp (O). Tiếp tuyến với (O) tại A cắt BC tại D. Cmr: . (HD: )

2. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B và một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với (O), (O’) tại C, D tương ứng. Gọi M là giao điểm của đường thẳng AB và đường thẳng CD. Cmr: M là trung điểm của CD.

3. Cho góc xAy và đường tròn (O) tiếp xúc với hai tia Ax, Ay tại B, C tương ứng. Từ C kẻ đường thẳng (d) song song với Ax cắt (O) tại điểm thứ hai D; AD cắt (O) tại điểm thứ hai M, CM cắt AB tại N. CMR:

a) .

b) AN=BN.

4. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B. Từ một điểm M thay đổi trên (O) (M ở ngoài (O’)) kẻ tiếp tuyến MC tới (O’) (C thuộc (O’)). Cmr:  là không đổi.

5. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B và một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với (O), (O’) tại C, D tương ứng (B gần đường thẳng CD hơn A). Từ A kẻ đường thẳng song song với CD cắt (O), (O’) tại các điểm thứ hai M, N tương ứng, hai đường thẳng MC, ND cắt nhau tại E. Hai đường thẳng BC, BD cắt MN tại P, Q tương ứng. Cmr:

a) A và E đối xứng nhau qua CD.

b) Tam giác EPQ cân tại E. (HD: Sử dụng kết quả bài 2 và bổ đề hình thang)

6. Cho hai đường tròn (O) và (O’) nằm ngoài nhau và một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với (O) và (O’) tại A, B tương ứng. Gọi C là điểm đối xứng B qua OO’. đường thẳng AC cắt (O) và (O’) tại các điểm thứ hai D, E tương ứng. Cmr:. (HD: Kẻ tiếp tuyến chung ngoài CF)  

7. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B. Tiếp tuyến với (O’) tại B cắt (O) tại điểm thứ hai C. Gọi I là trung điểm BC, đường thẳng AI cắt các đường tròn (O), (O’) tại các điểm thứ hai tương ứng D, E. Cmr: BDCE là một hình bình hành.

8. Cho tam giác ABC nhọn và (O) là đường tròn đường kính BC. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN tới (O) (M, N thuộc (O)). Gọi D là hình chiếu vuông góc của A lên BC, E là giao điểm của MN và AD.

a) Cmr: E là trực tâm tam giác ABC. (HD: Gọi F là giao điểm thứ hai của AB và (O). Cm: )

b) Cmr: DA là phân giác trong góc .

9. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Một đường tròn (O) thay đổi luôn đi qua B, C. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AD, AE với (O) (D, E thuộc (O)).

a) Cmr: D chạy trên một đường tròn cố định.

b) Cmr: đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định.

c) Gọi MN là một đường kính của (O) vuông góc với BC, đường thẳng AM cắt (O) tại điểm thứ hai K. Cmr: AB, DE, KN đồng quy.

Dạng 2: Sử dụng tính chất góc giữa tiếp tuyến và dây cung để chứng minh một đường thẳng tiếp xúc với một đường tròn

Bài toán cơ bản 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Kẻ tia Ax khác phía với AB đối với đường thẳng AC. CMR:  = khi và chỉ khi Ax tiếp xúc với (O).

Bài toán cơ bản 2: Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp (O). Trên tia đối của tia CB lấy điểm D. CMR: AD tiếp xúc với (O) khi và chỉ khi .

Bài tập áp dụng

1. Cho tam giác ABC cân tại A. Đường trung trực của AB cắt tia đối của tia CB tại D. CMR: AB tiếp xúc với (ACD).

2. Cho hình thang ABCD với hai đáy AB,CD. CMR: BC tiếp xúc với đường tròn (ABD) khi và chỉ khi .

3. Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O.

CMR: Đường tròn ngoại tiếp tam giác OCD tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB khi và chỉ khi ABCD.

4. Cho hình bình hành ABCD, . Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD cắt AC ở E. CMR: BD tiếp xúc với đường tròn (AEB).

5. Cho đường tròn (O). Từ một điểm M ở ngoài (O) ta kẻ hai cát tuyến MAB, MCD (theo thứ tự đó); kẻ dây CE song song với AB

a) CMR: =

b) CMR: AD.MB= MD.AE

c) CMR: EA tiếp xúc với đường tròn (MAD)

d) Cho AB= EC. CMR: nếu gọi I là giao điểm của EC và BD thì hai đường tròn (MAD)và (IED) tiếp xúc nhau tại D.

6. Cho tam giác ABC có phân giác trong AD. Xét đường tròn (O) đi qua A và tiếp xúc với BC tại D. Giả sử (O) cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E, F (E, F không trùng với A). CMR:

a)  EF // BC.

b).

c) DF tiếp xúc với (ABD).

7. Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH. Gọi M, N tương ứng là trung điểm AB, AC.

a) MN tiếp xúc với hai đường tròn (HBM) và (HCN).

b) CMR: Các đường tròn (HBM), (HCN), (AMN) cùng đi qua một điểm K.

c) Đường thẳng HK đi qua trung điểm của MN.

8. Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC và một điểm A trên nửa đường tròn (A khác B, C). Gọi H là hình chiếu của A lên BC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A, dựng hai nửa đường tròn đường kính HB, HC, chúng lần lượt cắt AB, AC tại E, F (E khác B, F khác C).

a) CMR: AE.AB=AF.AC.

b) CMR: EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn đường kính HB, HC.

c) Gọi I, K tương ứng là các điểm đối xứng với H qua AB, AC. CMR: I, A, K thẳng hàng và AK tiếp xúc với (O).

d) Gọi M là giao điểm của đường thẳng IK và tiếp tuyến của (O) tại B. CMR: MC, AH, EF đồng quy.

9. Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B cố định trên đó sao cho AB không là đường kính. Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ AB. Trên đoạn AB lấy hai điểm phân biệt C, D sao cho C ở giữa A, D và C, D khác A, B. Các tia MC, MD cắt (O) tại E, F tương ứng(E, F khác M). CMR

a) CEFD là một tứ giác nội tiếp.

b) MA tiếp xúc với đường tròn (ACE).

c) Nếu gọi  lần lượt là tâm các đườn tròn (ACE), (BDF) thì khi C, D thay đổi, thỏa mãn điều kiện đã cho, thì hai đường thẳng  luôn cắt nhau tại một điểm cố định.

10. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có đường tròn ngoại tiếp (O). Xét điểm M thay đổi trên cung nhỏ AC (M khác A, C). Gọi D là giao điểm của hai đường thẳng AM và BC.

a) CMR: AM.AD không đổi.

b) Giả sử 2.AM = BC. Tính số đo các góc .

c) Tìm M để (2.AM + AD) nhỏ nhất.

d) CMR: Đường tròn (MCD) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.

e) CMR: Tâm I của đường tròn (MCD) luôn chạy trên một đường thẳng cố định.

11. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi (I) là đường tròn tiếp xúc với AB tại B và tiếp xúc với AC tại C. Gọi D là trung điểm AB. Tia CD cắt (I) tại E và (ABE) tại K (K khác E). CMR

a)  AK//BC, BK//AC.

b) BC tiếp xúc với (ABE).

12. Cho hai đường tròn (O), (O’) cắt nhau ở A và B. Kẻ tiếp tuyến chung CC’(C thuộc (O), C’ thuộc (O’), A gần CC’ hơn B ) và kẻ đường kính CD của (O). Gọi E, F theo thứ tự là giao điểm của OO’ với C’D và CC’.

a) CMR: .

b) CMR: FA tiếp xúc với đường tròn (CAC’).

13. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF của hai đường tròn (E thuộc (O), F thuộc (O') và E,A,F nằm cùng một phía đối với đường thẳng OO') cắt OO' tại I. CMR: AI tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF.

Trao đổi tk đi

dài phết

Góc giữa tiếp tuyến và một dây cung

Dạng 1: Sử dụng tính chất góc giữa tiếp tuyến và dây cung để giải một số bài toán cơ bản

Dạng 1.1: Sử dụng số đo góc bằng nhau để chứng minh

1.Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp (O). Vẽ đường tròn (O’) tiếp xúc trong với (O) tại A và tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tại D, E, F. Cmr:

a) EF song song với BC.

b) AD là phân giác trong góc .

2. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) tiếp xúc trong với nhau tại A (R > R’). Qua A kẻ đường thẳng  cố định cắt (O’), (O) tại B, C tương ứng (khác A). Một đường thẳng thay đổi cắt (O’), (O) tại D, E tương ứng (khác A) ().

a) Cmr: BD//CE.

b) Biết AB = 2, AC = 3. Tìm GTNN của biểu thức .

3. Cho đường tròn (O) và một dây cung MN. Trên tiếp tuyến với (O) tại M, ta lấy điểm T sao cho MT = MN. Tia TN cắt (O) tại điểm thứ hai S. CMR: a) SM = ST.

b) .

4. Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) ta kẻ tiếp tuyến AB tới (O) (B là tiếp điểm) và cát tuyến ADC không đi qua O (D nằm giữa A và C). Phân giác trong  cắt DC tại E. Cmr: AB = AE.

5. Cho hình vuông ABCD. Vẽ cung tròn AC thuộc đường tròn tâm D bán kính DA và trên đó lấy điểm P. Gọi K là giao điểm của DP với nửa đường tròn đường kính AD (nằm ở trong hình vuông), gọi I là hình chiếu vuông góc của P lên AB. Cmr: PK = PI.

6. Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia CO lấy điểm S. Đường thẳng SA cắt đường tròn tại điểm thứ hai M. Tiếp tuyến với (O;R) tại M cắt CD tại P, BM cắt CD tại T.

a) Cmr: .

b) Biết . Hãy tính  theo .

7. Cho hai đường tròn (O) và (O') ở ngoài nhau. Đường thẳng OO' cắt (O) và (O') tương ứng và theo thứ tự tại A, B, C, D. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EFcủa hai đường tròn (E thuộc (O), F thuộc (O')). Gọi M, N là giao điểm của cặp đường thẳng AE,DF và EB,FC tương ứng. CMR:

a) MENF là một hình chữ nhật.

b) MN vuông góc với AD.

c) .

8. Từ một điểm C ở ngoài đường tròn (O) ta kẻ hai tiếp tuyến CA, CB tới (O) ( A, B là tiếp điểm). Vẽ đường tròn (O’) đi qua C và tiếp xúc với AB tại B. (O’) cắt (O) tại điểm M (khác B). Cmr: AM đi qua trung điểm của BC (HD: Kéo dài AM cắt (O’) tại D, ta có ABDC là một hình bình hành)

9. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B và một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với (O), (O’) tại C, D tương ứng. Đường thẳng AB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại E ( khác B). Cmr: ACED là một hình bình hành.

10. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Một tiếp tuyến của (O) tại B cắt (O’) tại hai điểm phân biệt C, D (C nằm giữa B và D). Các tia CA, DA cắt (O) tai E, F tương ứng.

a) Cmr: EF//CD.

b) Gọi M là điểm chính giữa cung CD không chứa A. Tính số đo .

11. Cho đường tròn (O) và một dây cung AB cố định không là đường kính. Xét điểm C di chuyển trên cung lớn AB (C khác A, B). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên hai tiếp tuyến với (O) tại A, B tương ứng, H là hình chiếu vuông góc của C lên AB.

a) Cmr: .

b) Tìm điều kiện để

12. Cho đường tròn (O) và một dây cung AB cố định không là đường kính. Xét điểm C di chuyển trên cung nhỏ AB (C khác A, B). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên hai tiếp tuyến với (O) tại A, B tương ứng, H là hình chiếu vuông góc của C lên AB. Tìm vị trí của C để biểu thức nhỏ nhất.

13. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường tròn ngoại tiếp (O) bán kính 10. Phân giác trong góc B cắt AC và tiếp tuyến tại C của (O) tại D, E tương ứng. Biết BD = 8.

a) Cmr: tam giác CDE cân tại C.

b) Tính độ dài BE.

14*. Cho đường tròn (O) và hai đường tròn nhỏ hơn  nằm trong (O) tiếp xúc trong với (O) tại M, N tương ứng,   cắt nhau tai hai điểm A, B và . Hai tia MA, MB  cắt lại  tương ứng tại  C, D. Cmr: CD tiếp xúc với . (HD: Một tiếp tuyến chung của đi qua C và tiếp xúc với  tại X . Cm:   dựa vào bài 1)

15*.

Dạng 1.2: Sử dụng tính chất:

Bài toán cơ bản:  Cho đường tròn (O: R) và điểm M ở ngoài (O). Từ M kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB tới (O). Khi đó .

1. Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp (O). Tiếp tuyến với (O) tại A cắt BC tại D. Cmr: . (HD: )

2. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B và một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với (O), (O’) tại C, D tương ứng. Gọi M là giao điểm của đường thẳng AB và đường thẳng CD. Cmr: M là trung điểm của CD.

3. Cho góc xAy và đường tròn (O) tiếp xúc với hai tia Ax, Ay tại B, C tương ứng. Từ C kẻ đường thẳng (d) song song với Ax cắt (O) tại điểm thứ hai D; AD cắt (O) tại điểm thứ hai M, CM cắt AB tại N. CMR:

a) .

b) AN=BN.

4. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B. Từ một điểm M thay đổi trên (O) (M ở ngoài (O’)) kẻ tiếp tuyến MC tới (O’) (C thuộc (O’)). Cmr:  là không đổi.

5. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B và một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với (O), (O’) tại C, D tương ứng (B gần đường thẳng CD hơn A). Từ A kẻ đường thẳng song song với CD cắt (O), (O’) tại các điểm thứ hai M, N tương ứng, hai đường thẳng MC, ND cắt nhau tại E. Hai đường thẳng BC, BD cắt MN tại P, Q tương ứng. Cmr:

a) A và E đối xứng nhau qua CD.

b) Tam giác EPQ cân tại E. (HD: Sử dụng kết quả bài 2 và bổ đề hình thang)

6. Cho hai đường tròn (O) và (O’) nằm ngoài nhau và một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với (O) và (O’) tại A, B tương ứng. Gọi C là điểm đối xứng B qua OO’. đường thẳng AC cắt (O) và (O’) tại các điểm thứ hai D, E tương ứng. Cmr:. (HD: Kẻ tiếp tuyến chung ngoài CF)  

7. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B. Tiếp tuyến với (O’) tại B cắt (O) tại điểm thứ hai C. Gọi I là trung điểm BC, đường thẳng AI cắt các đường tròn (O), (O’) tại các điểm thứ hai tương ứng D, E. Cmr: BDCE là một hình bình hành.

8. Cho tam giác ABC nhọn và (O) là đường tròn đường kính BC. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN tới (O) (M, N thuộc (O)). Gọi D là hình chiếu vuông góc của A lên BC, E là giao điểm của MN và AD.

a) Cmr: E là trực tâm tam giác ABC. (HD: Gọi F là giao điểm thứ hai của AB và (O). Cm: )

b) Cmr: DA là phân giác trong góc .

9. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Một đường tròn (O) thay đổi luôn đi qua B, C. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AD, AE với (O) (D, E thuộc (O)).

a) Cmr: D chạy trên một đường tròn cố định.

b) Cmr: đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định.

c) Gọi MN là một đường kính của (O) vuông góc với BC, đường thẳng AM cắt (O) tại điểm thứ hai K. Cmr: AB, DE, KN đồng quy.

Dạng 2: Sử dụng tính chất góc giữa tiếp tuyến và dây cung để chứng minh một đường thẳng tiếp xúc với một đường tròn

Bài toán cơ bản 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Kẻ tia Ax khác phía với AB đối với đường thẳng AC. CMR:  = khi và chỉ khi Ax tiếp xúc với (O).

Bài toán cơ bản 2: Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp (O). Trên tia đối của tia CB lấy điểm D. CMR: AD tiếp xúc với (O) khi và chỉ khi .

Bài tập áp dụng

1. Cho tam giác ABC cân tại A. Đường trung trực của AB cắt tia đối của tia CB tại D. CMR: AB tiếp xúc với (ACD).

2. Cho hình thang ABCD với hai đáy AB,CD. CMR: BC tiếp xúc với đường tròn (ABD) khi và chỉ khi .

3. Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O.

CMR: Đường tròn ngoại tiếp tam giác OCD tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB khi và chỉ khi ABCD.

4. Cho hình bình hành ABCD, . Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD cắt AC ở E. CMR: BD tiếp xúc với đường tròn (AEB).

5. Cho đường tròn (O). Từ một điểm M ở ngoài (O) ta kẻ hai cát tuyến MAB, MCD (theo thứ tự đó); kẻ dây CE song song với AB

a) CMR: =

b) CMR: AD.MB= MD.AE

c) CMR: EA tiếp xúc với đường tròn (MAD)

d) Cho AB= EC. CMR: nếu gọi I là giao điểm của EC và BD thì hai đường tròn (MAD)và (IED) tiếp xúc nhau tại D.

6. Cho tam giác ABC có phân giác trong AD. Xét đường tròn (O) đi qua A và tiếp xúc với BC tại D. Giả sử (O) cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E, F (E, F không trùng với A). CMR:

a)  EF // BC.

b).

c) DF tiếp xúc với (ABD).

7. Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH. Gọi M, N tương ứng là trung điểm AB, AC.

a) MN tiếp xúc với hai đường tròn (HBM) và (HCN).

b) CMR: Các đường tròn (HBM), (HCN), (AMN) cùng đi qua một điểm K.

c) Đường thẳng HK đi qua trung điểm của MN.

8. Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC và một điểm A trên nửa đường tròn (A khác B, C). Gọi H là hình chiếu của A lên BC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A, dựng hai nửa đường tròn đường kính HB, HC, chúng lần lượt cắt AB, AC tại E, F (E khác B, F khác C).

a) CMR: AE.AB=AF.AC.

b) CMR: EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn đường kính HB, HC.

c) Gọi I, K tương ứng là các điểm đối xứng với H qua AB, AC. CMR: I, A, K thẳng hàng và AK tiếp xúc với (O).

d) Gọi M là giao điểm của đường thẳng IK và tiếp tuyến của (O) tại B. CMR: MC, AH, EF đồng quy.

9. Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B cố định trên đó sao cho AB không là đường kính. Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ AB. Trên đoạn AB lấy hai điểm phân biệt C, D sao cho C ở giữa A, D và C, D khác A, B. Các tia MC, MD cắt (O) tại E, F tương ứng(E, F khác M). CMR

a) CEFD là một tứ giác nội tiếp.

b) MA tiếp xúc với đường tròn (ACE).

c) Nếu gọi  lần lượt là tâm các đườn tròn (ACE), (BDF) thì khi C, D thay đổi, thỏa mãn điều kiện đã cho, thì hai đường thẳng  luôn cắt nhau tại một điểm cố định.

10. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có đường tròn ngoại tiếp (O). Xét điểm M thay đổi trên cung nhỏ AC (M khác A, C). Gọi D là giao điểm của hai đường thẳng AM và BC.

a) CMR: AM.AD không đổi.

b) Giả sử 2.AM = BC. Tính số đo các góc .

c) Tìm M để (2.AM + AD) nhỏ nhất.

d) CMR: Đường tròn (MCD) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.

e) CMR: Tâm I của đường tròn (MCD) luôn chạy trên một đường thẳng cố định.

11. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi (I) là đường tròn tiếp xúc với AB tại B và tiếp xúc với AC tại C. Gọi D là trung điểm AB. Tia CD cắt (I) tại E và (ABE) tại K (K khác E). CMR

a)  AK//BC, BK//AC.

b) BC tiếp xúc với (ABE).

12. Cho hai đường tròn (O), (O’) cắt nhau ở A và B. Kẻ tiếp tuyến chung CC’(C thuộc (O), C’ thuộc (O’), A gần CC’ hơn B ) và kẻ đường kính CD của (O). Gọi E, F theo thứ tự là giao điểm của OO’ với C’D và CC’.

a) CMR: .

b) CMR: FA tiếp xúc với đường tròn (CAC’).

13. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF của hai đường tròn (E thuộc (O), F thuộc (O') và E,A,F nằm cùng một phía đối với đường thẳng OO') cắt OO' tại I. CMR: AI tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF.

bạn biết rồi lại còn hỏi làm gì?

copy trên mạng ko!

Góc giữa tiếp tuyến và một dây cung

Dạng 1: Sử dụng tính chất góc giữa tiếp tuyến và dây cung để giải một số bài toán cơ bản

Dạng 1.1: Sử dụng số đo góc bằng nhau để chứng minh

1.Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp (O). Vẽ đường tròn (O’) tiếp xúc trong với (O) tại A và tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tại D, E, F. Cmr:

a) EF song song với BC.

b) AD là phân giác trong góc .

2. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) tiếp xúc trong với nhau tại A (R > R’). Qua A kẻ đường thẳng  cố định cắt (O’), (O) tại B, C tương ứng (khác A). Một đường thẳng thay đổi cắt (O’), (O) tại D, E tương ứng (khác A) ().

a) Cmr: BD//CE.

b) Biết AB = 2, AC = 3. Tìm GTNN của biểu thức .

3. Cho đường tròn (O) và một dây cung MN. Trên tiếp tuyến với (O) tại M, ta lấy điểm T sao cho MT = MN. Tia TN cắt (O) tại điểm thứ hai S. CMR: a) SM = ST.

b) .

4. Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) ta kẻ tiếp tuyến AB tới (O) (B là tiếp điểm) và cát tuyến ADC không đi qua O (D nằm giữa A và C). Phân giác trong  cắt DC tại E. Cmr: AB = AE.

5. Cho hình vuông ABCD. Vẽ cung tròn AC thuộc đường tròn tâm D bán kính DA và trên đó lấy điểm P. Gọi K là giao điểm của DP với nửa đường tròn đường kính AD (nằm ở trong hình vuông), gọi I là hình chiếu vuông góc của P lên AB. Cmr: PK = PI.

6. Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia CO lấy điểm S. Đường thẳng SA cắt đường tròn tại điểm thứ hai M. Tiếp tuyến với (O;R) tại M cắt CD tại P, BM cắt CD tại T.

a) Cmr: .

b) Biết . Hãy tính  theo .

7. Cho hai đường tròn (O) và (O') ở ngoài nhau. Đường thẳng OO' cắt (O) và (O') tương ứng và theo thứ tự tại A, B, C, D. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EFcủa hai đường tròn (E thuộc (O), F thuộc (O')). Gọi M, N là giao điểm của cặp đường thẳng AE,DF và EB,FC tương ứng. CMR:

a) MENF là một hình chữ nhật.

b) MN vuông góc với AD.

c) .

8. Từ một điểm C ở ngoài đường tròn (O) ta kẻ hai tiếp tuyến CA, CB tới (O) ( A, B là tiếp điểm). Vẽ đường tròn (O’) đi qua C và tiếp xúc với AB tại B. (O’) cắt (O) tại điểm M (khác B). Cmr: AM đi qua trung điểm của BC (HD: Kéo dài AM cắt (O’) tại D, ta có ABDC là một hình bình hành)

9. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B và một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với (O), (O’) tại C, D tương ứng. Đường thẳng AB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại E ( khác B). Cmr: ACED là một hình bình hành.

10. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Một tiếp tuyến của (O) tại B cắt (O’) tại hai điểm phân biệt C, D (C nằm giữa B và D). Các tia CA, DA cắt (O) tai E, F tương ứng.

a) Cmr: EF//CD.

b) Gọi M là điểm chính giữa cung CD không chứa A. Tính số đo .

11. Cho đường tròn (O) và một dây cung AB cố định không là đường kính. Xét điểm C di chuyển trên cung lớn AB (C khác A, B). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên hai tiếp tuyến với (O) tại A, B tương ứng, H là hình chiếu vuông góc của C lên AB.

a) Cmr: .

b) Tìm điều kiện để

12. Cho đường tròn (O) và một dây cung AB cố định không là đường kính. Xét điểm C di chuyển trên cung nhỏ AB (C khác A, B). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên hai tiếp tuyến với (O) tại A, B tương ứng, H là hình chiếu vuông góc của C lên AB. Tìm vị trí của C để biểu thức nhỏ nhất.

13. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường tròn ngoại tiếp (O) bán kính 10. Phân giác trong góc B cắt AC và tiếp tuyến tại C của (O) tại D, E tương ứng. Biết BD = 8.

a) Cmr: tam giác CDE cân tại C.

b) Tính độ dài BE.

14*. Cho đường tròn (O) và hai đường tròn nhỏ hơn  nằm trong (O) tiếp xúc trong với (O) tại M, N tương ứng,   cắt nhau tai hai điểm A, B và . Hai tia MA, MB  cắt lại  tương ứng tại  C, D. Cmr: CD tiếp xúc với . (HD: Một tiếp tuyến chung của đi qua C và tiếp xúc với  tại X . Cm:   dựa vào bài 1)

15*.

Dạng 1.2: Sử dụng tính chất:

Bài toán cơ bản:  Cho đường tròn (O: R) và điểm M ở ngoài (O). Từ M kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB tới (O). Khi đó .

1. Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp (O). Tiếp tuyến với (O) tại A cắt BC tại D. Cmr: . (HD: )

2. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B và một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với (O), (O’) tại C, D tương ứng. Gọi M là giao điểm của đường thẳng AB và đường thẳng CD. Cmr: M là trung điểm của CD.

3. Cho góc xAy và đường tròn (O) tiếp xúc với hai tia Ax, Ay tại B, C tương ứng. Từ C kẻ đường thẳng (d) song song với Ax cắt (O) tại điểm thứ hai D; AD cắt (O) tại điểm thứ hai M, CM cắt AB tại N. CMR:

a) .

b) AN=BN.

4. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B. Từ một điểm M thay đổi trên (O) (M ở ngoài (O’)) kẻ tiếp tuyến MC tới (O’) (C thuộc (O’)). Cmr:  là không đổi.

5. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B và một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với (O), (O’) tại C, D tương ứng (B gần đường thẳng CD hơn A). Từ A kẻ đường thẳng song song với CD cắt (O), (O’) tại các điểm thứ hai M, N tương ứng, hai đường thẳng MC, ND cắt nhau tại E. Hai đường thẳng BC, BD cắt MN tại P, Q tương ứng. Cmr:

a) A và E đối xứng nhau qua CD.

b) Tam giác EPQ cân tại E. (HD: Sử dụng kết quả bài 2 và bổ đề hình thang)

6. Cho hai đường tròn (O) và (O’) nằm ngoài nhau và một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với (O) và (O’) tại A, B tương ứng. Gọi C là điểm đối xứng B qua OO’. đường thẳng AC cắt (O) và (O’) tại các điểm thứ hai D, E tương ứng. Cmr:. (HD: Kẻ tiếp tuyến chung ngoài CF)  

7. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B. Tiếp tuyến với (O’) tại B cắt (O) tại điểm thứ hai C. Gọi I là trung điểm BC, đường thẳng AI cắt các đường tròn (O), (O’) tại các điểm thứ hai tương ứng D, E. Cmr: BDCE là một hình bình hành.

8. Cho tam giác ABC nhọn và (O) là đường tròn đường kính BC. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN tới (O) (M, N thuộc (O)). Gọi D là hình chiếu vuông góc của A lên BC, E là giao điểm của MN và AD.

a) Cmr: E là trực tâm tam giác ABC. (HD: Gọi F là giao điểm thứ hai của AB và (O). Cm: )

b) Cmr: DA là phân giác trong góc .

9. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Một đường tròn (O) thay đổi luôn đi qua B, C. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AD, AE với (O) (D, E thuộc (O)).

a) Cmr: D chạy trên một đường tròn cố định.

b) Cmr: đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định.

c) Gọi MN là một đường kính của (O) vuông góc với BC, đường thẳng AM cắt (O) tại điểm thứ hai K. Cmr: AB, DE, KN đồng quy.

Dạng 2: Sử dụng tính chất góc giữa tiếp tuyến và dây cung để chứng minh một đường thẳng tiếp xúc với một đường tròn

Bài toán cơ bản 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Kẻ tia Ax khác phía với AB đối với đường thẳng AC. CMR:  = khi và chỉ khi Ax tiếp xúc với (O).

Bài toán cơ bản 2: Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp (O). Trên tia đối của tia CB lấy điểm D. CMR: AD tiếp xúc với (O) khi và chỉ khi .

Bài tập áp dụng

1. Cho tam giác ABC cân tại A. Đường trung trực của AB cắt tia đối của tia CB tại D. CMR: AB tiếp xúc với (ACD).

2. Cho hình thang ABCD với hai đáy AB,CD. CMR: BC tiếp xúc với đường tròn (ABD) khi và chỉ khi .

3. Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O.

CMR: Đường tròn ngoại tiếp tam giác OCD tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB khi và chỉ khi ABCD.

4. Cho hình bình hành ABCD, . Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD cắt AC ở E. CMR: BD tiếp xúc với đường tròn (AEB).

5. Cho đường tròn (O). Từ một điểm M ở ngoài (O) ta kẻ hai cát tuyến MAB, MCD (theo thứ tự đó); kẻ dây CE song song với AB

a) CMR: =

b) CMR: AD.MB= MD.AE

c) CMR: EA tiếp xúc với đường tròn (MAD)

d) Cho AB= EC. CMR: nếu gọi I là giao điểm của EC và BD thì hai đường tròn (MAD)và (IED) tiếp xúc nhau tại D.

6. Cho tam giác ABC có phân giác trong AD. Xét đường tròn (O) đi qua A và tiếp xúc với BC tại D. Giả sử (O) cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E, F (E, F không trùng với A). CMR:

a)  EF // BC.

b).

c) DF tiếp xúc với (ABD).

7. Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH. Gọi M, N tương ứng là trung điểm AB, AC.

a) MN tiếp xúc với hai đường tròn (HBM) và (HCN).

b) CMR: Các đường tròn (HBM), (HCN), (AMN) cùng đi qua một điểm K.

c) Đường thẳng HK đi qua trung điểm của MN.

8. Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC và một điểm A trên nửa đường tròn (A khác B, C). Gọi H là hình chiếu của A lên BC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A, dựng hai nửa đường tròn đường kính HB, HC, chúng lần lượt cắt AB, AC tại E, F (E khác B, F khác C).

a) CMR: AE.AB=AF.AC.

b) CMR: EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn đường kính HB, HC.

c) Gọi I, K tương ứng là các điểm đối xứng với H qua AB, AC. CMR: I, A, K thẳng hàng và AK tiếp xúc với (O).

d) Gọi M là giao điểm của đường thẳng IK và tiếp tuyến của (O) tại B. CMR: MC, AH, EF đồng quy.

9. Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B cố định trên đó sao cho AB không là đường kính. Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ AB. Trên đoạn AB lấy hai điểm phân biệt C, D sao cho C ở giữa A, D và C, D khác A, B. Các tia MC, MD cắt (O) tại E, F tương ứng(E, F khác M). CMR

a) CEFD là một tứ giác nội tiếp.

b) MA tiếp xúc với đường tròn (ACE).

c) Nếu gọi  lần lượt là tâm các đườn tròn (ACE), (BDF) thì khi C, D thay đổi, thỏa mãn điều kiện đã cho, thì hai đường thẳng  luôn cắt nhau tại một điểm cố định.

10. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có đường tròn ngoại tiếp (O). Xét điểm M thay đổi trên cung nhỏ AC (M khác A, C). Gọi D là giao điểm của hai đường thẳng AM và BC.

a) CMR: AM.AD không đổi.

b) Giả sử 2.AM = BC. Tính số đo các góc .

c) Tìm M để (2.AM + AD) nhỏ nhất.

d) CMR: Đường tròn (MCD) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.

e) CMR: Tâm I của đường tròn (MCD) luôn chạy trên một đường thẳng cố định.

11. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi (I) là đường tròn tiếp xúc với AB tại B và tiếp xúc với AC tại C. Gọi D là trung điểm AB. Tia CD cắt (I) tại E và (ABE) tại K (K khác E). CMR

a)  AK//BC, BK//AC.

b) BC tiếp xúc với (ABE).

12. Cho hai đường tròn (O), (O’) cắt nhau ở A và B. Kẻ tiếp tuyến chung CC’(C thuộc (O), C’ thuộc (O’), A gần CC’ hơn B ) và kẻ đường kính CD của (O). Gọi E, F theo thứ tự là giao điểm của OO’ với C’D và CC’.

a) CMR: .

b) CMR: FA tiếp xúc với đường tròn (CAC’).

13. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF của hai đường tròn (E thuộc (O), F thuộc (O') và E,A,F nằm cùng một phía đối với đường thẳng OO') cắt OO' tại I. CMR: AI tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF.

Góc giữa tiếp tuyến và một dây cung

Dạng 1: Sử dụng tính chất góc giữa tiếp tuyến và dây cung để giải một số bài toán cơ bản

Dạng 1.1: Sử dụng số đo góc bằng nhau để chứng minh

1.Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp (O). Vẽ đường tròn (O’) tiếp xúc trong với (O) tại A và tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tại D, E, F. Cmr:

a) EF song song với BC.

b) AD là phân giác trong góc .

2. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) tiếp xúc trong với nhau tại A (R > R’). Qua A kẻ đường thẳng  cố định cắt (O’), (O) tại B, C tương ứng (khác A). Một đường thẳng thay đổi cắt (O’), (O) tại D, E tương ứng (khác A) ().

a) Cmr: BD//CE.

b) Biết AB = 2, AC = 3. Tìm GTNN của biểu thức .

3. Cho đường tròn (O) và một dây cung MN. Trên tiếp tuyến với (O) tại M, ta lấy điểm T sao cho MT = MN. Tia TN cắt (O) tại điểm thứ hai S. CMR: a) SM = ST.

b) .

4. Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) ta kẻ tiếp tuyến AB tới (O) (B là tiếp điểm) và cát tuyến ADC không đi qua O (D nằm giữa A và C). Phân giác trong  cắt DC tại E. Cmr: AB = AE.

5. Cho hình vuông ABCD. Vẽ cung tròn AC thuộc đường tròn tâm D bán kính DA và trên đó lấy điểm P. Gọi K là giao điểm của DP với nửa đường tròn đường kính AD (nằm ở trong hình vuông), gọi I là hình chiếu vuông góc của P lên AB. Cmr: PK = PI.

6. Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia CO lấy điểm S. Đường thẳng SA cắt đường tròn tại điểm thứ hai M. Tiếp tuyến với (O;R) tại M cắt CD tại P, BM cắt CD tại T.

a) Cmr: .

b) Biết . Hãy tính  theo .

