Theo giả thiết, ta có:

\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow\)  \(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=a^2+b^2+c^2\)

\(\Rightarrow\)  \(2\left(ab+bc+ac\right)=0\)

\(\Rightarrow\)  \(ab+bc+ac=0\)

Vì   \(a,b,c\ne0\)  nên  \(\frac{ab+bc+ac}{abc}=0\), tức là  \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)  \(\left(1\right)\)

Từ  \(\left(1\right)\)  \(\Rightarrow\)  \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=-\frac{1}{c}\)  \(\left(2\right)\)

               \(\Leftrightarrow\)   \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^3=\left(-\frac{1}{c}\right)^3\)

               \(\Leftrightarrow\)  \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+3.\frac{1}{a}.\frac{1}{b}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=-\frac{1}{c^3}\)

               \(\Leftrightarrow\)  \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=-\frac{3}{ab}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)

               \(\Leftrightarrow\)   \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)  (do  \(\left(2\right)\) )

ta có  a+b+c=1/a + 1/b +1/c . vì abc=1 nên a+b+c=abc/a + abc/b + abc/c =bc+ac+ab

 suy ra a+b+c-(bc+ac+ab)=0 .suy ra (abc-1)+(a+b+c)-(bc+ac+ab) =0  (vì abc=1 nên abc-1=0)

nên abc-ab-ac+a-bc+b+c-1=0 =>ab(c-1)-a(c-1)-b(c-1)+(c-1)=0

suy ra (ab-a-b+1)(c-1)=0

 =>(a-1)(b-1)(c-1)=0

=>a=1 hoặc b=1 hoặc c=1 .

mình nghĩ cả buổi sáng đấy nhớ tick cho mình nhé

.

=> (a+b+c)(1/a+b +a/b+c +1/c+a)=2010 . 1/2010 

=>(a+b+c) /(a+b) +(a+b+c)/(b+c) + (a+b+c)/(a+c)=1

=> 1 +c/a+b  + 1 +a/b+c + 1 +b/a+c=1

=>a/b+c +b/a+c +c/a+b =-2

S=\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)

=>S+3=\(\left(\frac{a}{b+c}+1\right)+\left(\frac{b}{c+a}+1\right)+\left(\frac{c}{a+b}+1\right)\)

=>S+3=\(\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}\)

=>S+3=(a+b+c).\(\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\)

Thay a + b + c = 2011 và 1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a) = 1/2010 vào S ta đc:

S+3=2011.1/2010

=>S=2011/2010-3

=>S=\(\frac{-4019}{2010}\)

Vậy S=-4019/2010 với a + b + c = 2011 và 1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a) = 1/2010.

Dễ cực nhưng tiếc rằng ko có thời gian để làm vì dung dt bất tiện lắm nên mik chỉ nói đc cách làm thôi đc ko? Hay là tí nữa cậu lại đăng lại câu này để mik dùng máy tính làm cho nhanh đc ko?

đặt 
x = a + b 
y = b + c 
z = c + a 
=> a = (x+z-y)/2 
b = (x+y-z)/2 
c = (y+z-x)/2 
(x+y+z) = 2(a+b+c) = 4022
thay vào A, ta được: 
A = a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b) 
= (x+z-y)/2y + (x+y-z)/2z + (y+z-x)/2x 
=1/2 . [ (x+z-y)/y + (x+y-z)/z + (y+z-x)/x ] 
= 1/2 [ (x+z)/y + ( x+y)/z + (y+z)/x -3 ] 
= 1/2 [ (4022-y)/y + (4022-z)/z + (4022-x)/x -3 ] 
= 1/2 [ 4022( 1/x + 1/y + 1/z) - 6]] 
xét 1/x + 1/y + 1/z = 1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)=1/10 
=> A = 1/2 .(4022.1/10 -6) 
= 198,1

có thể sai đó nha!!

\(S+3=\left(\frac{a}{b+c}+1\right)+\left(\frac{b}{c+a}+1\right)+\left(\frac{c}{a+b}+1\right)\)

\(=\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\)

\(=2010.\frac{1}{3}=670\)

\(\Rightarrow S=670-3=667\)

1)

a)     A = 2¹ + 2² + … + 2²⁰¹⁰

    = (2¹ + 2²) + (2³ + 2⁴) + … + (2²⁰⁰⁹ + 2²⁰¹⁰)

    = 2(1 + 2) + 2³(1 + 2) + … + 2²⁰⁰⁹(1 + 2)

    = 2.3 + 2³.3 + … + 2²⁰⁰⁹.3

Vì 3 chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3.

