Gọi D là giao của BI và AC. kẻ CH vuông góc với BI căt AB tại K   ; H thuộc BI

=> Tam giác ADB đồng dạng với HDC (góc ADB = HDC do đối đỉnh; góc BAD = CHD = 90^o)

=> góc ABD = HCD 

Mà  ABD = góc ABC / 2 => Góc HCD = góc ABC / 2

Ta có: Góc HCI = Góc HCD + DCI = ABC / 2 + ACB /2 = (ABC + ACB)/ 2 = 90^o/2 = 45^o (góc ABC + ACB = 90^o do tam giác ABC vuông tại A)

Ta có Tam giác HCI vuông tại H; góc HCI = 45^o => tam giác HCI cân tại H => IH = HC

Áp dung ĐL Pi ta go trong tam giác HIC có: 2.IH² = CI² = 10 => IH = HC = \(\sqrt{5}\)

=> BH = BI + IH = 2.\(\sqrt{5}\) 

Áp dụng ĐL Pi ta go trong tam giác vuông BHC có: BC = \(\sqrt{BH^2+CH^2}=\sqrt{\left(2\sqrt{5}\right)^2+\left(\sqrt{5}\right)^2}=5\)

Kẻ IM; IN lần lượt vuông góc với BC; AB

Áp dụng công  thức tính diện tích tam giác trong tam giác BIC => IB. CH = IM. BC

=> IM = IB. CH : BC = \(\sqrt{5}\). \(\sqrt{5}\) : 5 = 1 cm

+) Tam giác AIN vuông tại N có góc NAI = 45⁰ (do AI là p/g của góc BAC) => tam giác AIN cân tại N => AN = NI 

Mà NI = MI (do NI: MI là khoảng cách t ừ I xuống AB ; BC mà BI là p/ g của góc ABC)

=> AN = IM = 1 cm

Áp dụng ĐL pI ta go trong tam giác vuông IBM có: BM = \(\sqrt{IB^2-IM^2}=\sqrt{5-1}=2\) cm

ta có: BM = BN (do tam giác IBN = IBM)

=> BN = 2 cm

Vậy AB = BN + NA = 2 + 1 = 3 cm

Mình bít AB = 3 rồi đáp án của mình mà bạn phải có lời giải

Kẻ CH vuông góc với BI 

+) Dễ có : tam giác AEB đồng dạng với tam giác HEC (g - g)

=> góc ABE = HCE = góc ABC / 2 (do BI là p/g của góc B  )

+) Ta lại có: góc ECI = 1/2 góc ACB (do CI là p/g của góc ACB  )

=> góc HCI = góc HCE + ECI = 1/2. (ABC + ACB) = 1/2. 90^o = 45^o

Mà tam giác HIC vuông tại H => tam giác HIC vuông cân tại H

=> HC = HI

Áp dụng ĐL pi - ta go ta có: CI² = 2.CH² => CH = \(\sqrt{\frac{10}{2}}=\sqrt{5}\)

=> CH = IH = BI = \(\sqrt{5}\)

=> I là trung điểm của BH

+) Kẻ IM vuông góc với BC ; HK vuông góc với BC

=> IM// HK mà I là trung điểm của BH => M là trung  điểm của BK 

=> IM là đường trung bình của tam giác BHK => IM = 1/2 HK

+) Dễ có : \(\frac{1}{HK^2}=\frac{1}{BH^2}+\frac{1}{CH^2}\); BH = 2\(\sqrt{5}\); CH =  \(\sqrt{5}\)

=> HK = 2 cm

 => IM = 1 cm

Kẻ IN vuông góc với AB

+) Do BI là p/g của góc ABC => IM = IN => BN = BM

- Tính BM : theo ĐL Pi- ta go trong tam giác v IBM 

=> \(BM=\sqrt{BI^2-IM^2}=2\) cm => BN = 2 cm

- Mặt khác tam giác ANI vuông có góc NAI = 45^o

Nên tam giác ANI cân tại N => AN = NI =  IM = 1 cm 

Vậy AB = AN + BN  =  1 + 2 = 3 cm

Hình vẽ thì bỏ qua nha : 

Kẻ CH vg BI , CH giao BA tại D 

Tam giác BCD có BH là p/g vừa là đg cao => tam giác BCD cân 

=> BH cũng là trung tuyến => HC = HD 

HIC = IBC + ICB = 1/2BAC = 1/2 . 90 = 45 độ 

=> tam giác HIC vuông cân tại H 

Áp dụng py ta go :

\(HI^2+HC^2=IC^2=6^2=36=>2HC^2=36=>HC=3\text{ }\sqrt{2}\)

=> DC = 2 HC =\(6\sqrt{2}\)

Đặt AD = x => AD = AB + BD= x + 5 

Tam giác BCD cân tịa B => BC = AD = x + 5 

Tam giác ABC vuông tại A , theo py ta go :

 \(AC^2=BC^2-AB^2=\left(x+5\right)^2-5^2=x^2+10x\)  (1)

Tam giác DCA vuông tại A , theo py ta go : 

\(AC^2=DC^2-AD^2=\left(6\sqrt{2}\right)^2-x^2=72-x^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(x^2+10x=72-x^2\)

giải pt tìm x => BC = x + 5