7. Cho hai đường tròn (O) và (O') ở ngoài nhau. Đường thẳng OO' cắt (O) và (O') tương ứng và theo thứ tự tại A, B, C, D. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EFcủa hai đường tròn (E thuộc (O), F thuộc (O')). Gọi M, N là giao điểm của cặp đường thẳng AE,DF và EB,FC tương ứng. CMR:

a) MENF là một hình chữ nhật.

b) MN vuông góc với AD.

c) .

8. Từ một điểm C ở ngoài đường tròn (O) ta kẻ hai tiếp tuyến CA, CB tới (O) ( A, B là tiếp điểm). Vẽ đường tròn (O’) đi qua C và tiếp xúc với AB tại B. (O’) cắt (O) tại điểm M (khác B). Cmr: AM đi qua trung điểm của BC (HD: Kéo dài AM cắt (O’) tại D, ta có ABDC là một hình bình hành)

9. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B và một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với (O), (O’) tại C, D tương ứng. Đường thẳng AB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại E ( khác B). Cmr: ACED là một hình bình hành.

10. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Một tiếp tuyến của (O) tại B cắt (O’) tại hai điểm phân biệt C, D (C nằm giữa B và D). Các tia CA, DA cắt (O) tai E, F tương ứng.

a) Cmr: EF//CD.

b) Gọi M là điểm chính giữa cung CD không chứa A. Tính số đo .

11. Cho đường tròn (O) và một dây cung AB cố định không là đường kính. Xét điểm C di chuyển trên cung lớn AB (C khác A, B). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên hai tiếp tuyến với (O) tại A, B tương ứng, H là hình chiếu vuông góc của C lên AB.

a) Cmr: .

b) Tìm điều kiện để

12. Cho đường tròn (O) và một dây cung AB cố định không là đường kính. Xét điểm C di chuyển trên cung nhỏ AB (C khác A, B). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên hai tiếp tuyến với (O) tại A, B tương ứng, H là hình chiếu vuông góc của C lên AB. Tìm vị trí của C để biểu thức nhỏ nhất.

13. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường tròn ngoại tiếp (O) bán kính 10. Phân giác trong góc B cắt AC và tiếp tuyến tại C của (O) tại D, E tương ứng. Biết BD = 8.

a) Cmr: tam giác CDE cân tại C.

b) Tính độ dài BE.

14*. Cho đường tròn (O) và hai đường tròn nhỏ hơn  nằm trong (O) tiếp xúc trong với (O) tại M, N tương ứng,   cắt nhau tai hai điểm A, B và . Hai tia MA, MB  cắt lại  tương ứng tại  C, D. Cmr: CD tiếp xúc với . (HD: Một tiếp tuyến chung của đi qua C và tiếp xúc với  tại X . Cm:   dựa vào bài 1)

15*.

Dạng 1.2: Sử dụng tính chất:

Bài toán cơ bản:  Cho đường tròn (O: R) và điểm M ở ngoài (O). Từ M kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB tới (O). Khi đó .

1. Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp (O). Tiếp tuyến với (O) tại A cắt BC tại D. Cmr: . (HD: )

2. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B và một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với (O), (O’) tại C, D tương ứng. Gọi M là giao điểm của đường thẳng AB và đường thẳng CD. Cmr: M là trung điểm của CD.

3. Cho góc xAy và đường tròn (O) tiếp xúc với hai tia Ax, Ay tại B, C tương ứng. Từ C kẻ đường thẳng (d) song song với Ax cắt (O) tại điểm thứ hai D; AD cắt (O) tại điểm thứ hai M, CM cắt AB tại N. CMR:

a) .

b) AN=BN.

4. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B. Từ một điểm M thay đổi trên (O) (M ở ngoài (O’)) kẻ tiếp tuyến MC tới (O’) (C thuộc (O’)). Cmr:  là không đổi.

5. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B và một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với (O), (O’) tại C, D tương ứng (B gần đường thẳng CD hơn A). Từ A kẻ đường thẳng song song với CD cắt (O), (O’) tại các điểm thứ hai M, N tương ứng, hai đường thẳng MC, ND cắt nhau tại E. Hai đường thẳng BC, BD cắt MN tại P, Q tương ứng. Cmr:

a) A và E đối xứng nhau qua CD.

b) Tam giác EPQ cân tại E. (HD: Sử dụng kết quả bài 2 và bổ đề hình thang)

6. Cho hai đường tròn (O) và (O’) nằm ngoài nhau và một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với (O) và (O’) tại A, B tương ứng. Gọi C là điểm đối xứng B qua OO’. đường thẳng AC cắt (O) và (O’) tại các điểm thứ hai D, E tương ứng. Cmr:. (HD: Kẻ tiếp tuyến chung ngoài CF)  

7. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B. Tiếp tuyến với (O’) tại B cắt (O) tại điểm thứ hai C. Gọi I là trung điểm BC, đường thẳng AI cắt các đường tròn (O), (O’) tại các điểm thứ hai tương ứng D, E. Cmr: BDCE là một hình bình hành.

8. Cho tam giác ABC nhọn và (O) là đường tròn đường kính BC. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN tới (O) (M, N thuộc (O)). Gọi D là hình chiếu vuông góc của A lên BC, E là giao điểm của MN và AD.

a) Cmr: E là trực tâm tam giác ABC. (HD: Gọi F là giao điểm thứ hai của AB và (O). Cm: )

b) Cmr: DA là phân giác trong góc .

9. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Một đường tròn (O) thay đổi luôn đi qua B, C. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AD, AE với (O) (D, E thuộc (O)).

a) Cmr: D chạy trên một đường tròn cố định.

b) Cmr: đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định.

c) Gọi MN là một đường kính của (O) vuông góc với BC, đường thẳng AM cắt (O) tại điểm thứ hai K. Cmr: AB, DE, KN đồng quy.

Dạng 2: Sử dụng tính chất góc giữa tiếp tuyến và dây cung để chứng minh một đường thẳng tiếp xúc với một đường tròn

Bài toán cơ bản 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Kẻ tia Ax khác phía với AB đối với đường thẳng AC. CMR:  = khi và chỉ khi Ax tiếp xúc với (O).

Bài toán cơ bản 2: Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp (O). Trên tia đối của tia CB lấy điểm D. CMR: AD tiếp xúc với (O) khi và chỉ khi .

Bài tập áp dụng

1. Cho tam giác ABC cân tại A. Đường trung trực của AB cắt tia đối của tia CB tại D. CMR: AB tiếp xúc với (ACD).

2. Cho hình thang ABCD với hai đáy AB,CD. CMR: BC tiếp xúc với đường tròn (ABD) khi và chỉ khi .

3. Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O.

CMR: Đường tròn ngoại tiếp tam giác OCD tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB khi và chỉ khi ABCD.

4. Cho hình bình hành ABCD, . Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD cắt AC ở E. CMR: BD tiếp xúc với đường tròn (AEB).

5. Cho đường tròn (O). Từ một điểm M ở ngoài (O) ta kẻ hai cát tuyến MAB, MCD (theo thứ tự đó); kẻ dây CE song song với AB

a) CMR: =

b) CMR: AD.MB= MD.AE

c) CMR: EA tiếp xúc với đường tròn (MAD)

d) Cho AB= EC. CMR: nếu gọi I là giao điểm của EC và BD thì hai đường tròn (MAD)và (IED) tiếp xúc nhau tại D.

6. Cho tam giác ABC có phân giác trong AD. Xét đường tròn (O) đi qua A và tiếp xúc với BC tại D. Giả sử (O) cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E, F (E, F không trùng với A). CMR:

a)  EF // BC.

b).

c) DF tiếp xúc với (ABD).

7. Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH. Gọi M, N tương ứng là trung điểm AB, AC.

a) MN tiếp xúc với hai đường tròn (HBM) và (HCN).

b) CMR: Các đường tròn (HBM), (HCN), (AMN) cùng đi qua một điểm K.

c) Đường thẳng HK đi qua trung điểm của MN.

8. Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC và một điểm A trên nửa đường tròn (A khác B, C). Gọi H là hình chiếu của A lên BC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A, dựng hai nửa đường tròn đường kính HB, HC, chúng lần lượt cắt AB, AC tại E, F (E khác B, F khác C).

a) CMR: AE.AB=AF.AC.

b) CMR: EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn đường kính HB, HC.

c) Gọi I, K tương ứng là các điểm đối xứng với H qua AB, AC. CMR: I, A, K thẳng hàng và AK tiếp xúc với (O).

d) Gọi M là giao điểm của đường thẳng IK và tiếp tuyến của (O) tại B. CMR: MC, AH, EF đồng quy.

9. Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B cố định trên đó sao cho AB không là đường kính. Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ AB. Trên đoạn AB lấy hai điểm phân biệt C, D sao cho C ở giữa A, D và C, D khác A, B. Các tia MC, MD cắt (O) tại E, F tương ứng(E, F khác M). CMR

a) CEFD là một tứ giác nội tiếp.

b) MA tiếp xúc với đường tròn (ACE).

c) Nếu gọi  lần lượt là tâm các đườn tròn (ACE), (BDF) thì khi C, D thay đổi, thỏa mãn điều kiện đã cho, thì hai đường thẳng  luôn cắt nhau tại một điểm cố định.

10. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có đường tròn ngoại tiếp (O). Xét điểm M thay đổi trên cung nhỏ AC (M khác A, C). Gọi D là giao điểm của hai đường thẳng AM và BC.

a) CMR: AM.AD không đổi.

b) Giả sử 2.AM = BC. Tính số đo các góc .

c) Tìm M để (2.AM + AD) nhỏ nhất.

d) CMR: Đường tròn (MCD) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.

e) CMR: Tâm I của đường tròn (MCD) luôn chạy trên một đường thẳng cố định.

11. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi (I) là đường tròn tiếp xúc với AB tại B và tiếp xúc với AC tại C. Gọi D là trung điểm AB. Tia CD cắt (I) tại E và (ABE) tại K (K khác E). CMR

a)  AK//BC, BK//AC.

b) BC tiếp xúc với (ABE).

12. Cho hai đường tròn (O), (O’) cắt nhau ở A và B. Kẻ tiếp tuyến chung CC’(C thuộc (O), C’ thuộc (O’), A gần CC’ hơn B ) và kẻ đường kính CD của (O). Gọi E, F theo thứ tự là giao điểm của OO’ với C’D và CC’.

a) CMR: .

b) CMR: FA tiếp xúc với đường tròn (CAC’).

13. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF của hai đường tròn (E thuộc (O), F thuộc (O') và E,A,F nằm cùng một phía đối với đường thẳng OO') cắt OO' tại I. CMR: AI tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF.

1/ Trong một đường tròn, đường kính là dây dài nhất.

2/ Tam giác vuông thì nội tiếp đường tròn có cạnh huyền là đường kính.

3/ Tam giác nội tiếp đường tròn có một cạnh là đường kính thì đó là tam giác vuông.

4/ Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

5/ Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâmthì vuông góc với dây ấy.

6/ Trong một đường tròn:

a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.

b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

7/ Trong hai dây của một đường tròn:

a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

8/ Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

9/ Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

10/ Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

+ Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

+ Tia kẻ từ điểm đó đi  qua tâm là phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

+ Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là phân giác của góc tạo bởi hai bán kính qua 2 tiếp điểm.

11/ Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là trung trực của dây chung.

Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm của chúng nằm trên đường nối tâm.

