Bài 2:

\(\frac{1}{\sqrt[3]{81}}\cdot P=\frac{1}{\sqrt[3]{9\cdot9\cdot\left(a+2b\right)}}+\frac{1}{\sqrt[3]{9\cdot9\cdot\left(b+2c\right)}}+\frac{1}{\sqrt[3]{9\cdot9\cdot\left(c+2a\right)}}\)

\(\ge\frac{3}{a+2b+9+9}+\frac{3}{b+2c+9+9}+\frac{3}{c+2a+9+9}\ge3\left(\frac{9}{3a+3b+3c+54}\right)=\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow P\ge\sqrt[3]{3}\)

Dấu bằng xẩy ra khi a=b=c=3

Bài 1: 

 \(ab+bc+ca=5abc\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=5\)

Theo bđt côsi-shaw ta luôn có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}+\frac{1}{k}\ge\frac{25}{x+y+z+t+k}\)(x=y=z=t=k>0 ) (*)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z+t+k\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}+\frac{1}{k}\right)\ge25\)

Áp dụng bđt AM-GM ta có:

 \(\hept{\begin{cases}x+y+z+t+k\ge5\sqrt[5]{xyztk}\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}+\frac{1}{k}\ge5\sqrt[5]{\frac{1}{xyztk}}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(x+y+z+t+k\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}+\frac{1}{k}\right)\ge25\)

\(\Rightarrow\)(*) luôn đúng

Từ (*) \(\Rightarrow\frac{1}{25}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}+\frac{1}{k}\right)\le\frac{1}{x+y+z+t+k}\)

Ta có: \(P=\frac{1}{2a+2b+c}+\frac{1}{a+2b+2c}+\frac{1}{2a+b+2c}\)

Mà \(\frac{1}{2a+2b+c}=\frac{1}{a+a+b+b+c}\le\frac{1}{25}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\frac{1}{a+2b+2c}=\frac{1}{a+b+b+c+c}\le\frac{1}{25}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\frac{1}{2a+b+2c}=\frac{1}{a+a+b+c+c}\le\frac{1}{25}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Rightarrow P\le\frac{1}{25}\left[5.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\right]=1\)

\(\Rightarrow P\le1\left(đpcm\right)\)Dấu"="xảy ra khi a=b=c\(=\frac{3}{5}\)

https://olm.vn/thanhvien/ankhunge

Làm sai rồi ạ

Đặt S=x+y, P=x.y
Ta có:S=2a-1, x^2+y^2=S^2-2P=a^2+2a-3
\Rightarrow P=\frac{1}{2}[(2a-1)^2-(a^2+2a-3)]=\frac{1}{2}(3a^2-6a+4)
Trước hết tìm a để hệ có nghiệm.
Điều kiện để hệ có nghiệm:S^2-4P \geq 0 \Leftrightarrow (2a-1)^2-2(3a^2-6a+4)\geq 0
\Leftrightarrow -2a^2+8a-7 \geq 0 \leftrightarrow 2-\frac{\sqrt{2}}{2} \leq a \leq 2+\frac{\sqrt{2}}{2}      (1)
Tìm a để P=\frac{1}{2}(3a^2-6a+4) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn
        [2-\frac{\sqrt{2}}{2} ;2+\frac{\sqrt{2}}{2}]
Ta có hoành độ đỉnh a_0=\frac{6}{2.3}=1Parabol có bề lõm quay lên do đó \min P=P(2-\frac{\sqrt{2}}{2} )$
Vậy với a=2-\frac{\sqrt{2}}{2}  thì xy đạt giá trị nhỏ nhất.

A\(\ge3\)

You know

A\(\ge\)9

Theo gt \(ab+bc+ca\le abc^{\left(3\right)}\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le1\)

\(\frac{9}{a+b+c}\le1\)

\(a+b+c\ge9^{\left(1\right)}\)

Mặt khác 

\(a^2+b^2+c^2\ge3\left(a+b+c\right)\)

\(a^2+b^2+c^2\ge9\cdot3=27^{\left(2\right)}\)

Vì a,b,c >0, áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:

\(\frac{a^2b}{b+2a}+\frac{b\left(b+2a\right)}{9}\ge2\sqrt{\frac{a^2b}{b+2a}\cdot\frac{b\left(b+2a\right)}{9}}=\frac{2ab}{3}\)

CMTT

\(\frac{b^2c}{c+2b}+\frac{c\left(c+2b\right)}{9}\ge\frac{2bc}{3}\)

\(\frac{c^2a}{a+2c}+\frac{a\left(a+2c\right)}{9}\ge\frac{2ca}{3}\)

Cộng vế với vế a được :

\(A+\frac{a^2+b^2+c^2}{9}+\frac{2\left(ab+bc+ca\right)}{9}\ge\frac{2\left(ab+bc+ca\right)}{3}\)

\(A\ge\frac{4\left(ab+bc+ca\right)}{3}-\frac{a^2+b^2+c^2}{9}^{\left(#\right)}\)

Từ 1,2,3 và # ta có

\(A\ge\frac{4\cdot9}{3}-\frac{27}{9}=9\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=3\)

Vậy...

MIN=1=>a=b=c=1

ta có 

\(\frac{a}{1+2b^3}=\frac{a\left(1+2b^3\right)-2ab^3}{1+2b^3}=a-\frac{2ab^3}{1+2b^3}\)

Vì \(1+2b^3\ge3b^2\left(cosi\right)\)

\(\Rightarrow a-\frac{2ab^3}{a+2b^3}\ge a-\frac{2}{3}ab\)

cmtt ta đc 

P\(\ge a+b+c-\frac{2}{3}\left(ab+bc+ca\right)\)

\(P\ge a+b+c-2\)

mặt khác \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\ge ab+bc+ca\)

\(\Rightarrow a+b+c\ge3\)

\(\Rightarrow P\ge3-2=1\)

Dấu = xảy ra a=b=c=1

ta có : \(a^3+2b^2-4b+3=0\)

\(\Leftrightarrow a^3=-2\left(b-1\right)^2-1\le-1\Rightarrow a^3\le-1\Rightarrow a^2\ge1\) 

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2\ge1\\a^2b^2\ge b^2\end{cases}}\)\(\Rightarrow a^2+a^2b^2-2b\ge1+b^2-2b\Rightarrow\left(b-1\right)^2\le0\)

mà \(\left(b-1\right)^2\)luôn \(\ge0\forall b\in Q\)

dấu ''='' xảy ra <=> \(b-1=0\Rightarrow b=1\)

sau đó em chỉ cần thay b=1 vào pt ban đầu :

rồi => a = ... sau đó lấy a²+b²=...