a, \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{18}}=\sqrt{\frac{2}{18}}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}\)

b, \(\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{735}}=\sqrt{\frac{15}{735}}=\sqrt{\frac{1}{49}}=\frac{1}{7}\)

c, \(\frac{\sqrt{12500}}{\sqrt{500}}=\sqrt{\frac{12500}{500}}=\sqrt{\frac{125}{5}}=\sqrt{25}=5\)

d, \(\frac{\sqrt{6^5}}{\sqrt{2^3.3^5}}=\sqrt{\frac{6^5}{2^3.3^5}}=\sqrt{\frac{2^5.3^5}{2^3.3^5}}=\sqrt{2^2}=2\)

a) căn 2 / căn 18 = 1/3

b) căn 15/ căn 735 = 1/7

c) căn 12500 / căn 500 = 5

d) căn 6^5 / 2^3 * 3^5 = 2

218=218=19=19=13.

15735=15735=149=149=17.

12500500=12500500=25=5.

6523.35=6523.35=25.3523.35=22=2.

a) Ta có: 

+)√25+9=√34+)25+9=34.

+)√25+√9=√52+√32=5+3+)25+9=52+32=5+3

=8=√82=√64=8=82=64.

Vì 34<6434<64 nên √34<√6434<64

Vậy √25+9<√25+√925+9<25+9

b) Với a>0,b>0a>0,b>0, ta có

+)(√a+b)2=a+b+)(a+b)2=a+b.

+)(√a+√b)2=(√a)2+2√a.√b+(√b)2+)(a+b)2=(a)2+2a.b+(b)2

 =a+2√ab+b=a+2ab+b

 =(a+b)+2√ab=(a+b)+2ab. 

Vì a>0, b>0a>0, b>0 nên √ab>0⇔2√ab>0ab>0⇔2ab>0

⇔(a+b)+2√ab>a+b⇔(a+b)+2ab>a+b

⇔(√a+√b)2>(√a+b)2⇔(a+b)2>(a+b)2

⇔√a+√b>√a+b⇔a+b>a+b (đpcm)

a, Ta có : \(\sqrt{25+9}=\sqrt{34}\)

\(\sqrt{25}+\sqrt{9}=5+3=8=\sqrt{64}\)

mà 34 < 64 hay \(\sqrt{25+9}< \sqrt{25}+\sqrt{9}\)

b, \(\sqrt{a+b}< \sqrt{a}+\sqrt{b}\)

bình phương 2 vế ta được : \(a+b< a+2\sqrt{ab}+b\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{ab}>0\)vì \(a;b>0\)nên đẳng thức này luôn đúng )

Vậy ta có đpcm 

a) \(\sqrt{25+9}=\sqrt{34}\)

\(\sqrt{25}+\sqrt{9}=5+3=8=\sqrt{64}\)

=> \(\sqrt{25+9}< \sqrt{25}+\sqrt{9}\)

b) Vì a,b > 0, bình phương hai vế ta có :

a + b < a + 2√ab + b

<=> -2√ab < 0 <=> 2√ab > 0 ( đúng vì a,b > 0 )

=> đpcm

a, Ta có  \(\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3\)

\(\sqrt{25}-\sqrt{16}=5-4=1\)

Do 3 > 1 nên \(\sqrt{25-16}>\sqrt{25}-\sqrt{16}\)

a) căn 25 - 16  > căn 25 - căn 16

 

b)Với $a>b>0$ nên  \sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{a-b}a​,b​,− đều xác định

 

Để so sánh \sqrt{a}-\sqrt{b}a​−b​ và $-$ ta quy về so sánh \sqrt{a}a​ và \sqrt{a-b}+\sqrt{b}−+b​.

 

+) (\sqrt{a})^2=a(a​)2=a.

                                       

+) (\sqrt{a-b}+\sqrt{b})^2=(\sqrt{a-b})^2+2\sqrt{a-b}.\sqrt{b}+(\sqrt{b})^2=a-b+b+2\sqrt{a-b}.\sqrt{b}=a+2\sqrt{a-b}.\sqrt{b}(−+b​)2=(−)2+2−.b​+(b​)2=a−b+b+2−.b​=a+2−

.b​.