12/ Các hệ thức tương đương của vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn (d là k/c từ tâm đường tròn đến đường thẳng; R là bán kính của đường tròn):

 13/ Các hệ thức tương đương của vị trí tương đối của hai đường tròn (d là k/cách giữa hai tâm đường tròn; R và r là độ dài hai bán kính; R > r):

CÁC ĐỊNH LÍ HÌNH HỌC 9 CẦN NHỚ SAU HK II

 1)     Trong một đường tròn: hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

2)     Trong một đường tròn: đường kính vuông góc với dây thì đi qua điểm chính giữacủa cung căng dây ấy và ngược lại.

3)     Trong một đường tròn: đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì qua trung điểm của dây căng cung ấy (không có ĐL đảo).

4)     Trong một đường tròn: đường kính đi qua trung điểm của một dây không qua tâm thì qua điểm chính giữa của cung căng dây ấy.

5)     Số đo của góc ở tâm thì bằng số đo cung bị chắn.

6)     Số đo của góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây thì bằng nữa số đo cung bị chắn.

7)     Số đo của góc có đỉnh trong đường tròn thì bằng nữa tổng số đo của hai cung bị chắn.

8)     Số đo của góc có đỉnh ngoài đường tròn thì bằng nữa hiệu số đo của hai cung bị chắn.

9)     Trong một đường tròn, các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau và ngược lại.

10) Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 90⁰ có số đo bằng nữa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.

11) Góc nội tiếp chắn nữa đường tròn là góc vuông và ngược lại.

12) Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp:

    a) Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 độ.

    b) Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.

    c) Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm.

    d) Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới hai góc bằng nhau.

13) Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến:

14) Hình thang nội tiếp trong đường tròn là hình thang cân và ngược lại.

15) Công thức tính độ dài đường tròn, cung tròn, diện tích hình tròn, quạt tròn:

16) Độ dài a cạnh của vài n_giác đều tính theo bán kính R của đường tròn ngoại tiếp đa giác đó (phải chứng minh lại khi dùng):

CÁC TẬP HỢP ĐIỂM CƠ BẢN CẦN NHỚ

1) Tập hợp các điểm cách đều hai đầu đoạn thẳng AB là đườngtrung trực của AB.

2) Tập hợp các điểm cách đều hai cạnh của góc xOy là tia phân giác của góc xOy.

3) Tập hợp các điểm cách đường thẳng a một đoạn d là hai đườngthẳng song song a và cách a một khoảng cách bằng d.

4) Tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng a và b song song là đường thẳng song song a và b và cách đều a và b.

5) Tập hợp các điểm nhìn đoạn thẳng AB dưới góc alpha là hai cung chứa góc alpha dựng trên đoạn AB.

6) Tập hợp các điểm cách điểm O một khoảng cách R là đường tròn tâm O bán kính R .

nhớ tk nhoa

Góc giữa tiếp tuyến và một dây cung

Dạng 1: Sử dụng tính chất góc giữa tiếp tuyến và dây cung để giải một số bài toán cơ bản

Dạng 1.1: Sử dụng số đo góc bằng nhau để chứng minh

1.Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp (O). Vẽ đường tròn (O’) tiếp xúc trong với (O) tại A và tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tại D, E, F. Cmr:

a) EF song song với BC.

b) AD là phân giác trong góc .

2. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) tiếp xúc trong với nhau tại A (R > R’). Qua A kẻ đường thẳng  cố định cắt (O’), (O) tại B, C tương ứng (khác A). Một đường thẳng thay đổi cắt (O’), (O) tại D, E tương ứng (khác A) ().

a) Cmr: BD//CE.

b) Biết AB = 2, AC = 3. Tìm GTNN của biểu thức .

3. Cho đường tròn (O) và một dây cung MN. Trên tiếp tuyến với (O) tại M, ta lấy điểm T sao cho MT = MN. Tia TN cắt (O) tại điểm thứ hai S. CMR: a) SM = ST.

b) .

4. Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) ta kẻ tiếp tuyến AB tới (O) (B là tiếp điểm) và cát tuyến ADC không đi qua O (D nằm giữa A và C). Phân giác trong  cắt DC tại E. Cmr: AB = AE.

5. Cho hình vuông ABCD. Vẽ cung tròn AC thuộc đường tròn tâm D bán kính DA và trên đó lấy điểm P. Gọi K là giao điểm của DP với nửa đường tròn đường kính AD (nằm ở trong hình vuông), gọi I là hình chiếu vuông góc của P lên AB. Cmr: PK = PI.

6. Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia CO lấy điểm S. Đường thẳng SA cắt đường tròn tại điểm thứ hai M. Tiếp tuyến với (O;R) tại M cắt CD tại P, BM cắt CD tại T.

a) Cmr: .

b) Biết . Hãy tính  theo .

7. Cho hai đường tròn (O) và (O') ở ngoài nhau. Đường thẳng OO' cắt (O) và (O') tương ứng và theo thứ tự tại A, B, C, D. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EFcủa hai đường tròn (E thuộc (O), F thuộc (O')). Gọi M, N là giao điểm của cặp đường thẳng AE,DF và EB,FC tương ứng. CMR:

a) MENF là một hình chữ nhật.

b) MN vuông góc với AD.

c) .

8. Từ một điểm C ở ngoài đường tròn (O) ta kẻ hai tiếp tuyến CA, CB tới (O) ( A, B là tiếp điểm). Vẽ đường tròn (O’) đi qua C và tiếp xúc với AB tại B. (O’) cắt (O) tại điểm M (khác B). Cmr: AM đi qua trung điểm của BC (HD: Kéo dài AM cắt (O’) tại D, ta có ABDC là một hình bình hành)

9. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B và một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với (O), (O’) tại C, D tương ứng. Đường thẳng AB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại E ( khác B). Cmr: ACED là một hình bình hành.

10. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Một tiếp tuyến của (O) tại B cắt (O’) tại hai điểm phân biệt C, D (C nằm giữa B và D). Các tia CA, DA cắt (O) tai E, F tương ứng.

a) Cmr: EF//CD.

b) Gọi M là điểm chính giữa cung CD không chứa A. Tính số đo .

11. Cho đường tròn (O) và một dây cung AB cố định không là đường kính. Xét điểm C di chuyển trên cung lớn AB (C khác A, B). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên hai tiếp tuyến với (O) tại A, B tương ứng, H là hình chiếu vuông góc của C lên AB.

a) Cmr: .

b) Tìm điều kiện để

12. Cho đường tròn (O) và một dây cung AB cố định không là đường kính. Xét điểm C di chuyển trên cung nhỏ AB (C khác A, B). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên hai tiếp tuyến với (O) tại A, B tương ứng, H là hình chiếu vuông góc của C lên AB. Tìm vị trí của C để biểu thức nhỏ nhất.

13. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường tròn ngoại tiếp (O) bán kính 10. Phân giác trong góc B cắt AC và tiếp tuyến tại C của (O) tại D, E tương ứng. Biết BD = 8.

a) Cmr: tam giác CDE cân tại C.

b) Tính độ dài BE.

14*. Cho đường tròn (O) và hai đường tròn nhỏ hơn  nằm trong (O) tiếp xúc trong với (O) tại M, N tương ứng,   cắt nhau tai hai điểm A, B và . Hai tia MA, MB  cắt lại  tương ứng tại  C, D. Cmr: CD tiếp xúc với . (HD: Một tiếp tuyến chung của đi qua C và tiếp xúc với  tại X . Cm:   dựa vào bài 1)

15*.

Dạng 1.2: Sử dụng tính chất:

Bài toán cơ bản:  Cho đường tròn (O: R) và điểm M ở ngoài (O). Từ M kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB tới (O). Khi đó .

1. Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp (O). Tiếp tuyến với (O) tại A cắt BC tại D. Cmr: . (HD: )

2. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B và một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với (O), (O’) tại C, D tương ứng. Gọi M là giao điểm của đường thẳng AB và đường thẳng CD. Cmr: M là trung điểm của CD.

3. Cho góc xAy và đường tròn (O) tiếp xúc với hai tia Ax, Ay tại B, C tương ứng. Từ C kẻ đường thẳng (d) song song với Ax cắt (O) tại điểm thứ hai D; AD cắt (O) tại điểm thứ hai M, CM cắt AB tại N. CMR:

a) .

b) AN=BN.

4. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B. Từ một điểm M thay đổi trên (O) (M ở ngoài (O’)) kẻ tiếp tuyến MC tới (O’) (C thuộc (O’)). Cmr:  là không đổi.

5. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B và một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với (O), (O’) tại C, D tương ứng (B gần đường thẳng CD hơn A). Từ A kẻ đường thẳng song song với CD cắt (O), (O’) tại các điểm thứ hai M, N tương ứng, hai đường thẳng MC, ND cắt nhau tại E. Hai đường thẳng BC, BD cắt MN tại P, Q tương ứng. Cmr:

a) A và E đối xứng nhau qua CD.

b) Tam giác EPQ cân tại E. (HD: Sử dụng kết quả bài 2 và bổ đề hình thang)

6. Cho hai đường tròn (O) và (O’) nằm ngoài nhau và một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với (O) và (O’) tại A, B tương ứng. Gọi C là điểm đối xứng B qua OO’. đường thẳng AC cắt (O) và (O’) tại các điểm thứ hai D, E tương ứng. Cmr:. (HD: Kẻ tiếp tuyến chung ngoài CF)  

7. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B. Tiếp tuyến với (O’) tại B cắt (O) tại điểm thứ hai C. Gọi I là trung điểm BC, đường thẳng AI cắt các đường tròn (O), (O’) tại các điểm thứ hai tương ứng D, E. Cmr: BDCE là một hình bình hành.

8. Cho tam giác ABC nhọn và (O) là đường tròn đường kính BC. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN tới (O) (M, N thuộc (O)). Gọi D là hình chiếu vuông góc của A lên BC, E là giao điểm của MN và AD.

a) Cmr: E là trực tâm tam giác ABC. (HD: Gọi F là giao điểm thứ hai của AB và (O). Cm: )

b) Cmr: DA là phân giác trong góc .

9. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Một đường tròn (O) thay đổi luôn đi qua B, C. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AD, AE với (O) (D, E thuộc (O)).

a) Cmr: D chạy trên một đường tròn cố định.

b) Cmr: đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định.

c) Gọi MN là một đường kính của (O) vuông góc với BC, đường thẳng AM cắt (O) tại điểm thứ hai K. Cmr: AB, DE, KN đồng quy.

Dạng 2: Sử dụng tính chất góc giữa tiếp tuyến và dây cung để chứng minh một đường thẳng tiếp xúc với một đường tròn

Bài toán cơ bản 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Kẻ tia Ax khác phía với AB đối với đường thẳng AC. CMR:  = khi và chỉ khi Ax tiếp xúc với (O).

Bài toán cơ bản 2: Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp (O). Trên tia đối của tia CB lấy điểm D. CMR: AD tiếp xúc với (O) khi và chỉ khi .

Bài tập áp dụng

1. Cho tam giác ABC cân tại A. Đường trung trực của AB cắt tia đối của tia CB tại D. CMR: AB tiếp xúc với (ACD).

2. Cho hình thang ABCD với hai đáy AB,CD. CMR: BC tiếp xúc với đường tròn (ABD) khi và chỉ khi .

3. Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O.

CMR: Đường tròn ngoại tiếp tam giác OCD tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB khi và chỉ khi ABCD.

4. Cho hình bình hành ABCD, . Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD cắt AC ở E. CMR: BD tiếp xúc với đường tròn (AEB).

