a, Ta có do: AD=2AB mà AD=2AF nên AF=AB

Mặt khác AF=BE(tự cm) và AB=EF nên AF=BE=AB=EF

suy ra AFEB là hình thoi suy ra \(AE\perp BF\)

b, ABCD là hình bình hành nên \(\widehat{A}=\widehat{C_1}=60^o\)(1)

Mà AF=AB nên \(\Delta AFB\)cân tại A có góc A =60 độ nên tam giác AFB đều suy ra \(\widehat{AFB}=60^o\)

mặt khác AD//BC \(\Rightarrow\widehat{AFB}=\widehat{FBE}=60^o\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra FDCB là hình thang cân.

c, Ta có AB=BM=DC mà BM//DC nên BDCM là hình bình hành

lại có:

BF=AF mà AF=FD nên FD=BF suy ra \(\Delta FDB\)cân tại F \(\Rightarrow\widehat{D_1}=\widehat{B_1}=\frac{180^o-\widehat{BFD}}{2}=30^o\)

(đoạn này làm hơi tắt bạn tự tìm hiểu và triển khai nha)

Mà \(\widehat{D_1}+\widehat{D_2}=\widehat{ADC}=120^o\Rightarrow\widehat{D_2}=90^o\)

(đoạn này làm hơi tắt bạn tự tìm hiểu và triển khai nha)

Hình bình hành BDCM có góc D2=90 độ nên BDCM là hình chữ nhật

Xét hbh ABCD có:

F là trung điểm của AD (gt)

E là trung điểm của BC (gt)

=> EF là đường trung bình của hbh ABCD 

=> AB//EF//DC (t/c đướng trung bình của hbh)

Ta có: hbh ABCD

=> Góc A = Góc C và góc B = góc D( t/c hbh)

Ta có: EF//DC(cmt) => góc AFE = góc ADC ( cặp góc đồng vị)

Mà Góc B = Góc ADC (cmt)

  => Góc B = góc AFE (1)

Ta có: EF//DC(cmt) => Góc BEF = góc BCD (cặp góc đồng vị)

Mà góc A = góc BCD 

  => góc A =góc BEF (2)

Từ (1) và (2)

  => Tứ giác ABEF là hình bình hành (5) ( các cặp góc đối bằng nhau)

Ta có: AD = 2AB hay AB = \(\frac{1}{2}\)AD (3)

 mà AF = \(\frac{1}{2}\)AD(4)

 Từ (3) và (4) => AB = AF (6)

Từ(5) và (6) => tứ giác ABEF là hình thoi ( hbh + 2 cạnh kề bằng nhau)

=> AE vuông góc với BF

Ở CÂU a) bạn có thể cm AB//EF và  AF// BE đề suy ra hbh nha

b) Gói O là giao điểm của AE và BF

Ta có: tứ giác ABEF là hình thoi => BF là tia phân giác của góc B ( t/c hình thoi)

Ta có: góc A = góc BEF (cmt)

Mà góc A = 60 độ (gt) 

=> góc A = góc BEF = 60 độ

Xét tứ giác ABEF có:

 góc BAF + góc ABE + góc BEF + góc AFE = 360 độ

=> 60 độ + góc ABE + 60 độ + góc AFE = 360 độ

=> góc ABE + góc  AFE = 360 độ - 60 độ - 60 độ = 240 độ

Mà góc ABE = góc AFE 

=> góc ABE = góc AFE = \(\frac{240}{2}\)=120 độ

Ta có: BF là tia p/g của góc B => góc ABF = góc EBF = \(\frac{120}{2}\) 60 độ

Vậy góc EBF = góc BEF = 60 độ ( góc A  = góc BEF đã cm ở câu a)

Mà góc BEF = góc BCD ( đã cm ở câu a)

=> góc EBF = góc BCD (7)

Ta có: AD//BC( tứ giác ABCD là hbh)=> FD//BC=> tứ giác FDCB là hình thang (8)