Do $a>b>0$ nên 2\sqrt{a-b}.\sqrt{b}>02−.b​>0

 

 

$\Rightarrow$ a+2\sqrt{a-b}.\sqrt{b}>aa+2−.b​>a

 

$\Rightarrow$ (\sqrt{a-b}+\sqrt{b})^2>(\sqrt{a})^2(−+b​)2>(a​)2

 

Do \sqrt{a},\sqrt{a-b}+\sqrt{b}>0a​,−+b​>0 

 

$\Rightarrow$ \sqrt{a-b}+\sqrt{b}>\sqrt{a}−+b​>a​

 

$\iff$ \sqrt{a-b}>\sqrt{a}-\sqrt{b}−>a​−b​ (đpcm)

 

Vậy \sqrt{a-b}>\sqrt{a}-\sqrt{b}−>a​−b​.

a) +) $\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$.

    +) $\sqrt{25}-\sqrt{16}=5-4=1$.

Vì $3>1$ nên $\sqrt{25-16}>\sqrt{25}-\sqrt{16}$.

Vậy $\sqrt{25-16}>\sqrt{25}-\sqrt{16}$.

b) Với $a>b>0$ nên $\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{a-b}$ đều xác định. 

Để so sánh $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ và $\sqrt{a-b}$ ta quy về so sánh $\sqrt{a}$ và $\sqrt{a-b}+\sqrt{b}$.

+) $(\sqrt{a}{)}^2=a$.

+) $(\sqrt{a-b}+\sqrt{b}{)}^2=(\sqrt{a-b}{)}^2+2\sqrt{a-b}.\sqrt{b}+(\sqrt{b}{)}^2=a-b+b+2\sqrt{a-b}.\sqrt{b}=a+2\sqrt{a-b}.\sqrt{b}$.

Do $a>b>0$ nên $2\sqrt{a-b}.\sqrt{b}>0$

$\Rightarrow$ $a+2\sqrt{a-b}.\sqrt{b}>a$

$\Rightarrow$ $(\sqrt{a-b}+\sqrt{b}{)}^2>(\sqrt{a}{)}^2$

Do $\sqrt{a},\sqrt{a-b}+\sqrt{b}>0$ 

$\Rightarrow$ $\sqrt{a-b}+\sqrt{b}>\sqrt{a}$

$\iff$ $\sqrt{a-b}>\sqrt{a}-\sqrt{b}$ (đpcm)

Vậy $\sqrt{a-b}>\sqrt{a}-\sqrt{b}$.

a, \(\sqrt{\left(2x-1\right)^2}=3\Leftrightarrow\left|2x-1\right|=3\)

Với \(x\ge\frac{1}{2}\)pt có dạng : \(2x-1=3\Leftrightarrow x=2\)( tm )

Với \(x< \frac{1}{2}\)pt có dạng : \(-2x+1=3\Leftrightarrow x=-1\)( tm ) 

Vậy tập nghiệm của pt là S = { -1 ; 2 } 

b, \(\frac{5}{3}\sqrt{15x}-\sqrt{15x}-2=\frac{1}{3}\sqrt{15x}\)ĐK : \(x\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}\sqrt{15x}-2=\frac{1}{3}\sqrt{15x}\Leftrightarrow\frac{1}{3}\sqrt{15x}=2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{15x}=6\)bình phương 2 vế : \(\Leftrightarrow15x=36\Leftrightarrow x=\frac{36}{15}=\frac{12}{5}\)( tm ) 