5. Cho đường tròn (O). Từ một điểm M ở ngoài (O) ta kẻ hai cát tuyến MAB, MCD (theo thứ tự đó); kẻ dây CE song song với AB

a) CMR: =

b) CMR: AD.MB= MD.AE

c) CMR: EA tiếp xúc với đường tròn (MAD)

d) Cho AB= EC. CMR: nếu gọi I là giao điểm của EC và BD thì hai đường tròn (MAD)và (IED) tiếp xúc nhau tại D.

6. Cho tam giác ABC có phân giác trong AD. Xét đường tròn (O) đi qua A và tiếp xúc với BC tại D. Giả sử (O) cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E, F (E, F không trùng với A). CMR:

a)  EF // BC.

b).

c) DF tiếp xúc với (ABD).

7. Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH. Gọi M, N tương ứng là trung điểm AB, AC.

a) MN tiếp xúc với hai đường tròn (HBM) và (HCN).

b) CMR: Các đường tròn (HBM), (HCN), (AMN) cùng đi qua một điểm K.

c) Đường thẳng HK đi qua trung điểm của MN.

8. Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC và một điểm A trên nửa đường tròn (A khác B, C). Gọi H là hình chiếu của A lên BC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A, dựng hai nửa đường tròn đường kính HB, HC, chúng lần lượt cắt AB, AC tại E, F (E khác B, F khác C).

a) CMR: AE.AB=AF.AC.

b) CMR: EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn đường kính HB, HC.

c) Gọi I, K tương ứng là các điểm đối xứng với H qua AB, AC. CMR: I, A, K thẳng hàng và AK tiếp xúc với (O).

d) Gọi M là giao điểm của đường thẳng IK và tiếp tuyến của (O) tại B. CMR: MC, AH, EF đồng quy.

9. Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B cố định trên đó sao cho AB không là đường kính. Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ AB. Trên đoạn AB lấy hai điểm phân biệt C, D sao cho C ở giữa A, D và C, D khác A, B. Các tia MC, MD cắt (O) tại E, F tương ứng(E, F khác M). CMR

a) CEFD là một tứ giác nội tiếp.

b) MA tiếp xúc với đường tròn (ACE).

c) Nếu gọi  lần lượt là tâm các đườn tròn (ACE), (BDF) thì khi C, D thay đổi, thỏa mãn điều kiện đã cho, thì hai đường thẳng  luôn cắt nhau tại một điểm cố định.

10. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có đường tròn ngoại tiếp (O). Xét điểm M thay đổi trên cung nhỏ AC (M khác A, C). Gọi D là giao điểm của hai đường thẳng AM và BC.

a) CMR: AM.AD không đổi.

b) Giả sử 2.AM = BC. Tính số đo các góc .

c) Tìm M để (2.AM + AD) nhỏ nhất.

d) CMR: Đường tròn (MCD) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.

e) CMR: Tâm I của đường tròn (MCD) luôn chạy trên một đường thẳng cố định.

11. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi (I) là đường tròn tiếp xúc với AB tại B và tiếp xúc với AC tại C. Gọi D là trung điểm AB. Tia CD cắt (I) tại E và (ABE) tại K (K khác E). CMR

a)  AK//BC, BK//AC.

b) BC tiếp xúc với (ABE).

12. Cho hai đường tròn (O), (O’) cắt nhau ở A và B. Kẻ tiếp tuyến chung CC’(C thuộc (O), C’ thuộc (O’), A gần CC’ hơn B ) và kẻ đường kính CD của (O). Gọi E, F theo thứ tự là giao điểm của OO’ với C’D và CC’.

a) CMR: .

b) CMR: FA tiếp xúc với đường tròn (CAC’).

13. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF của hai đường tròn (E thuộc (O), F thuộc (O') và E,A,F nằm cùng một phía đối với đường thẳng OO') cắt OO' tại I. CMR: AI tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF.

Góc giữa tiếp tuyến và một dây cung

Dạng 1: Sử dụng tính chất góc giữa tiếp tuyến và dây cung để giải một số bài toán cơ bản

Dạng 1.1: Sử dụng số đo góc bằng nhau để chứng minh

1.Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp (O). Vẽ đường tròn (O’) tiếp xúc trong với (O) tại A và tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tại D, E, F. Cmr:

a) EF song song với BC.

b) AD là phân giác trong góc .

2. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) tiếp xúc trong với nhau tại A (R > R’). Qua A kẻ đường thẳng  cố định cắt (O’), (O) tại B, C tương ứng (khác A). Một đường thẳng thay đổi cắt (O’), (O) tại D, E tương ứng (khác A) ().

a) Cmr: BD//CE.

b) Biết AB = 2, AC = 3. Tìm GTNN của biểu thức .

3. Cho đường tròn (O) và một dây cung MN. Trên tiếp tuyến với (O) tại M, ta lấy điểm T sao cho MT = MN. Tia TN cắt (O) tại điểm thứ hai S. CMR: a) SM = ST.

b) .

4. Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) ta kẻ tiếp tuyến AB tới (O) (B là tiếp điểm) và cát tuyến ADC không đi qua O (D nằm giữa A và C). Phân giác trong  cắt DC tại E. Cmr: AB = AE.

5. Cho hình vuông ABCD. Vẽ cung tròn AC thuộc đường tròn tâm D bán kính DA và trên đó lấy điểm P. Gọi K là giao điểm của DP với nửa đường tròn đường kính AD (nằm ở trong hình vuông), gọi I là hình chiếu vuông góc của P lên AB. Cmr: PK = PI.

6. Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia CO lấy điểm S. Đường thẳng SA cắt đường tròn tại điểm thứ hai M. Tiếp tuyến với (O;R) tại M cắt CD tại P, BM cắt CD tại T.

a) Cmr: .

b) Biết . Hãy tính  theo .

7. Cho hai đường tròn (O) và (O') ở ngoài nhau. Đường thẳng OO' cắt (O) và (O') tương ứng và theo thứ tự tại A, B, C, D. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EFcủa hai đường tròn (E thuộc (O), F thuộc (O')). Gọi M, N là giao điểm của cặp đường thẳng AE,DF và EB,FC tương ứng. CMR:

a) MENF là một hình chữ nhật.

b) MN vuông góc với AD.

c) .

8. Từ một điểm C ở ngoài đường tròn (O) ta kẻ hai tiếp tuyến CA, CB tới (O) ( A, B là tiếp điểm). Vẽ đường tròn (O’) đi qua C và tiếp xúc với AB tại B. (O’) cắt (O) tại điểm M (khác B). Cmr: AM đi qua trung điểm của BC (HD: Kéo dài AM cắt (O’) tại D, ta có ABDC là một hình bình hành)

9. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B và một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với (O), (O’) tại C, D tương ứng. Đường thẳng AB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại E ( khác B). Cmr: ACED là một hình bình hành.

10. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Một tiếp tuyến của (O) tại B cắt (O’) tại hai điểm phân biệt C, D (C nằm giữa B và D). Các tia CA, DA cắt (O) tai E, F tương ứng.

a) Cmr: EF//CD.

b) Gọi M là điểm chính giữa cung CD không chứa A. Tính số đo .

11. Cho đường tròn (O) và một dây cung AB cố định không là đường kính. Xét điểm C di chuyển trên cung lớn AB (C khác A, B). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên hai tiếp tuyến với (O) tại A, B tương ứng, H là hình chiếu vuông góc của C lên AB.

a) Cmr: .

b) Tìm điều kiện để

12. Cho đường tròn (O) và một dây cung AB cố định không là đường kính. Xét điểm C di chuyển trên cung nhỏ AB (C khác A, B). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên hai tiếp tuyến với (O) tại A, B tương ứng, H là hình chiếu vuông góc của C lên AB. Tìm vị trí của C để biểu thức nhỏ nhất.

13. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường tròn ngoại tiếp (O) bán kính 10. Phân giác trong góc B cắt AC và tiếp tuyến tại C của (O) tại D, E tương ứng. Biết BD = 8.

a) Cmr: tam giác CDE cân tại C.

b) Tính độ dài BE.

14*. Cho đường tròn (O) và hai đường tròn nhỏ hơn  nằm trong (O) tiếp xúc trong với (O) tại M, N tương ứng,   cắt nhau tai hai điểm A, B và . Hai tia MA, MB  cắt lại  tương ứng tại  C, D. Cmr: CD tiếp xúc với . (HD: Một tiếp tuyến chung của đi qua C và tiếp xúc với  tại X . Cm:   dựa vào bài 1)

15*.

Dạng 1.2: Sử dụng tính chất:

Bài toán cơ bản:  Cho đường tròn (O: R) và điểm M ở ngoài (O). Từ M kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB tới (O). Khi đó .

1. Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp (O). Tiếp tuyến với (O) tại A cắt BC tại D. Cmr: . (HD: )

2. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B và một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với (O), (O’) tại C, D tương ứng. Gọi M là giao điểm của đường thẳng AB và đường thẳng CD. Cmr: M là trung điểm của CD.

3. Cho góc xAy và đường tròn (O) tiếp xúc với hai tia Ax, Ay tại B, C tương ứng. Từ C kẻ đường thẳng (d) song song với Ax cắt (O) tại điểm thứ hai D; AD cắt (O) tại điểm thứ hai M, CM cắt AB tại N. CMR:

a) .

b) AN=BN.

4. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B. Từ một điểm M thay đổi trên (O) (M ở ngoài (O’)) kẻ tiếp tuyến MC tới (O’) (C thuộc (O’)). Cmr:  là không đổi.

5. Cho hai đường tròn

Góc giữa tiếp tuyến và một dây cung

Dạng 1: Sử dụng tính chất góc giữa tiếp tuyến và dây cung để giải một số bài toán cơ bản

Dạng 1.1: Sử dụng số đo góc bằng nhau để chứng minh

1.Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp (O). Vẽ đường tròn (O’) tiếp xúc trong với (O) tại A và tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tại D, E, F. Cmr:

a) EF song song với BC.

b) AD là phân giác trong góc .

2. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) tiếp xúc trong với nhau tại A (R > R’). Qua A kẻ đường thẳng  cố định cắt (O’), (O) tại B, C tương ứng (khác A). Một đường thẳng thay đổi cắt (O’), (O) tại D, E tương ứng (khác A) ().

a) Cmr: BD//CE.

b) Biết AB = 2, AC = 3. Tìm GTNN của biểu thức .

3. Cho đường tròn (O) và một dây cung MN. Trên tiếp tuyến với (O) tại M, ta lấy điểm T sao cho MT = MN. Tia TN cắt (O) tại điểm thứ hai S. CMR: a) SM = ST.

b) .

4. Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) ta kẻ tiếp tuyến AB tới (O) (B là tiếp điểm) và cát tuyến ADC không đi qua O (D nằm giữa A và C). Phân giác trong  cắt DC tại E. Cmr: AB = AE.

5. Cho hình vuông ABCD. Vẽ cung tròn AC thuộc đường tròn tâm D bán kính DA và trên đó lấy điểm P. Gọi K là giao điểm của DP với nửa đường tròn đường kính AD (nằm ở trong hình vuông), gọi I là hình chiếu vuông góc của P lên AB. Cmr: PK = PI.

6. Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia CO lấy điểm S. Đường thẳng SA cắt đường tròn tại điểm thứ hai M. Tiếp tuyến với (O;R) tại M cắt CD tại P, BM cắt CD tại T.

a) Cmr: .

b) Biết . Hãy tính  theo .

7. Cho hai đường tròn (O) và (O') ở ngoài nhau. Đường thẳng OO' cắt (O) và (O') tương ứng và theo thứ tự tại A, B, C, D. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EFcủa hai đường tròn (E thuộc (O), F thuộc (O')). Gọi M, N là giao điểm của cặp đường thẳng AE,DF và EB,FC tương ứng. CMR:

a) MENF là một hình chữ nhật.

b) MN vuông góc với AD.

c) .

