mỗi  số hạng trong biểu thức A đều nhỏ hơn 1 mà có 15 số nên tổng A sẽ nhỏ hơn 15

ta thay tong tren <1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

hay tong tren be hon 15

Ta thấy:

2000/2001 =  1 – 1/2001

2001/2001 = 1 – 1/2002

……..

2015/2016 = 1 – 1/2016

Trong biểu thức A có 2015-2000+1=16 (số hạng). Nên

A = 2000/2001 + 2001/2002 + .....+ 2015/2016 

A = 16 – (1/2001 + 1/2002 + 1/2003 + … + 1/2016)        (1)

Mà:

1/2001 ; 1/2002 ; 1/2003 ; … ; 1/2016 đều bé hơn 1/2000. Nên:

1/2001 + 1/2002 + 1/2003 + … + 1/2016 < 16/2000 < 1   (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

A = 16 – (1/2001 + 1/2002 + 1/2003 + … + 1/2016) > 15

A > 15

Ta thấy :

2000/2001 = 1 - 1/2001

2001/2002 = 1 - 1/2002

.................................

2015/2016 = 1 - 1/2016

Trong biểu thức A có :

2015 - 2000 + 1 = 16 ( số hạng )

A = 2000/2001 + 2001/2002 + .... + 2015/2016

A  16 - ( 1/2001 + 1/2002 + 1/2003 + ... = 1/2016 ) ( 1 )

Mà :

1/2001 ; 1/2002 ; 1/2003 ;...;1/2016 đều bé hơn 1/2000 Nên

1/2001 + 1/2002 + 1/2003 + ... + 1/2016 < 16/2000 < 1 ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra :

A = 16 - ( 1/2001 + 1/2002 + 1/2003 + ...  +1/2016 ) < 15

A > 15

Ta thấy : 2000/2001 = 1 - 1/2001 2001/2002 = 1 - 1/2002 ................................. 2015/2016 = 1 - 1/2016 Trong biểu thức A có : 2015 - 2000 + 1 = 16 ( số hạng ) A = 2000/2001 + 2001/2002 + .... + 2015/2016 A 16 - ( 1/2001 + 1/2002 + 1/2003 + ... = 1/2016 ) ( 1 ) Mà : 1/2001 ; 1/2002 ; 1/2003 ;...;1/2016 đều bé hơn 1/2000 Nên 1/2001 + 1/2002 + 1/2003 + ... + 1/2016 < 16/2000 < 1 ( 2 ) Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra : A = 16 - ( 1/2001 + 1/2002 + 1/2003 + ... +1/2016 ) < 15 A > 15

ta có

2000/2001<1; 2001/2002<1; ...;2015/2016<1

=>A=2000/2001+2001/2002+...+2015/2016<1+1+1+....+1=15

=>A<15

Vậy A=2000/2001+2001/2002+...+2015/2016<15

Trong biểu thức có 14 hạng tử.

Ta có:

\(\frac{2000}{2001}<1<15\)

\(\frac{2001}{2001}<1<15\)

.........................

\(\frac{2015}{2016}<1<15\)

=> \(\frac{2000}{2001}+\frac{2001}{2002}+........+\frac{2015}{2016}<1+1+......+1=14<15\)

= 15.99203381