Vì ∆ ABC đồng dạng với ∆ AMN nên:

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là:

SMNPQ = MN. NP = MN.KH = MN.( AH – AK)

=> SMNPQ = 16k.( 12- 12k)

Theo đề bài diện tích hình chữ nhật đó là 36cm2 nên

16k.( 12- 12k ) = 36

⇔ 16k.12( 1- k) = 36

⇔ 16k(1 – k) = 3 ( chia cả hai vế cho 12)

⇔ 16k – 16k2 = 3

⇔ 16k2- 16k + 3= 0

Ta có: ∆’= (-8)2 – 16.3 = 16> 0

Phương trình trên có 2 nghiệm là:

Vậy để diện tích hình chữ nhật MNPQ là 36cm2 thì vị trí điểm M phải thỏa mãn:

Vì ∆ ABC đồng dạng với ∆ AMN nên:

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là:

SMNPQ = MN. NP = MN.KH = MN.( AH – AK)

=> SMNPQ = 16k.( 12- 12k)

Theo đề bài diện tích hình chữ nhật đó là 36cm2 nên

16k.( 12- 12k ) = 36

⇔ 16k.12( 1- k) = 36

⇔ 16k(1 – k) = 3 ( chia cả hai vế cho 12)

⇔ 16k – 16k2 = 3

⇔ 16k2- 16k + 3= 0

Ta có: ∆’= (-8)2 – 16.3 = 16> 0

Phương trình trên có 2 nghiệm là:

Vậy để diện tích hình chữ nhật MNPQ là 36cm2 thì vị trí điểm M phải thỏa mãn:

 Đặt \(MB=m>0\). \(\Rightarrow MQ=NP=\dfrac{m}{\sqrt{3}}\)

 Đặt \(AB=b>m\). Khi đó \(\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{AM}{AB}\) 

\(\Rightarrow MN=\dfrac{AM.BC}{AB}=\dfrac{\left(b-m\right).a}{b}=\left(1-\dfrac{m}{b}\right).a\) \(=a-\dfrac{a}{b}.m\)

\(\Rightarrow S_{MNPQ}=MN.NP=\dfrac{1}{\sqrt{3}}m\left(a-\dfrac{a}{b}.m\right)\)

\(=\dfrac{a}{b\sqrt{3}}\left(-m^2+bm\right)\)

 \(=\dfrac{a}{b\sqrt{3}}\left(-m^2+2m.\dfrac{b}{2}-\dfrac{b^2}{4}+\dfrac{b^2}{4}\right)\) 

\(=\dfrac{a}{b\sqrt{3}}\left[-\left(m-\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{b^2}{4}\right]\)

\(=-\dfrac{a}{\sqrt{3}}\left(m-\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{ab}{4\sqrt{3}}\) \(\le\dfrac{ab}{4\sqrt{3}}\), suy ra \(S_{MNPQ}\le\dfrac{ab}{4\sqrt{3}}\)

 Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow m=\dfrac{b}{2}\) hay M là trung điểm của đoạn AB.

 Vậy để diện tích hình chữ nhật MNPQ lớn nhất khi và chỉ khi M là trung điểm AB.

Trl :

-Câu này có trong Vio Toán tv lớp 8 ( tớ vừa mới thi ạ :33 )

-Hơi ngại làm :> Nhưng cho cậu kq nhé : 162 cm²

100%