n^5-n= (n-1)n(n+1)(n^2+1)

(n-1)n(n+1) tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3(1)

(n-1)n tích 2 ssoo tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2(2)

còn n^5 và có cùng chữ số tận cuunfg nên hiệu có chữ sô tận cùng là 0 chia hết cho 5(3)

từ (1)(2)(3) => chia hết cho 30

a) (n mũ 2+n) chia hết cho 2 

=> n mũ 2 +n thuộc Ư(2), tự tìm ước của 2

\(n^2+n=n\left(n+1\right)\)

Vì n(n+1) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 => đpcm

\(n^2+n+3=n\left(n+1\right)+3\)

Vì n(n+1) chia hết cho 2 => số cuối là số chẵn => n(n+1) + 3 có số cuối là số lẻ 

Vậy n^2+n+3 ko chia hết cho 2

a) \(\left(n+6\right)^2-\left(n-6\right)^2\)

\(=\left[\left(n+6\right)-\left(n-6\right)\right]\left[\left(n+6\right)+\left(n-6\right)\right]\)

\(=\left(n+6-n+6\right)\left(n+6+n-6\right)\)

\(=12.2n\)

\(=24n\)

Vì 24n chia hết cho 24 với mọi n

=> (n + 6)² - (n - 6)² chia hết cho 24 với mọi n thuộc Z (Đpcm)

b) P/s: Bài này cậu thiếu điều kiện n lẻ nên mình thêm vào mới giải được nha.

\(n^2+4n+3\)

\(=n^2+n+3n+3\)

\(=n\left(n+1\right)+3\left(n+1\right)\)

\(=\left(n+3\right)\left(n+1\right)\)

Vì n là số lẻ nên n = 2k + 1 ( k thuộc Z )

Thay n = 2k + 1 vào ta được

\(\left(n+3\right)\left(n+1\right)\)

\(=\left(2k+1+3\right)\left(2k+1+1\right)\)

\(=\left(2k+4\right)\left(2k+2\right)\)

\(=2\left(k+2\right)2\left(k+1\right)\)

\(=4\left(k+2\right)\left(k+1\right)\)

Vì (k + 2)(k + 1) là tích của hai số liên tiếp

=> (k + 2)(k + 1) chia hết cho 2

=> 4(k + 2)(k + 1) chia hết cho 8

=> n² + 4n + 3 chia hết cho 8 với mọi số nguyên n lẻ ( Đpcm )

c) \(\left(n+3\right)^2-\left(n-1\right)^2\)

\(=\left[\left(n+3\right)-\left(n-1\right)\right]\left[\left(n+3\right)+\left(n-1\right)\right]\)

\(=\left(n+3-n+1\right)\left(n+3+n-1\right)\)

\(=4\left(2n+2\right)\)

\(=4.2\left(n+1\right)\)

\(=8\left(n+1\right)\)

Vì 8(n + 1) chia hết cho 8 với mọi n

=> (n + 3)² - (n - 1)² chia hết cho 8 với mọi n ( Đpcm )

\(n^5-n=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right)=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Do \(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) là tích 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5 và \(5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮5\forall n\in Z^+\)

\(\Rightarrow n^5-n⋮5\forall n\in Z^+\)

1)

a)2⁵¹-1

=(2³)¹⁷-1\(⋮\)2³-1=7

Vậy 2⁵¹-1\(⋮\)7

b)2⁷⁰+3⁷⁰

=(2²)³⁵+(3²)³⁵\(⋮\)2²+3²=13

Vậy 2⁷⁰+3⁷⁰\(⋮\)13

c)17¹⁹+19¹⁷

=(BS18-1)¹⁹+(BS18+1)¹⁷

=BS18-1+BS18+1

=BS18\(⋮\)18

d)36⁶³-1\(⋮\)35\(⋮\)7

Vậy 36⁶³-1\(⋮\)7

36⁶³-1

=36⁶³+1-2

=BS37-2\(⋮̸\)37

Vậy 36⁶³-1\(⋮̸\)37

e)2⁴ⁿ-1

=(2⁴)ⁿ-1\(⋮\)2⁴-1=15

Vậy 2⁴ⁿ-1\(⋮\)15

  Cái này đâu cần tới qui nạp. Giải theo Fertma là được: 
- Phương pháp Fertma: Ta có n thuộc Z và 7 là số nguyên tố 
Nên n^7 đồng dư n (mod 7) 
=> n^7 - n đồng dư 0 (mod 7) 
=> n^7 - n chia hết cho 7 
- Phương pháp Qui nạp: Đặt A(n)=n^7 - n (cho dễ làm) 
+ n=0 => A(n)=0 chia hết cho 7 
+Giả sử n=k thì A(k)= k^7-k chia hết cho 7 
+Với n=k+1 thì 
A(k+1)= (k+1)^7-(k+1) 
= k^7 + 7k^6 + 21k^5 + 35k^4 + 35k^3 + 21k^2 + 7k +1 - k -1 
= k^7 - k + 7( k^6 +3k^5 + 5k^4 + 5k^3 +3k^2 +k) 
Do k^7-k chia hết cho 7 
& 7( k^6 +3k^5 + 5k^4 + 5k^3 +3k^2 +k) chia hết cho 7 
Suy ra: A(k+1) chia hết cho 7 
Vậy: n^7 - n chia hết cho 7 
*Chú ý: A(k+1) nghĩ là biểu thức A có biến kà k+1 chứ ko phải là A nhân cho (k+1) nhé, tương tự A(n), A(k) cũng thế. 
Mình đã cố gắng nhưng có thể vẫn còn sai sót mong các bạn thông cảm. Chúc bạn vui vẻ ^^!!