  A = 2¹ + 2² + … + 2²⁰¹⁰

     = (2¹ + 2² + 2³) + (2⁴ + 2⁵ + 2⁶) + … + (2²⁰⁰⁸ + 2²⁰⁰⁹ + 2²⁰¹⁰)

     = 2(1 + 2 + 2²) + 2⁴(1 + 2 + 2²) + … + 2²⁰⁰⁸(1 + 2 + 2²)

     = 2.7 + 2⁴.7 + … + 2²⁰⁰⁸.7

Vì 7 chia hết cho 7 nên A chia hết cho 7.

b)   B = 3¹ + 3² + … + 3²⁰¹⁰

          = (3¹ + 3² )+ (3³ + 3⁴) + (3⁵ + 3⁶) + … + (3²⁰⁰⁹ + 3²⁰¹⁰)

          = 3(1 + 3) + 3³(1 + 3) + … + 3²⁰⁰⁹(1 + 3)

          = 3.4+ 3³.4 + … + 3²⁰⁰⁹.4

Vì 4 chia hết cho 4 nên B chia hết cho 4.

B = 3¹ + 3² + … + 3²⁰¹⁰

    = (3¹ + 3² + 3³) + (3⁴ + 3⁵ + 3⁶) + … + (3²⁰⁰⁸ + 3²⁰⁰⁹ + 3²⁰¹⁰)

    = 3(1 + 3 + 3²) + 3⁴(1 + 3 + 3²) + … + 3²⁰⁰⁸(1 + 3 + 3²)

    = 3.13 + 3⁴.13 + … + 3²⁰⁰⁸.13

Vì 13 chia hết cho 13 nên B chia hết cho 13.

c)     C = 5¹ + 5² + … + 5²⁰¹⁰

           = (5¹ + 5² +5³ + 5⁴) + … + (5²⁰⁰⁷ + 5²⁰⁰⁸ + 5²⁰⁰⁹ + 5²⁰¹⁰)

           = 5(1 + 5 + 5² + 5³) + … + 5²⁰⁰⁷(1 + 5 + 5² + 5³)

           = 5.156 + … + 5²⁰⁰⁷.156

Vì 156 chia hết cho 6, 12 nên C chia hết cho 6 và 12.

2) 

a)     Ta có: A = 2⁰ + 2¹ + 2² + … + 2²⁰¹⁰ = 2²⁰¹¹ – 1

     Vậy A = B ( vì đều bằng 2²⁰¹¹ – 1 )

b)    Ta có: A =  2009.2011 = 2009.(2010 + 1) = 2009.2010 + 2009

           B =  2010² = 2010.2010 = (2009 + 1).2010 = 2009.2010 + 2010

Vì ở A và B đều có 2009.2010 mà 2009 < 2010 nên A < B.

c)     Ta có: A = 10³⁰ = 10^3.10 = (10³)¹⁰ = 100¹⁰

            B = 2¹⁰⁰ = 2^10.10 = (2¹⁰)¹⁰  = 1024¹⁰

Vì 100¹⁰ < 1024¹⁰ nên A < B.

d)    Ta có: A = 333⁴⁴⁴ = 333^4.111 = (333⁴)¹¹¹

                B = 444³³³ = 444^3.111 = (444³)¹¹¹

Ta so sánh 333⁴ và 444³

333⁴ = (3.111)⁴ = 3⁴.111⁴ = 81.111.111³

444³ = (4.111)³ = 4³.111³ = 64.111³

Vì 81.111 > 64 => 333⁴ > 444³ => (333⁴)¹¹¹ > (444³)¹¹¹ => A > B.

2)a)     Ta có: A = 2⁰ + 2¹ + 2² + … + 2²⁰¹⁰ = 2²⁰¹¹ – 1

     Vậy A = B ( vì đều bằng 2²⁰¹¹ – 1 )

b)    Ta có: A =  2009.2011 = 2009.(2010 + 1) = 2009.2010 + 2009

           B =  2010² = 2010.2010 = (2009 + 1).2010 = 2009.2010 + 2010

Vì ở A và B đều có 2009.2010 mà 2009 < 2010 nên A < B.

c)     Ta có: A = 10³⁰ = 10^3.10 = (10³)¹⁰ = 100¹⁰

            B = 2¹⁰⁰ = 2^10.10 = (2¹⁰)¹⁰  = 1024¹⁰

Vì 100¹⁰ < 1024¹⁰ nên A < B.

d)    Ta có: A = 333⁴⁴⁴ = 333^4.111 = (333⁴)¹¹¹

                B = 444³³³ = 444^3.111 = (444³)¹¹¹

Ta so sánh 333⁴ và 444³

333⁴ = (3.111)⁴ = 3⁴.111⁴ = 81.111.111³

444³ = (4.111)³ = 4³.111³ = 64.111³

Vì 81.111 > 64 => 333⁴ > 444³ => (333⁴)¹¹¹ > (444³)¹¹¹ => A > B.