8. Từ một điểm C ở ngoài đường tròn (O) ta kẻ hai tiếp tuyến CA, CB tới (O) ( A, B là tiếp điểm). Vẽ đường tròn (O’) đi qua C và tiếp xúc với AB tại B. (O’) cắt (O) tại điểm M (khác B). Cmr: AM đi qua trung điểm của BC (HD: Kéo dài AM cắt (O’) tại D, ta có ABDC là một hình bình hành)

9. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B và một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với (O), (O’) tại C, D tương ứng. Đường thẳng AB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại E ( khác B). Cmr: ACED là một hình bình hành.

10. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Một tiếp tuyến của (O) tại B cắt (O’) tại hai điểm phân biệt C, D (C nằm giữa B và D). Các tia CA, DA cắt (O) tai E, F tương ứng.

a) Cmr: EF//CD.

b) Gọi M là điểm chính giữa cung CD không chứa A. Tính số đo .

11. Cho đường tròn (O) và một dây cung AB cố định không là đường kính. Xét điểm C di chuyển trên cung lớn AB (C khác A, B). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên hai tiếp tuyến với (O) tại A, B tương ứng, H là hình chiếu vuông góc của C lên AB.

a) Cmr: .

b) Tìm điều kiện để

12. Cho đường tròn (O) và một dây cung AB cố định không là đường kính. Xét điểm C di chuyển trên cung nhỏ AB (C khác A, B). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên hai tiếp tuyến với (O) tại A, B tương ứng, H là hình chiếu vuông góc của C lên AB. Tìm vị trí của C để biểu thức nhỏ nhất.

13. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường tròn ngoại tiếp (O) bán kính 10. Phân giác trong góc B cắt AC và tiếp tuyến tại C của (O) tại D, E tương ứng. Biết BD = 8.

a) Cmr: tam giác CDE cân tại C.

b) Tính độ dài BE.

14*. Cho đường tròn (O) và hai đường tròn nhỏ hơn  nằm trong (O) tiếp xúc trong với (O) tại M, N tương ứng,   cắt nhau tai hai điểm A, B và . Hai tia MA, MB  cắt lại  tương ứng tại  C, D. Cmr: CD tiếp xúc với . (HD: Một tiếp tuyến chung của đi qua C và tiếp xúc với  tại X . Cm:   dựa vào bài 1)

15*.

Dạng 1.2: Sử dụng tính chất:

Bài toán cơ bản:  Cho đường tròn (O: R) và điểm M ở ngoài (O). Từ M kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB tới (O). Khi đó .

1. Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp (O). Tiếp tuyến với (O) tại A cắt BC tại D. Cmr: . (HD: )

2. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B và một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với (O), (O’) tại C, D tương ứng. Gọi M là giao điểm của đường thẳng AB và đường thẳng CD. Cmr: M là trung điểm của CD.

3. Cho góc xAy và đường tròn (O) tiếp xúc với hai tia Ax, Ay tại B, C tương ứng. Từ C kẻ đường thẳng (d) song song với Ax cắt (O) tại điểm thứ hai D; AD cắt (O) tại điểm thứ hai M, CM cắt AB tại N. CMR:

a) .

b) AN=BN.

4. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B. Từ một điểm M thay đổi trên (O) (M ở ngoài (O’)) kẻ tiếp tuyến MC tới (O’) (C thuộc (O’)). Cmr:  là không đổi.

5. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B và một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với (O), (O’) tại C, D tương ứng (B gần đường thẳng CD hơn A). Từ A kẻ đường thẳng song song với CD cắt (O), (O’) tại các điểm thứ hai M, N tương ứng, hai đường thẳng MC, ND cắt nhau tại E. Hai đường thẳng BC, BD cắt MN tại P, Q tương ứng. Cmr:

a) A và E đối xứng nhau qua CD.

b) Tam giác EPQ cân tại E. (HD: Sử dụng kết quả bài 2 và bổ đề hình thang)

6. Cho hai đường tròn (O) và (O’) nằm ngoài nhau và một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với (O) và (O’) tại A, B tương ứng. Gọi C là điểm đối xứng B qua OO’. đường thẳng AC cắt (O) và (O’) tại các điểm thứ hai D, E tương ứng. Cmr:. (HD: Kẻ tiếp tuyến chung ngoài CF)  

7. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B. Tiếp tuyến với (O’) tại B cắt (O) tại điểm thứ hai C. Gọi I là trung điểm BC, đường thẳng AI cắt các đường tròn (O), (O’) tại các điểm thứ hai tương ứng D, E. Cmr: BDCE là một hình bình hành.

8. Cho tam giác ABC nhọn và (O) là đường tròn đường kính BC. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN tới (O) (M, N thuộc (O)). Gọi D là hình chiếu vuông góc của A lên BC, E là giao điểm của MN và AD.

a) Cmr: E là trực tâm tam giác ABC. (HD: Gọi F là giao điểm thứ hai của AB và (O). Cm: )

b) Cmr: DA là phân giác trong góc .

9. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Một đường tròn (O) thay đổi luôn đi qua B, C. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AD, AE với (O) (D, E thuộc (O)).

a) Cmr: D chạy trên một đường tròn cố định.

b) Cmr: đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định.

c) Gọi MN là một đường kính của (O) vuông góc với BC, đường thẳng AM cắt (O) tại điểm thứ hai K. Cmr: AB, DE, KN đồng quy.

Dạng 2: Sử dụng tính chất góc giữa tiếp tuyến và dây cung để chứng minh một đường thẳng tiếp xúc với một đường tròn

Bài toán cơ bản 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Kẻ tia Ax khác phía với AB đối với đường thẳng AC. CMR:  = khi và chỉ khi Ax tiếp xúc với (O).

Bài toán cơ bản 2: Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp (O). Trên tia đối của tia CB lấy điểm D. CMR: AD tiếp xúc với (O) khi và chỉ khi .

Bài tập áp dụng

1. Cho tam giác ABC cân tại A. Đường trung trực của AB cắt tia đối của tia CB tại D. CMR: AB tiếp xúc với (ACD).

2. Cho hình thang ABCD với hai đáy AB,CD. CMR: BC tiếp xúc với đường tròn (ABD) khi và chỉ khi .

3. Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O.

CMR: Đường tròn ngoại tiếp tam giác OCD tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB khi và chỉ khi ABCD.

4. Cho hình bình hành ABCD, . Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD cắt AC ở E. CMR: BD tiếp xúc với đường tròn (AEB).

5. Cho đường tròn (O). Từ một điểm M ở ngoài (O) ta kẻ hai cát tuyến MAB, MCD (theo thứ tự đó); kẻ dây CE song song với AB

a) CMR: =

b) CMR: AD.MB= MD.AE

c) CMR: EA tiếp xúc với đường tròn (MAD)

d) Cho AB= EC. CMR: nếu gọi I là giao điểm của EC và BD thì hai đường tròn (MAD)và (IED) tiếp xúc nhau tại D.

6. Cho tam giác ABC có phân giác trong AD. Xét đường tròn (O) đi qua A và tiếp xúc với BC tại D. Giả sử (O) cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E, F (E, F không trùng với A). CMR:

a)  EF // BC.

b).

c) DF tiếp xúc với (ABD).

7. Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH. Gọi M, N tương ứng là trung điểm AB, AC.

a) MN tiếp xúc với hai đường tròn (HBM) và (HCN).

b) CMR: Các đường tròn (HBM), (HCN), (AMN) cùng đi qua một điểm K.

c) Đường thẳng HK đi qua trung điểm của MN.

8. Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC và một điểm A trên nửa đường tròn (A khác B, C). Gọi H là hình chiếu của A lên BC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A, dựng hai nửa đường tròn đường kính HB, HC, chúng lần lượt cắt AB, AC tại E, F (E khác B, F khác C).

a) CMR: AE.AB=AF.AC.

b) CMR: EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn đường kính HB, HC.

c) Gọi I, K tương ứng là các điểm đối xứng với H qua AB, AC. CMR: I, A, K thẳng hàng và AK tiếp xúc với (O).

d) Gọi M là giao điểm của đường thẳng IK và tiếp tuyến của (O) tại B. CMR: MC, AH, EF đồng quy.

9. Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B cố định trên đó sao cho AB không là đường kính. Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ AB. Trên đoạn AB lấy hai điểm phân biệt C, D sao cho C ở giữa A, D và C, D khác A, B. Các tia MC, MD cắt (O) tại E, F tương ứng(E, F khác M). CMR

a) CEFD là một tứ giác nội tiếp.

b) MA tiếp xúc với đường tròn (ACE).

c) Nếu gọi  lần lượt là tâm các đườn tròn (ACE), (BDF) thì khi C, D thay đổi, thỏa mãn điều kiện đã cho, thì hai đường thẳng  luôn cắt nhau tại một điểm cố định.

10. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có đường tròn ngoại tiếp (O). Xét điểm M thay đổi trên cung nhỏ AC (M khác A, C). Gọi D là giao điểm của hai đường thẳng AM và BC.

a) CMR: AM.AD không đổi.

b) Giả sử 2.AM = BC. Tính số đo các góc .

c) Tìm M để (2.AM + AD) nhỏ nhất.

d) CMR: Đường tròn (MCD) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.

e) CMR: Tâm I của đường tròn (MCD) luôn chạy trên một đường thẳng cố định.

11. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi (I) là đường tròn tiếp xúc với AB tại B và tiếp xúc với AC tại C. Gọi D là trung điểm AB. Tia CD cắt (I) tại E và (ABE) tại K (K khác E). CMR

a)  AK//BC, BK//AC.

b) BC tiếp xúc với (ABE).

12. Cho hai đường tròn (O), (O’) cắt nhau ở A và B. Kẻ tiếp tuyến chung CC’(C thuộc (O), C’ thuộc (O’), A gần CC’ hơn B ) và kẻ đường kính CD của (O). Gọi E, F theo thứ tự là giao điểm của OO’ với C’D và CC’.

a) CMR: .

b) CMR: FA tiếp xúc với đường tròn (CAC’).

13. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF của hai đường tròn (E thuộc (O), F thuộc (O') và E,A,F nằm cùng một phía đối với đường thẳng OO') cắt OO' tại I. CMR: AI tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF.

Định nghĩa :

Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh nằm trên đường tròn, tại đỉnh là tiếp điểm của một tiếp tuyến và một dây đi qua đỉnh. Cung nằm bên trong góc gọi là cung bị chắn.

Định lí :

Trong một đường tròn, số đo Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nữa số đo cung bị chắn.

Góc giữa tiếp tuyến và một dây cung

Dạng 1: Sử dụng tính chất góc giữa tiếp tuyến và dây cung để giải một số bài toán cơ bản

Dạng 1.1: Sử dụng số đo góc bằng nhau để chứng minh

1.Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp (O). Vẽ đường tròn (O’) tiếp xúc trong với (O) tại A và tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tại D, E, F. Cmr:

a) EF song song với BC.

b) AD là phân giác trong góc .

2. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) tiếp xúc trong với nhau tại A (R > R’). Qua A kẻ đường thẳng  cố định cắt (O’), (O) tại B, C tương ứng (khác A). Một đường thẳng thay đổi cắt (O’), (O) tại D, E tương ứng (khác A) ().

a) Cmr: BD//CE.

b) Biết AB = 2, AC = 3. Tìm GTNN của biểu thức .

3. Cho đường tròn (O) và một dây cung MN. Trên tiếp tuyến với (O) tại M, ta lấy điểm T sao cho MT = MN. Tia TN cắt (O) tại điểm thứ hai S. CMR: a) SM = ST.

b) .

4. Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) ta kẻ tiếp tuyến AB tới (O) (B là tiếp điểm) và cát tuyến ADC không đi qua O (D nằm giữa A và C). Phân giác trong  cắt DC tại E. Cmr: AB = AE.

5. Cho hình vuông ABCD. Vẽ cung tròn AC thuộc đường tròn tâm D bán kính DA và trên đó lấy điểm P. Gọi K là giao điểm của DP với nửa đường tròn đường kính AD (nằm ở trong hình vuông), gọi I là hình chiếu vuông góc của P lên AB. Cmr: PK = PI.

6. Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia CO lấy điểm S. Đường thẳng SA cắt đường tròn tại điểm thứ hai M. Tiếp tuyến với (O;R) tại M cắt CD tại P, BM cắt CD tại T.

a) Cmr: .

b) Biết . Hãy tính  theo .

7. Cho hai đường tròn (O) và (O') ở ngoài nhau. Đường thẳng OO' cắt (O) và (O') tương ứng và theo thứ tự tại A, B, C, D. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EFcủa hai đường tròn (E thuộc (O), F thuộc (O')). Gọi M, N là giao điểm của cặp đường thẳng AE,DF và EB,FC tương ứng. CMR:

a) MENF là một hình chữ nhật.

b) MN vuông góc với AD.

c) .

8. Từ một điểm C ở ngoài đường tròn (O) ta kẻ hai tiếp tuyến CA, CB tới (O) ( A, B là tiếp điểm). Vẽ đường tròn (O’) đi qua C và tiếp xúc với AB tại B. (O’) cắt (O) tại điểm M (khác B). Cmr: AM đi qua trung điểm của BC (HD: Kéo dài AM cắt (O’) tại D, ta có ABDC là một hình bình hành)

9. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B và một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với (O), (O’) tại C, D tương ứng. Đường thẳng AB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại E ( khác B). Cmr: ACED là một hình bình hành.

10. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Một tiếp tuyến của (O) tại B cắt (O’) tại hai điểm phân biệt C, D (C nằm giữa B và D). Các tia CA, DA cắt (O) tai E, F tương ứng.

a) Cmr: EF//CD.

b) Gọi M là điểm chính giữa cung CD không chứa A. Tính số đo .

11. Cho đường tròn (O) và một dây cung AB cố định không là đường kính. Xét điểm C di chuyển trên cung lớn AB (C khác A, B). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên hai tiếp tuyến với (O) tại A, B tương ứng, H là hình chiếu vuông góc của C lên AB.

a) Cmr: .

b) Tìm điều kiện để

12. Cho đường tròn (O) và một dây cung AB cố định không là đường kính. Xét điểm C di chuyển trên cung nhỏ AB (C khác A, B). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên hai tiếp tuyến với (O) tại A, B tương ứng, H là hình chiếu vuông góc của C lên AB. Tìm vị trí của C để biểu thức nhỏ nhất.

13. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường tròn ngoại tiếp (O) bán kính 10. Phân giác trong góc B cắt AC và tiếp tuyến tại C của (O) tại D, E tương ứng. Biết BD = 8.

a) Cmr: tam giác CDE cân tại C.

b) Tính độ dài BE.

14*. Cho đường tròn (O) và hai đường tròn nhỏ hơn  nằm trong (O) tiếp xúc trong với (O) tại M, N tương ứng,   cắt nhau tai hai điểm A, B và . Hai tia MA, MB  cắt lại  tương ứng tại  C, D. Cmr: CD tiếp xúc với . (HD: Một tiếp tuyến chung của đi qua C và tiếp xúc với  tại X . Cm:   dựa vào bài 1)

15*.

Dạng 1.2: Sử dụng tính chất:

Bài toán cơ bản:  Cho đường tròn (O: R) và điểm M ở ngoài (O). Từ M kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB tới (O). Khi đó .

1. Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp (O). Tiếp tuyến với (O) tại A cắt BC tại D. Cmr: . (HD: )

2. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B và một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với (O), (O’) tại C, D tương ứng. Gọi M là giao điểm của đường thẳng AB và đường thẳng CD. Cmr: M là trung điểm của CD.

3. Cho góc xAy và đường tròn (O) tiếp xúc với hai tia Ax, Ay tại B, C tương ứng. Từ C kẻ đường thẳng (d) song song với Ax cắt (O) tại điểm thứ hai D; AD cắt (O) tại điểm thứ hai M, CM cắt AB tại N. CMR:

a) .

b) AN=BN.

4. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B. Từ một điểm M thay đổi trên (O) (M ở ngoài (O’)) kẻ tiếp tuyến MC tới (O’) (C thuộc (O’)). Cmr:  là không đổi.

5. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B và một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với (O), (O’) tại C, D tương ứng (B gần đường thẳng CD hơn A). Từ A kẻ đường thẳng song song với CD cắt (O), (O’) tại các điểm thứ hai M, N tương ứng, hai đường thẳng MC, ND cắt nhau tại E. Hai đường thẳng BC, BD cắt MN tại P, Q tương ứng. Cmr:

a) A và E đối xứng nhau qua CD.

b) Tam giác EPQ cân tại E. (HD: Sử dụng kết quả bài 2 và bổ đề hình thang)

6. Cho hai đường tròn (O) và (O’) nằm ngoài nhau và một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với (O) và (O’) tại A, B tương ứng. Gọi C là điểm đối xứng B qua OO’. đường thẳng AC cắt (O) và (O’) tại các điểm thứ hai D, E tương ứng. Cmr:. (HD: Kẻ tiếp tuyến chung ngoài CF)  

7. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B. Tiếp tuyến với (O’) tại B cắt (O) tại điểm thứ hai C. Gọi I là trung điểm BC, đường thẳng AI cắt các đường tròn (O), (O’) tại các điểm thứ hai tương ứng D, E. Cmr: BDCE là một hình bình hành.

8. Cho tam giác ABC nhọn và (O) là đường tròn đường kính BC. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN tới (O) (M, N thuộc (O)). Gọi D là hình chiếu vuông góc của A lên BC, E là giao điểm của MN và AD.

a) Cmr: E là trực tâm tam giác ABC. (HD: Gọi F là giao điểm thứ hai của AB và (O). Cm: )

b) Cmr: DA là phân giác trong góc .

9. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Một đường tròn (O) thay đổi luôn đi qua B, C. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AD, AE với (O) (D, E thuộc (O)).

a) Cmr: D chạy trên một đường tròn cố định.

b) Cmr: đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định.

c) Gọi MN là một đường kính của (O) vuông góc với BC, đường thẳng AM cắt (O) tại điểm thứ hai K. Cmr: AB, DE, KN đồng quy.

Dạng 2: Sử dụng tính chất góc giữa tiếp tuyến và dây cung để chứng minh một đường thẳng tiếp xúc với một đường tròn

Bài toán cơ bản 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Kẻ tia Ax khác phía với AB đối với đường thẳng AC. CMR:  = khi và chỉ khi Ax tiếp xúc với (O).

Bài toán cơ bản 2: Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp (O). Trên tia đối của tia CB lấy điểm D. CMR: AD tiếp xúc với (O) khi và chỉ khi .

Bài tập áp dụng

1. Cho tam giác ABC cân tại A. Đường trung trực của AB cắt tia đối của tia CB tại D. CMR: AB tiếp xúc với (ACD).

2. Cho hình thang ABCD với hai đáy AB,CD. CMR: BC tiếp xúc với đường tròn (ABD) khi và chỉ khi .

3. Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O.

CMR: Đường tròn ngoại tiếp tam giác OCD tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB khi và chỉ khi ABCD.

4. Cho hình bình hành ABCD, . Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD cắt AC ở E. CMR: BD tiếp xúc với đường tròn (AEB).

5. Cho đường tròn (O). Từ một điểm M ở ngoài (O) ta kẻ hai cát tuyến MAB, MCD (theo thứ tự đó); kẻ dây CE song song với AB

a) CMR: =

b) CMR: AD.MB= MD.AE

c) CMR: EA tiếp xúc với đường tròn (MAD)

d) Cho AB= EC. CMR: nếu gọi I là giao điểm của EC và BD thì hai đường tròn (MAD)và (IED) tiếp xúc nhau tại D.

6. Cho tam giác ABC có phân giác trong AD. Xét đường tròn (O) đi qua A và tiếp xúc với BC tại D. Giả sử (O) cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E, F (E, F không trùng với A). CMR:

a)  EF // BC.

b).

c) DF tiếp xúc với (ABD).

7. Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH. Gọi M, N tương ứng là trung điểm AB, AC.

a) MN tiếp xúc với hai đường tròn (HBM) và (HCN).

b) CMR: Các đường tròn (HBM), (HCN), (AMN) cùng đi qua một điểm K.

c) Đường thẳng HK đi qua trung điểm của MN.

8. Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC và một điểm A trên nửa đường tròn (A khác B, C). Gọi H là hình chiếu của A lên BC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A, dựng hai nửa đường tròn đường kính HB, HC, chúng lần lượt cắt AB, AC tại E, F (E khác B, F khác C).

a) CMR: AE.AB=AF.AC.

b) CMR: EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn đường kính HB, HC.

c) Gọi I, K tương ứng là các điểm đối xứng với H qua AB, AC. CMR: I, A, K thẳng hàng và AK tiếp xúc với (O).

d) Gọi M là giao điểm của đường thẳng IK và tiếp tuyến của (O) tại B. CMR: MC, AH, EF đồng quy.

9. Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B cố định trên đó sao cho AB không là đường kính. Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ AB. Trên đoạn AB lấy hai điểm phân biệt C, D sao cho C ở giữa A, D và C, D khác A, B. Các tia MC, MD cắt (O) tại E, F tương ứng(E, F khác M). CMR

a) CEFD là một tứ giác nội tiếp.

b) MA tiếp xúc với đường tròn (ACE).

c) Nếu gọi  lần lượt là tâm các đườn tròn (ACE), (BDF) thì khi C, D thay đổi, thỏa mãn điều kiện đã cho, thì hai đường thẳng  luôn cắt nhau tại một điểm cố định.

10. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có đường tròn ngoại tiếp (O). Xét điểm M thay đổi trên cung nhỏ AC (M khác A, C). Gọi D là giao điểm của hai đường thẳng AM và BC.

a) CMR: AM.AD không đổi.

b) Giả sử 2.AM = BC. Tính số đo các góc .

c) Tìm M để (2.AM + AD) nhỏ nhất.

d) CMR: Đường tròn (MCD) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.

e) CMR: Tâm I của đường tròn (MCD) luôn chạy trên một đường thẳng cố định.

11. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi (I) là đường tròn tiếp xúc với AB tại B và tiếp xúc với AC tại C. Gọi D là trung điểm AB. Tia CD cắt (I) tại E và (ABE) tại K (K khác E). CMR

a)  AK//BC, BK//AC.

b) BC tiếp xúc với (ABE).

12. Cho hai đường tròn (O), (O’) cắt nhau ở A và B. Kẻ tiếp tuyến chung CC’(C thuộc (O), C’ thuộc (O’), A gần CC’ hơn B ) và kẻ đường kính CD của (O). Gọi E, F theo thứ tự là giao điểm của OO’ với C’D và CC’.

a) CMR: .

b) CMR: FA tiếp xúc với đường tròn (CAC’).

13. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF của hai đường tròn (E thuộc (O), F thuộc (O') và E,A,F nằm cùng một phía đối với đường thẳng OO') cắt OO' tại I. CMR: AI tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF.