Có 5 số, và 3 số dư khi chia cho 3 là 0;1;2 
Nếu có 3,4 hay 5 số mà có cùng số dư khi chia cho 3 thì tổng 3 trong số đó chia hết cho 3. 
Nếu có ít hơn 3 nghĩa là nhiều nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 3 thì trong 5 số đó cùng tồn tại các số chia 3 dư 0;1;2 nên tổng 3 số có số dư khi chia cho 3 khác nhau sẽ chia hết cho 3. 
Do đó trong 5 số nguyên bất kì luôn tìm được 3 số có tổng chia hết cho 3.

ko bít

://:/

Gọi tổng các chữ số của A là (S)

Trong dãy số 1;2;3...;100

Ta bỏ riêng số 100 ra và lập thành một dãy mới:

0;1;2;...;99 (*)

Ta ghép thành từng cặp:

(0;99);(1;98);(2;97);...;(49;50)

Tổng các chữ số của 2 số trong một cặp là:18

Do đó tổng các chữ số của các số trong (*) là: 18.50 = 900

Suy ra S(A) = 900+1 = 901 ( vì số một trăm có đồng dư chữ số là 1 )

Suy ra S(A) chia cho 9 dư 1

Suy ra A  ko chia hết cho 9 suy ra A ko chia hết cho 2007 (vì 2007 chia hết cho 9 )

PHẦN B

Ta thấy một tổng luôn đồng dư với tổng các chữ số của  các số hạng khi chia cho cho 9.Do đó B đồng dư với A khi chia cho 9 

Suy ra B chi cho 9 dư 1

Suy ra B ko chia hết cho cho 9 suy ra B ko chia hết cho 2007

Đặt 7 số TN đó là A, B, C, D, E, F, G. Lấy kết quả của bài 1: Trong 3 số tự nhiên bất kỳ luôn có 2 số là số chẵn ( chia hết cho 2)

                A,  B,     C   Và   D, E, F    mỗi nhóm có 1 cặp chia hết cho 2

* Giả thử (A+B) =2 m  và  (D+E)=2n --> (A+B) + (C+D)= 2(m+n)

                     Còn 3 số   C     F    G  sẽ có 1 cặp chia hết cho 2

                                     ( C + F) = 2 p    Với m,n,p cúng là số tự nhiên

Trong 3 số m, n, p  luôn chọn được 2 số có tổng chia hết cho 2.

*Giả thử (m + n) =2 q  ( q là số TN) thì ta có

     (A+B) + (C+D)= 2(m+n) = 4q  ==> A+B+C+D chia hết cho 4 (ĐPCM)

Tương tự nếu chon các nhóm số khác ta cũng được 4 số trong 7 số bât kỳ trên chia hết cho 4