gọi giao điểm của AB vs DH là N; giao điểm của AC vs EH là M

xét tam giác DIN và tam giác HIN = nhau(c.g.c) suy ra IN hay IB là phân giác góc DIH

xét tam giác MKH và tam giác MKE = nhau (c.g.c) suy ra kc là phân giác góc MKE

ta lại có HA là phân giác góc HIK( NA,MA là phân giác góc ngoài)

mà góc AHC=90 độ(gt) suy ra HC là phân giác góc ngoài tam giác HIK tại đỉnh H

mà KC là phân giác góc ngoài tam giác HIK tại đỉnh K

suy ra IC là phân giác góc KIH

mà IB là phân giác góc DIH

góc KIH + góc DIH=180 độ( kề bù) suy ra góc BIC=90 độ

suy ra góc AIC=90 độ

góc AKB cm tương tự = 90 độ

tuy mk ko biết chắc cách giải nhưng mk chắc bạn Đức làm sai rồi!

$\large\Delta{ADB} = \large\Delta{AEC} (c.g.c)$ (bạn tự chứng minh 2 tam giác này bằng nhau nhé!) 
\Rightarrow $\widehat{BAD} = \widehat{EAC}$ (cặp góc tương ứng) (1) 
Trên tia đối của tia DA lấy O sao cho DA = DO. 
\Rightarrow $\large\Delta{ADE} = \large\Delta{ODB}$ (tự CMinh)
\Rightarrow $\hat{BOD} = \hat{DAE}$ (cặp góc tương ứng) ; AE = BO (cặp cạnh tương ứng) 
Ta có : 
$\hat{AEC} > \hat{ABE}$ (vì $\hat{AEC}$ là góc ngoài tại đỉnh E của tam giác AEB) 
\Rightarrow $\hat{AEC} > \hat{ACE}$ (vì $\hat{ABC} = \hat{ACB}$ do tam giác ABC cân tại A) 
\Rightarrow AC > AE (Quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác) 
\Rightarrow AB > BO 
\Rightarrow $\hat{BOD} > \hat{BAD}$ (quan hẹ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác) 
\Rightarrow $\hat{DAE} > \hat{BAD}$ (2) 
Từ (1) và (2) \Rightarrow đpcm

Vì BC có độ dài lớn nhất nên đề bài tương đương với: \(\sqrt[3]{BD^2}+\sqrt[3]{EC^2}=\sqrt[3]{BC^2}\)(Định lí Pythagoras đảo)

Lập phương 2 vế: \(BD^2+EC^2+3\sqrt[3]{\left(BD.EC\right)^2}\left(\sqrt[3]{BD^2}+\sqrt[3]{EC^2}\right)=BC^2\)

Ôn lại các hệ thức lượng cho tam giác vuông vì sắp tới mình sẽ dùng 1 chuỗi hệ thức đấy:

+Tam giác AHD vuông tại H, đường cao DH: \(AH^2=AD.AB,BH^2=BD.BA\)

+Tam giác AHC vuông tại H, đường cao EH: \(AH^2=AC.AE,CH^2=CA.CE\)

+Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH: \(AH^2=HB.HC,AH.BC=AB.AC,BC^2=AB^2+AC^2\)

$ ADHE là hình chữ nhật nên AD=HE

$ Tam giác AHE vuông tại H nên \(AH^2=AE^2+HE^2\)

Ok, giờ triển thoi: \(BD^2+EC^2+3\sqrt[3]{\left(BD.EC\right)^2}\left(\sqrt[3]{BD^2}+\sqrt[3]{EC^2}\right)=BC^2\)

\(\Leftrightarrow\left(AB-AD\right)^2+\left(AC-AE\right)^2+3\sqrt[3]{\left(BD.CE\right)^2}.\sqrt[3]{BC^2}=BC^2\)

\(\Leftrightarrow\left(AB^2+AC^2\right)+\left(AD^2+AE^2\right)-2\left(AB.AD+AC.AE\right)+3\sqrt[3]{\left(BD.CE.BC\right)^2}=BC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2+\left(AE^2+HE^2\right)-2\left(AH^2+AH^2\right)+3\sqrt[3]{\left(BD.CE.BC\right)^2}=BC^2\)

\(\Leftrightarrow AH^2-4AH^2-3\sqrt[3]{\left(BD.CE.BC\right)^2}=0\)

\(\Leftrightarrow3\sqrt[3]{\left(BD.CE.BC\right)^2}=3AH^2\)

\(\Leftrightarrow BD.CE.BC=AH^3\)

\(\Leftrightarrow BD.CE.BC.AH=AH^4\)

\(\Leftrightarrow\left(BD.BA\right)\left(CE.CA\right)=AH^4\)

\(\Leftrightarrow BH^2.CH^2=AH^4\Leftrightarrow BH.CH=AH^2\)---> Luôn đúng

Vậy giả thiết đúng.

(Bài dài giải mệt vler !!)