Cot A>3 

Khi \(\cot x\) là một hàm lồi trên \(\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\), và \(A,B,C\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\), ta có: 

\(\cot A+\cot B+\cot C\ge3\cot\left(\frac{A+B+C}{3}\right)=\sqrt{3}\)

Theo BĐT Jensen ta được ĐPCM 

Cách khác: 

Sử dụng đồng nhất thức ta có:

\(\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C\)

Vì vậy \(\cot A\cot B+\cot B\cot C+\cot C\cot A=1\) 

Và \(\left(\cot A-\cot B\right)^2+\left(\cot B-\cot C\right)^2+\left(\cot C-\cot A\right)^2\ge0\)

Vì vậy \(\cot^2A+\cot^2B+\cot^2C\ge1\)

Vì vậy \(\left(\cot A+\cot B+\cot C\right)^2=\cot^2A+\cot^2B+\cot^2C+2\left(\cot A\cot B+\cot B\cot C+\cot C\cot A\right)\ge3\)

Vậy \(\cot A+\cot B+\cot C\ge\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\cot A=\cot B=\cot C\) (Cách này ko chắc 100% đúng)

Đùa tí :v, Ta có:

\(tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC\)

Vi` vay \(cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1\)

Va` \(\left(cotA-cotB\right)^2+\left(cotB-cotC\right)^2+\left(cotC-cotA\right)^2\ge0\)

Vi` vay \(cot^2A+cot^2B+cot^2C\ge1\)

Then \(\left(cotA+cotB+cotC\right)^2=cot^2A+cot^2B+cot^2C+2\left(cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA\right)\ge3\)

Nen \(cotA+cotB+cotC\ge\sqrt{3}\)

Xay ra khi \(cotA=cotB=cotC\)

\(cotx\) là hàm lồi trên \(\left(0;\frac{\pi}{2}\right)\) và \(A,B,C\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right)\)

Thì theo BĐT Jensen ta có: 

\(cotA+cotB+cotC\ge3cot\left(\frac{A+B+C}{3}\right)=\sqrt{3}\)

Xong :v

A

vẽ hình thử xem mk ko vẽ dc hình

Cho hình vẽ

Gọi G là trọng tâm của ABC 

Trước hết tìm cot B và cot C trong hình tam giác. Việc kẻ đường cao AH cho ta ngay kết quả; 

cot B + cot C \(=\frac{BH}{AH}+\frac{CH}{AH}=\frac{BC}{AH}\)

Lại nhận thấ \(AM\ge AH\)

Lưu ý; Do \(\frac{T}{C}\) là đường xiên lớn hơn đường vuông góc 

Hơn nữa dùng giả thiết \(BM\downarrow CN\) ta có \(GM=\frac{1}{2}BC\)

Như vậy \(BC=2GM=\frac{2AM}{3}\ge\frac{2AH}{3}v\Rightarrow cotB+cotC=\frac{BC}{AH}\ge\frac{2}{3}\)

làm bừa thui,ai trên 11 điểm tích mình mình tích lại

Số số hạng là : 

Có số cặp là :

50 : 2 = 25 ( cặp )

Mỗi cặp có giá trị là :

99 - 97 = 2 

Tổng dãy trên là :

25 x 2 = 50

Đáp số : 50

Áp dụng hệ quả của định lí sin và định lí cosin, ta có:

\(\frac{a}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow \sin A = \frac{a}{{2R}}\)

và \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)

\( \Rightarrow \cot A = \frac{{\cos A}}{{\sin A}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}:\frac{a}{{2R}} = R.\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{abc}}\)

Tương tự ta có: \(\cot B = R.\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{abc}}\) và \(\cot C = R.\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{abc}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \cot A + \cot B + \cot C = \frac{R}{{abc}}\left[ {\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right) + \left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right) + \left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)} \right]\\ = \frac{R}{{abc}}\left( {2{b^2} + 2{c^2} + 2{a^2} - {a^2} - {c^2} - {b^2}} \right) = \frac{{R({a^2} + {b^2} + {c^2})}}{{abc}}\end{array}\)