2011||x2−y|−8|+y2−1=12011||x2−y|−8|+y2−1=1

⇔||x2−y|−8|+y2−1=0⇔||x2−y|−8|+y2−1=0

⇔||x2−y|−8|+y2=1⇔||x2−y|−8|+y2=1

Do x;y∈Z⇒||x2−y|−8|∈N;y2∈Nx;y∈Z⇒||x2−y|−8|∈N;y2∈N

Do y∈Z⇒y2y∈Z⇒y2 là số chính phương

Mà 1=0+11=0+1 nên ta có 22 trường hợp xảy ra

-Trường hợp 1: {||x2−y|−8|=1(1)y2=0(2){||x2−y|−8|=1(1)y2=0(2) 

(2)⇔y=0(2)⇔y=0

Thay yy vào (1)(1) ta được: 

||x2−0|−8|=1⇔||x2|−8|=1||x2−0|−8|=1⇔||x2|−8|=1

⇔|x2−8|=1⇔[x2−8=1x2−8=−1⇔|x2−8|=1⇔[x2−8=1x2−8=−1

⇔[x2=9x2=7⇔[x=±3x=±√7⇔[x2=9x2=7⇔[x=±3x=±7

Mà x∈Z⇒x=±3x∈Z⇒x=±3

-Trường hợp 2:

{||x2−y|−8|=0(3)y2=1(4)⇔{|x2−y|−8=0(3)y=±1{||x2−y|−8|=0(3)y2=1(4)⇔{|x2−y|−8=0(3)y=±1 

+Nếu y=1,y=1, thay vào (3)(3) ta được:

|x2−1|−8=0⇔|x2−1|=8|x2−1|−8=0⇔|x2−1|=8

⇔[x2−1=8x2−1=−8⇔[x2=9x2=−7(loại)⇔[x2−1=8x2−1=−8⇔[x2=9x2=−7(loại)

⇔x2=9⇔x=±3⇔x2=9⇔x=±3 (thỏa mãn)

+Nếu y=−1,y=−1, thay vào (3)(3) ta được:

| x2+1 | = 0⇔x2+1=8⇔x2=7|x2+1|−8=0⇔x2+1=8⇔x2=7

⇔x=±√7⇔x=±7 (không thỏa mãn)

\(^{\text{(x+1+y+1+x+y)}^2}\)=2

\(^{\text{(x+1+y+1+x+y)}^2}\) =\(^{2^2}\)

x+1+y+1+x+y=2

(x+x)+(y+y)+(1+1)=2

x.2+y.2+2=2

2.(x+y+1)=2

x+y+1=2:2

x+y+1=1

x+y=1-1

x+y=0

=>x;y=0

x(y+2)+y = 1

x(y+2)+(y+2) = 1+2

(y+2)(x+1) = 3

ta co bang

Vì l x + 2015 l \(\ge\)0 với mọi x thuộc Z

l y - 2016 l \(\ge\)0 với mọi x thuộc Z

mà l x + 2015 l + l y -2016 l = 0

=> \(\hept{\begin{cases}x+2015=0\\y-2016=0\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}x=-2015\\y=2016\end{cases}}\)

Do |x+2015| ≥ 0 với mọi x

      |y-2016| ≥ 0 với mọi y

Suy ra |x+2015| + |y-2016| ≥ 0 với mọi x;y

Dấu "=" xảy ra khi:

\(\hept{\begin{cases}\\\end{cases}}\)

Đồng thời x+2015 và y-2016 bằng 0

=) (x;y)=(-2015;2016)