Vậy tập nghiệm của pt là S = { 12/5 } 

) √ ( 2 x − 1 ) 2 = 3 ⇒ | 2 x − 1 | = 3 ⇔ 2 x − 1 = ± 3 +) TH1: 2 x − 1 = 3 ⇒ 2 x = 4 ⇒ x = 2 +) TH2: 2 x − 1 = − 3 ⇒ 2 x = − 2 ⇒ x = − 1 Vậy x = − 1 ; x = 2 . b) Điều kiện: x ≥ 0 5 3 √ 15 x − √ 15 x − 2 = 1 3 √ 15 x ⇔ 5 3 √ 15 x − √ 15 x − 1 3 √ 15 x = 2 ⇔ ( 5 3 − 1 − 1 3 ) √ 15 x = 2 ⇔ 1 3 √ 15 x = 2 ⇔ √ 15 x = 6 ⇔ 15 x = 36 ⇔ x = 12 5 Vậy x = 12 5 .

a) \sqrt{(2x-1)^{2}}=3(2x−1)2​=3

$\Rightarrow$ $|2x-1|=3$

$\iff$ $2x-1=\pm 3$

+) TH1: $2x-1=3$

$\Rightarrow$ $2x=4$

$\Rightarrow$ $x=2$
+) TH2: $2x-1=-3$

$\Rightarrow$ $2x=-2$
$\Rightarrow$ $x=-1$
Vậy  $x=-1$ ; $x=2$ .
b) Điều kiện: $x\ge 0$

\dfrac{5}{3} \sqrt{15 x}-\sqrt{15x}-2=\dfrac{1}{3} \sqrt{15 x}35​15x​−15x​−2=31​15x​

$\iff$ \dfrac{5}{3} \sqrt{15 x}-\sqrt{15 x}-\dfrac{1}{3} \sqrt{15 x}=235​15x​−15x​−31​15x​=2

$\iff$ \left(\dfrac{5}{3}-1-\dfrac{1}{3}\right) \sqrt{15} x=2(35​−1−31​)15​x=2

$\iff$ \dfrac{1}{3} \sqrt{15 x}=231​15x​=2

$\iff$ \sqrt{15 x}=615x​=6

$\iff$ $15x=36$

$\iff$ x=\dfrac{12}{5}x=512​

Vậy x=\dfrac{12}{5}x=512​ .

Rút gọn các biểu thức sau với x≥0x≥0:

a) 2\(\sqrt{3x}\)-4\(\sqrt{3x}\)+27-3\(\sqrt{3x}\)=27-5\(\sqrt{3x}\)

b)3\(\sqrt{2x}\)-5\(\sqrt{8x}\)+7\(\sqrt{18x}\)+28

=3\(\sqrt{2x}\)-10\(\sqrt{2x}\)+21\(\sqrt{2x}\)+28

=14\(\sqrt{2x}\)+28=14(\(\sqrt{2x}\)+2)

a) \(2\sqrt{3x}-4\sqrt{3x}+27-3\sqrt{3x}\)

\(=\left(2\sqrt{3x}-4\sqrt{3x}-3\sqrt{3x}\right)+27\)

\(=-5\sqrt{3x}+27\)

b) \(3\sqrt{2x}-5\sqrt{8x}+7\sqrt{18x}+28\)

\(=3\sqrt{2x}-5\sqrt{4.2x}+7\sqrt{9.2x}+28\)

\(=3\sqrt{2x}-5\sqrt{2^2.2x}+7\sqrt{3^2.2x}+28\)

\(=3\sqrt{2x}-5.2\sqrt{2x}+7.3\sqrt{2x}+28\)

\(=\left(3\sqrt{2x}-5.2\sqrt{2x}+7.3\sqrt{2x}\right)+28\)

\(=\left(3-10+21\right)\sqrt{2x}+28\)

\(=14\sqrt{2x}+28\)

Rút gọn ta được:

M=√a−1/√a

Viết M ở dạng M=1−1/√a

suy ra M<1

Với \(x>0;x\ne1\)

\(M=\left(\frac{1}{a-\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a}-1}\right):\frac{\sqrt{a}+1}{a-2\sqrt{a}+1}\)

\(=\left(\frac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}+\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}\right):\frac{\sqrt{a}+1}{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}\)

\(=\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}.\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{\sqrt{a}+1}=\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}}\)

\(=1-\frac{1}{\sqrt{a}}< 1\)hay M < 1 

M = 1 - 1/√a < 1

(do xy > 0 (gt) nên đưa thừa số xy vào trong căn để khử mẫu)

#Học tốt!!!

