Quy đồng

\(\frac{2a-7}{14}=\frac{1}{b+1}\)

suy ra: 1 là ước của 2a-7 (hihi huề vốn)

và b+1 là ước cùa 14

U(14)={1,2,7,14}

Cho b+1=1 suy ra b=0 thay vào a=21/2=10,5 (loại bỏ)

Cho b+1=2 suy ra b=1 thay vào a=7 (lấy nhe)

Cho b+1=7 suy ra b=6 thay vào a=9/2=4,5 (loại bỏ)

Cho b+1=14 suy ra b=13 thay vào a=7/2=3,5 (loại bỏ)

Vậy là sau thời gian mài mò chúng ta được a=7, b=1 là số nguyên thôi, trường hợp còn lại là số bị mẻ nên bỏ kakaka

ta co :\(\frac{a}{7}-\frac{1}{2}=\frac{1}{b+1}\Rightarrow\frac{2a}{14}-\frac{7}{14}=\frac{1}{b+1}\)

\(\left(2a-7\right).\left(b+1\right)=14\)

lập bảng rồi tự tìm a, b nhé !

\(\frac{a}{7}-\frac{1}{2}=\frac{1}{b+3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2a}{14}-\frac{7}{14}=\frac{1}{b+3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2a-7}{14}=\frac{1}{b+3}\)

\(\Rightarrow\left(2a-7\right)\left(b+3\right)=14\)

=> 2a - 7 và b + 3 là ước của 14

=> Ư(14) = { - 14; - 1; 1; 14 }

Vì 2a - 7 là số nguyên lẻ => 2a - 7 = { - 1; 1 }

+ ) Với 2a - 7 = - 1 thì b + 3 = - 14 => a = 3 thì b = - 17

+ ) Với 2a - 7 = 1 thì b + 3 = 14 => a = 4 thì b = 11

Vậy ( a;b ) = { ( 3;-17 ); ( 4;11 ) }

chuẩn 

Bạn Đinh Đức Hùng làm đúng rồi, nhưng thiếu sót một chút đấy: Ư(14)={-14;-7;-2;-1;1;2;7;14}

\(\frac{a}{7}=\frac{1}{b+3}+\frac{1}{2}=\frac{2+b+3}{2b+6}=\frac{b+5}{2b+6}\)

\(\Rightarrow a=\frac{7b+35}{2b+6}\)

\(\frac{B}{A}=\frac{\frac{2012}{1}+\frac{2011}{2}+\frac{2010}{3}+...+\frac{1}{2012}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2013}}\)

\(=\frac{\left(\frac{2011}{2}+1\right)+\left(\frac{2010}{3}+1\right)+...+\left(\frac{1}{2012}+1\right)+1}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2013}}\)

\(=\frac{\frac{2013}{2}+\frac{2013}{3}+\frac{2013}{4}+....+\frac{2013}{2012}+\frac{2013}{2013}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+....+\frac{1}{2013}}\)

\(=\frac{2013\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+....+\frac{1}{2013}\right)}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2013}}=2013\)

Bài 1 :

\(A=\frac{2-1}{1.2}+\frac{3-2}{2.3}+\frac{4-3}{3.4}+...+\frac{50-49}{49.50}\)

\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\)

\(=1-\frac{1}{50}< 1\left(1\right)\)

\(B=\frac{1}{10}+\left(\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+...+\frac{1}{99}+\frac{1}{100}\right)\)\(>\frac{1}{10}+\frac{1}{100}.90=1\left(2\right)\)

Từ (1) và ( 2) ta có \(A< 1\) \(B>1\)NÊN \(A< B\)

Bài 2:

\(S=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)

\(=\frac{\left(a+b+c\right)-\left(b+c\right)}{b+c}+\)\(\frac{\left(a+b+c\right)-\left(c+a\right)}{c+a}\)\(+\frac{\left(a+b+c\right)-\left(a+b\right)}{a+b}\)

\(=\frac{7-\left(b+c\right)}{b+c}+\frac{7-\left(c+a\right)}{c+a}+\frac{7-\left(a+b\right)}{a+b}\)

\(=7.\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)-3\)

\(=7.\frac{7}{10}-3\)\(=\frac{49}{10}-3=\frac{19}{10}\)

\(S=\frac{19}{10}>\frac{19}{11}=1\frac{8}{11}\)

Chúc bạn học tốt ( -_- )

Bài 1:

ta có: \(A=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{49.50}\)

\(A=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\)

\(A=1-\frac{1}{50}< 1\)

\(\Rightarrow A< 1\)(1) 

ta có: \(\frac{1}{11}>\frac{1}{100};\frac{1}{12}>\frac{1}{100};...;\frac{1}{99}>\frac{1}{100}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+...+\frac{1}{99}+\frac{1}{100}>\frac{1}{100}+\frac{1}{100}+...+\frac{1}{100}+\frac{1}{100}\) ( có 90 số 1/100)

                                                                               \(=\frac{90}{100}=\frac{9}{10}\)

\(\Rightarrow B=\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+...+\frac{1}{99}+\frac{1}{100}>\frac{1}{10}+\frac{9}{10}=1\)

\(\Rightarrow B>1\)(2)

Từ (1);(2) => A<B

Bài 2:

ta có: \(S=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)

\(\Rightarrow S=\left(\frac{a}{b+c}+1\right)+\left(\frac{b}{c+a}+1\right)+\left(\frac{c}{a+b}+1\right)-3\)

\(S=\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}-3\)

\(S=\left(a+b+c\right).\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)-3\)

thay số: \(S=7.\frac{7}{10}-3\)

\(S=4\frac{9}{10}-3\)

\(S=1\frac{9}{10}=\frac{19}{10}\)

mà  \(1\frac{8}{11}=\frac{19}{11}\)

\(\Rightarrow\frac{19}{10}>\frac{19}{11}\)

\(\Rightarrow S>\frac{19}{11}\)

\(\Rightarrow S>1\frac{8}{11}\)

Xét bài toán phụ sau:

Nếu \(a+b+c=0\Leftrightarrow\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\left|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right|\)  \(\left(a,b,c\ne0\right)\)

Thật vậy

Ta có: \(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2-2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)}\)

\(=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2-2\cdot\frac{a+b+c}{abc}}=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2-2\cdot\frac{0}{abc}}\)

\(=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}=\left|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right|\)

Bài toán được chứng minh

Quay trở lại, ta sẽ áp dụng bài toán phụ vào bài chính:

Ta có: \(P=\sqrt{\frac{1}{2^2}+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}}+...+\sqrt{\frac{1}{2^2}+\frac{1}{779^2}+\frac{1}{801^2}}\)

Vì \(2+1+\left(-3\right)=0\) nên:

\(\sqrt{\frac{1}{2^2}+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}}=\sqrt{\frac{1}{2^2}+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{\left(-3\right)^2}}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)^2}=\frac{1}{2}+1-\frac{1}{3}\)

Tương tự ta tính được:

\(\sqrt{\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\) ; ... ; \(\sqrt{\frac{1}{2^2}+\frac{1}{799^2}+\frac{1}{801^2}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{799}-\frac{1}{801}\)

\(\Rightarrow P=\frac{1}{2}+1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2}+\frac{1}{799}-\frac{1}{801}\)

\(=\frac{1}{2}\cdot400+\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{799}-\frac{1}{801}\right)\)

\(=200+\frac{800}{801}=\frac{161000}{801}=\frac{a}{b}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=161000\\b=801\end{cases}}\)

\(\Rightarrow Q=161000-801\cdot200=800\)

Deo biet