kết quả bằng 12098.00149 chắc là vậy :v

Ta có: \(a^{2000}+b^{2000}=a^{2001}+b^{2001}=a^{2002}+b^{2002}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^{2000}\left(a-1\right)+b^{2000}\left(b-1\right)=0\\a^{2001}\left(a-1\right)+b^{2001}\left(b-1\right)=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow a^{2000}\left(a-1\right)\left(a-1\right)+b^{2000}\left(b-1\right)\left(b-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^{2000}\left(a-1\right)^2+b^{2000}\left(b-1\right)^2=0\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}a^{2000}\left(a-1\right)^2\ge0\forall a>0\\b^{2000}\left(b-1\right)^2\ge0\forall b>0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow a^{2000}\left(a-1\right)^2+b^{2000}\left(b-1\right)^2\ge0\)

Mà \(a^{2000}\left(a-1\right)^2+b^{2000}\left(b-1\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^{2000}\left(a-1\right)^2=0\\b^{2000}\left(b-1\right)^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-1=0\left(a>0\right)\\b-1=0\left(b>0\right)\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=1\end{cases}}\)

\(M=a^{2017}+b^{2017}=1+1=2\)

Vậy \(M=2\)

không biết cách này đúng không nữa 

\(a^{2000}+b^{2000}=a^{2001}+b^{2001}\Rightarrow a^{2001}+b^{2001}-a^{2000}-b^{2000}=0\)

\(\Rightarrow a^{2000}.\left(a-1\right)+b^{2000}.\left(b-1\right)=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-1=0\\b-1=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=1\end{cases}}}\)(1)

\(a^{2002}+b^{2002}=a^{2001}+b^{2001}\Rightarrow a^{2002}+b^{2002}-a^{2001}-b^{2001}=0\)

\(\Rightarrow a^{2001}.\left(a-1\right)+b^{2001}.\left(b-1\right)=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-1=0\\b-1=0\end{cases}\left(\text{vì a,b dương nên }a^{2001}\text{và }b^{2001}\text{ lớn hơn 0}\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=1\end{cases}}}\)(2)

từ (1) và (2) => a=b=1=> M=2

p/s: trình độ thấp, sai bỏ qua

mỗi  số hạng trong biểu thức A đều nhỏ hơn 1 mà có 15 số nên tổng A sẽ nhỏ hơn 15

ta thay tong tren <1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

hay tong tren be hon 15

2000-2001+2002-2003+...-2015+2016=6

Ta tách thành :

( 2000+2002+...+2016 ) - ( 2001+2003+...+2015 )

              a                   -            b

Số số hạng của a là:

(2016-2000) :2+1=9(số hạng)

Tổng của a là:

(2016+2000).9:2=18072

Số số hạng của b là :

(2015-2001):2+1=8(số hạng)

tông b là:

(2015+2001).8:2=16064

Ta có:  18072-16064=2008

Đ/s:2008

Ta thấy:

2000/2001 =  1 – 1/2001

2001/2001 = 1 – 1/2002

……..

2015/2016 = 1 – 1/2016

Trong biểu thức A có 2015-2000+1=16 (số hạng). Nên

A = 2000/2001 + 2001/2002 + .....+ 2015/2016 

A = 16 – (1/2001 + 1/2002 + 1/2003 + … + 1/2016)        (1)

Mà:

1/2001 ; 1/2002 ; 1/2003 ; … ; 1/2016 đều bé hơn 1/2000. Nên:

1/2001 + 1/2002 + 1/2003 + … + 1/2016 < 16/2000 < 1   (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

A = 16 – (1/2001 + 1/2002 + 1/2003 + … + 1/2016) > 15

A > 15

Ta thấy :

2000/2001 = 1 - 1/2001

2001/2002 = 1 - 1/2002

.................................

2015/2016 = 1 - 1/2016

Trong biểu thức A có :

2015 - 2000 + 1 = 16 ( số hạng )

A = 2000/2001 + 2001/2002 + .... + 2015/2016

A  16 - ( 1/2001 + 1/2002 + 1/2003 + ... = 1/2016 ) ( 1 )

Mà :

1/2001 ; 1/2002 ; 1/2003 ;...;1/2016 đều bé hơn 1/2000 Nên

1/2001 + 1/2002 + 1/2003 + ... + 1/2016 < 16/2000 < 1 ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra :

A = 16 - ( 1/2001 + 1/2002 + 1/2003 + ...  +1/2016 ) < 15

A > 15

Ta thấy : 2000/2001 = 1 - 1/2001 2001/2002 = 1 - 1/2002 ................................. 2015/2016 = 1 - 1/2016 Trong biểu thức A có : 2015 - 2000 + 1 = 16 ( số hạng ) A = 2000/2001 + 2001/2002 + .... + 2015/2016 A 16 - ( 1/2001 + 1/2002 + 1/2003 + ... = 1/2016 ) ( 1 ) Mà : 1/2001 ; 1/2002 ; 1/2003 ;...;1/2016 đều bé hơn 1/2000 Nên 1/2001 + 1/2002 + 1/2003 + ... + 1/2016 < 16/2000 < 1 ( 2 ) Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra : A = 16 - ( 1/2001 + 1/2002 + 1/2003 + ... +1/2016 ) < 15 A > 15

2000/2001<1

2001/2002<1

2002/2003<1

...

2015/2016<1

=>2000/2001+2001/2002+2002/2003+2003/2004+...+2015/2016<1+1+1+1+1+...+1=15

Vậy...   

Ta có:

2000/ 2001 < 1

2001/2002 < 1

..................

2015/ 2016<1

=> 200/2001 + 2001/202+...+ 2015/2016 < 1 + 1+1 +1+...+1( 15 số hạng)

=> 200/2001 + 2001/202+...+ 2015/2016< 1 x 15 = 15

ta có

2000/2001<1; 2001/2002<1; ...;2015/2016<1

=>A=2000/2001+2001/2002+...+2015/2016<1+1+1+....+1=15

=>A<15

Vậy A=2000/2001+2001/2002+...+2015/2016<15