\(ab\cdot\sqrt{\dfrac{a}{b}}=a\cdot\sqrt{ab}\)

\(\dfrac{a}{b}\cdot\sqrt{\dfrac{b}{a}}=\dfrac{\sqrt{a\cdot b}}{b}\)

\(\sqrt{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b^2}}=\dfrac{\sqrt{b+1}}{b}\)

\(\sqrt{\dfrac{9\cdot a^3}{36\cdot b}}=\dfrac{\sqrt{a^3\cdot b}}{2\cdot b}\)

\(3\cdot x\cdot y\cdot\sqrt{\dfrac{2}{x\cdot y}}=3\cdot\sqrt{2\cdot x\cdot y}\)

\(a\cdot b\cdot\sqrt{\dfrac{a}{b}}=a\cdot\sqrt{a\cdot b}\)

\(\dfrac{a}{b}\cdot\sqrt{\dfrac{b}{a}}=\dfrac{\sqrt{a\cdot b}}{b}\)

\(\sqrt{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b^2}}=\dfrac{\sqrt{b+1}}{b}\)

\(\sqrt{\dfrac{9\cdot a^3}{36\cdot b}}=\dfrac{\sqrt{a^3\cdot b}}{2\cdot b}\)

\(3\cdot x\cdot y\cdot\sqrt{\dfrac{2}{x\cdot y}}=3\cdot\sqrt{2\cdot x\cdot y}\)

a) √ − 9 a − √ 9 + 12 a + 4 a 2 = √ − 9 a − √ 3 2 + 2.3 .2 a + ( 2 a ) 2 = √ 3 2 ⋅ ( − a ) − √ ( 3 + 2 a ) 2 = 3 √ − a − | 3 + 2 a | Thay a = − 9 ta được: 3 √ 9 − | 3 + 2 ⋅ ( − 9 ) | = 3.3 − 15 = − 6 . b) Điều kiện: m ≠ 2 1 + 3 m m − 2 √ m 2 − 4 m + 4 = 1 + 3 m m − 2 √ m 2 − 2.2 ⋅ m + 2 2 = 1 + 3 m m − 2 √ ( m − 2 ) 2 = 1 + 3 m | m − 2 | m − 2 +) m > 2 , ta được: 1 + 3 m m − 2 √ m 2 − 4 m + 4 = 1 + 3 m . ( 1 ) +) m < 2 , ta được: 1 + 3 m m − 2 √ m 2 − 4 m + 4 = 1 − 3 m . ( 2 ) Với m = 1 , 5 < 2 . Thay vào biểu thức ( 2 ) ta có: 1 − 3 m = 1 − 3.1 , 5 = − 3 , 5 Vậy giá trị biểu thức tại m = 1 , 5 là − 3 , 5 . c) √ 1 − 10 a + 25 a 2 − 4 a = √ 1 − 2.1 .5 a + ( 5 a ) 2 − 4 a = √ ( 1 − 5 a ) 2 − 4 a = | 1 − 5 a | − 4 a +) Với a < 1 5 , ta được: 1 − 5 a − 4 a = 1 − 9 a . ( 3 ) +) Với a ≥ 1 5 , ta được: 5 a − 1 − 4 a = a − 1 . ( 4 ) Vì a = √ 2 > 1 5 . Thay vào biểu thức ( 4 ) ta có: a − 1 = √ 2 − 1 . Vậy giá trị của biểu thức tại a = √ 2 là √ 2 − 1 . d) 4 x − √ 9 x 2 + 6 x + 1 = 4 x − √ ( 3 x ) 2 + 2.3 x + 1 = 4 x − √ ( 3 x + 1 ) 2 = 4 x − | 3 x + 1 | +) Với 3 x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ − 1 3 , ta có: 4 x − ( 3 x + 1 ) = 4 x − 3 x − 1 = x − 1 . ( 5 ) +) Với 3 x + 1 < 0 ⇔ x < − 1 3 , ta có: 4 x + ( 3 x + 1 ) = 4 x + 3 x + 1 = 7 x + 1 . ( 6 ) Vì x = − √ 3 < − 1 3 . Thay vào biểu thức ( 6 ) , ta có: 7 x + 1 = 7 . ( − √ 3 ) + 1 = − 7 √ 3 + 1 . Giá trị của biểu thức tại x = − √ 3 là − 7 √ 3 + 1