 Từ (7) và (8) => tứ giác FDCB là hinh thang cân

Câu c và d dễ lắm, bạn cố suy nghĩ nha, nhưng mình nói thật bài này rất rất rất dễ luôn đó

c) 

c) Ta có: góc A = góc ABF = 60 độ ( cm ở câu b )

  => AF = FB ( quan hệ giữa góc và cạnh đối diện)

Mà AF = FD ( f là trung điểm của AD)

=> FB = FD

=> tam giác DFB cân tại F

=> góc FBD = góc FDB (9)

Ta có: AD//BC ( cmt)

=> Góc FDB = góc CBD ( cặp góc slt)(10)

Từ (9) và (10) => góc FBD=góc CBD

Mà góc FBD+ góc CBD = 60 độ

=> góc FBD = góc CBD = \(\frac{60}{2}\)= 30 độ

Mà góc FDB = góc FBD

=> góc FDB = 30 độ

d) Ta có: B là trung điểm của AM => A,B,M thẳng hàng

Ta có: B là trung điểm của AM ( M đối xứng với A qua B) => AB = BM

  Mà AB = DC ( tứ giác ABCD là hbh)

DC = BM(11)

Ta có: AB//DC( tứ giác ACD là hbh)

Mà A,B,M thẳng hàng

=> BM//DC (12)

Tứ (11) và (12)

=> tứ giác BMCD là hình bình hành (13)

Ta có: góc ABE = góc AFE = 120 độ (cm ở câu b)

Mà góc ADC bằng 2 góc này

=> góc ADC = 120 độ

Xét góc ADC có:

góc ADB + góc BDC = 120 độ

=> 30 độ + góc BDC = 120 độ

=> góc BDC = 120 độ - 30 độ = 90 độ (14) 

Từ (13) và (14)

=> tứ giác BMCD là hình chữ nhật ( hbh+ 1 góc vuông)

=> E là trung điểm của BC và BC ( t/c hình chữ nhật)

Có  E là trung điểm của MD => 3 điểm D,E,M thẳng hàng

sao cậu gia 60 vậy 

c) Ta có: góc A = góc ABF = 60 độ ( cm ở câu b )

  => AF = FB ( quan hệ giữa góc và cạnh đối diện)

Mà AF = FD ( f là trung điểm của AD)

=> FB = FD => tam giác DFB cân tại F

=> góc FBD = góc FDB (9) Ta có: AD//BC ( cmt)

=> Góc FDB = góc CBD ( cặp góc slt)(10)

Từ (9) và (10) => góc FBD=góc CBD Mà góc FBD+ góc CBD = 60 độ

=> góc FBD = góc CBD =  2 60 = 30 độ Mà góc FDB = góc FBD

=> góc FDB = 30 độ d) Ta có: B là trung điểm của AM => A,B,M thẳng hàng

Ta có: B là trung điểm của AM ( M đối xứng với A qua B)

=> AB = BM   Mà AB = DC ( tứ giác ABCD là hbh) DC = BM(11)

Ta có: AB//DC( tứ giác ACD là hbh)

Mà A,B,M thẳng hàng => BM//DC (12)

Tứ (11) và (12) => tứ giác BMCD là hình bình hành (13

) Ta có: góc ABE = góc AFE = 120 độ (cm ở câu b)

Mà góc ADC bằng 2 góc này => góc ADC = 120 độ

Xét góc ADC có: góc ADB + góc BDC = 120 độ

=> 30 độ + góc BDC = 120 độ

=> góc BDC = 120 độ - 30 độ = 90 độ (14) 

Từ (13) và (14) => tứ giác BMCD là hình chữ nhật ( hbh+ 1 góc vuông)

=> E là trung điểm của BC và BC ( t/c hình chữ nhật) Có  E là trung điểm của MD

=> 3 điểm D,E,M thẳng hàng

NHƯ VẬY NÈ