1. Cho các số tự nhiên a,b,c thỏa mãn a²+b²+c²=ab+bc+ca và a+b+c=3. Tính M=a²⁰¹⁶+2015b²⁰¹⁵+2020c

a²+b²+c²=ab+bc+ca

<=> 2( a²+b²+c² ) =2( ab+bc+ca )

<=> 2a² + 2b² + 2c² = 2ab + 2bc + 2ca

<=> 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ca = 0

<=> ( a² - 2ab + b² ) + ( b² - 2bc + c² ) + ( c² - 2ca + a² ) = 0

<=> ( a - b )² + ( b - c )² + ( c - a )² = 0

Dễ chứng minh VT ≥ 0 ∀ a,b,c. Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c

Lại có a+b+c=3 => a=b=c=1

từ đây bạn thế vào tính M nhé :))

2.Cho x>y>0. Chứng minh \(\frac{x-y}{x+y}< \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)

Ta có : \(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}>\frac{x-y}{x+y}\)

<=> \(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}-\frac{x-y}{x+y}>0\)

<=> \(\frac{\left(x^2-y^2\right)\left(x+y\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}-\frac{\left(x^2+y^2\right)\left(x-y\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}>0\)

<=> \(\frac{x^3+x^2y-xy^2-y^3}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}-\frac{x^3-x^2y+xy^2-y^3}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}>0\)

<=> \(\frac{x^3+x^2y-xy^2-y^3-x^3+x^2y-xy^2+y^3}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}>0\)

<=> \(\frac{2x^2y-2xy^2}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}>0\)

<=> \(\frac{2xy\left(x-y\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}>0\)( đúng vì x > y > 0 )

=> đpcm 

\(A< \frac{1}{4.5}+\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+....+\frac{1}{99.100}\)

\(A< \frac{1}{4}-\frac{1}{100}\)

\(A< \frac{6}{25}< \frac{1}{4}\)

các bạn giải mau lên

ai trả lời không mình sắp đi học rồi

A=1+3+3^2+3^3+...+3^2016

=>A=3(1+3+3^2+3^3+...+3^2016)

=>3A=3+3^2+3^3+...+3^2017

=>3A-A=(3+3^2+3^3+...+3^2017)-(1+3+3^2+3^3+...+3^2016)

=>2A=3^2017-1

=>A=(3^2017-1):2

=>B-A=(3^2017-1):2-3^2015:2=(3^2017-3^2015-1)/2