a) \sqrt{-9a}-\sqrt{9+12 a+4 a^{2}}−9a​−9+12a+4a2​

=\sqrt{-9 a}-\sqrt{3^{2}+2.3 .2 a+(2 a)^{2}}=−9a​−32+2.3.2a+(2a)2​

=\sqrt{3^{2} \cdot(-a)}-\sqrt{(3+2 a)^{2}}=32⋅(−a)​−(3+2a)2​

=3 \sqrt{-a}-|3+2 a|=3−a​−∣3+2a∣

Thay $a=-9$ ta được:

3 \sqrt{9}-|3+2 \cdot(-9)|=3.3-15=-639​−∣3+2⋅(−9)∣=3.3−15=−6.

b) Điều kiện: $m\ne 2$

1+\dfrac{3 m}{m-2} \sqrt{m^{2}-4 m+4}1+m−23m​m2−4m+4​

=1+\dfrac{3 m}{m-2} \sqrt{m^{2}-2.2 \cdot m+2^{2}}=1+m−23m​m2−2.2⋅m+22​

=1+\dfrac{3 m}{m-2} \sqrt{(m-2)^{2}}=1+m−23m​(m−2)2​

=1+\dfrac{3 m|m-2|}{m-2}=1+m−23m∣m−2∣​

+) $m>2$, ta được: 1+\dfrac{3 m}{m-2} \sqrt{m^{2}-4 m+4}=1+3 m1+m−23m​m2−4m+4​=1+3m. $(1)$

+) $m<2$, ta được: 1+\dfrac{3 m}{m-2} \sqrt{m^{2}-4 m+4}=1-3 m1+m−23m​m2−4m+4​=1−3m. $(2)$

Với $m=1,5<2$. Thay vào biểu thức $(2)$ ta có: $1-3m=1-3.1,5=-3,5$

Vậy giá trị biểu thức tại $m=1,5$ là $-3,5$.

c) \sqrt{1-10 a+25 a^{2}}-4a1−10a+25a2​−4a

=\sqrt{1-2.1 .5 a+(5 a)^{2}}-4 a=1−2.1.5a+(5a)2​−4a

=\sqrt{(1-5a)^{2}}-4 a=(1−5a)2​−4a

$=|1-5a|-4a$

+) Với a <\dfrac{1}{5}a<51​, ta được: $1-5a-4a=1-9a$. $(3)$

+) Với a \ge \dfrac{1}{5}a≥51​, ta được: $5a-1-4a=a-1$. $(4)$

Vì a=\sqrt{2}>\dfrac{1}{5}a=2​>51​. Thay vào biểu thức $(4)$ ta có: a-1=\sqrt{2}-1a−1=2​−1.

Vậy giá trị của biểu thức tại a=\sqrt{2}a=2​ là \sqrt{2}-12​−1.

d) 4 x-\sqrt{9 x^{2}+6 x+1}4x−9x2+6x+1​

=4 x-\sqrt{(3 x)^{2}+2.3 x+1}=4 x-\sqrt{(3 x+1)^{2}}=4x−(3x)2+2.3x+1​=4x−(3x+1)2​

$=4x-|3x+1|$

+) Với $3x+1\ge 0$ $\iff$ x \ge -\dfrac{1}{3}x≥−31​, ta có: $4x-(3x+1)=4x-3x-1=x-1$. $(5)$

+) Với $3x+1<0$ $\iff$ x <-\dfrac{1}{3}x<−31​, ta có: $4x+(3x+1)=4x+3x+1=7x+1$. $(6)$

Vì x=-\sqrt{3}<-\dfrac{1}{3}x=−3​<−31​. Thay vào biểu thức $(6)$, ta có: 7 x+1=7 .(-\sqrt{3})+1=-7 \sqrt{3}+17x+1=7 .(−3​)+1=−73​+1.

Giá trị của biểu thức tại x=-\sqrt{3}x=−3​ là -7 \sqrt{3}+1−73​+1.

a) \(\sqrt{-9a}-\sqrt{9+12a+4a^2}=\sqrt{-9a}-\sqrt{\left(2a+3\right)^2}=\sqrt{-9a}-2a-3=\sqrt{\left(-9\right)^2}+18-3=9+18-3=24\)

b) \(1+\dfrac{3m}{m-2}\sqrt{m^2-4m+4}=1+\dfrac{3m}{m-2}.\left(m-2\right)=3m+1=3.1,5+1=5,5\)

c) \(\sqrt{1-10a+25a^2}-4a=\sqrt{\left(5a-1\right)^2}-4a=5a-1-4a=a-1=\sqrt{2}-1\)

d) \(4x-\sqrt{9x^2+6x+1}=4x-\sqrt{\left(3x+1\right)^2}=4x-3x-1=x-1=-\sqrt{3}-1\)

+ Ta có:

2√6−√5=2(√6+√5)(√6−√5)(√6+√5)26−5=2(6+5)(6−5)(6+5)

                   =2(√6+√5)(√6)2−(√5)2=2(√6+√5)6−5=2(6+5)(6)2−(5)2=2(6+5)6−5

                   =2(√6+√5)1=2(√6+√5)=2(6+5)1=2(6+5).

+ Ta có:

3√10+√7=3(√10−√7)(√10+√7)(√10−√7)310+7=3(10−7)(10+7)(10−7)

                    =3(√10−√7)(√10)2−(√7)2=3(10−7)(10)2−(7)2=3(√10−√7)10−7=3(10−7)10−7

                    =3(√10−√7)3=√10−√7=3(10−7)3=10−7.

+ Ta có:

1√x−√y=1.(√x+√y)(√x−√y)(√x+√y)1x−y=1.(x+y)(x−y)(x+y)

=√x+√y(√x)2−(√y)2=√x+√yx−y=x+y(x)2−(y)2=x+yx−y

+ Ta có:

2ab√a−√b=2ab(√a+√b)(√a−√b)(√a+√b)2aba−b=2ab(a+b)(a−b)(a+b)

=2ab(√a+√b)(√a)2−(√b)2=2ab(√a+√b)a−b=2ab(a+b)(a)2−(b)2=2ab(a+b)a−b.

\(\frac{2}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}=\frac{2\left(\sqrt{6}+\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{6}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{6}+\sqrt{5}\right)}=\frac{2\left(\sqrt{6}+\sqrt{5}\right)}{6-5}=2\left(\sqrt{6}+\sqrt{5}\right)\)

\(\frac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}}=\frac{3\left(\sqrt{10}-\sqrt{7}\right)}{\left(\sqrt{10}-\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{10}+\sqrt{7}\right)}=\frac{3\left(\sqrt{10}-\sqrt{7}\right)}{10-7}=\sqrt{10}-\sqrt{7}\)

\(\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-y}\)

\(\frac{2ab}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{2ab\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{a-b}\)

33+1=3(3−1)(3+1)(3−1)=3(3−1)3−1=3(3−1)2.

23−1=2(3+1)(3−1)(3+1)=2(3+1)3−1=3+

2+32−3=(2+3)(2+3)(2−3)(2

b3+b=b(3−b)(3+b)(3−b)=b(3−b)32−(b)2=b(3−b)9−b.

p2.p−1=p(2.p+1)(2.p−1)(2.p+