a, \(A=1+2+2^2+2^3+...+2^{2005}\)

\(2A=2.\left(1+2+2^2+2^3+...+2^{2005}\right)\)

\(2A=2+2^2+2^3+...+2^{2006}\)

\(A=2A-A=\left(2+2^2+2^3+...+2^{2006}\right)-\left(1+2+2^2+2^3+...+2^{2015}\right)\)

\(A=2^{2006}-1\)

c, Số số hạng của A là : (2005 -  1) + 1 = 2005 (số hạng) 

Nếu nhóm 3 số hạng vào 1 nhóm thì có :  2005 : 3 = 668 nhóm dư 1 số hạng 

Ta có : 

\(A=\left(1+2\right)+\left[\left(2^2+2^3+2^4\right)+\left(2^5+2^6+2^7\right)+...+\left(2^{2003}+2^{2004}+2^{2005}\right)\right]\)

\(A=3+\left[2^2.\left(1+2+2^2\right)+2^5.\left(1+2+2^2\right)+...+2^{2003}.\left(1+2+2^2\right)\right]\)

\(A=3+\left(2^2.7+2^5.7+...+2^{2003}.7\right)\)

\(\Rightarrow A\div7\) dư 3 

d, Làm tương tự c

a,2^0+2^1+2^2+...+2^2005                                                                                                                                                          2A=2^0.2+2^1.2...+2^2005.2                                                                                                                                                        2^1+2^2+...+2^2006                                                                                                                                                                2A=2A-A=>[2^1+2^2...2^2006]-[2^0+2^1+2^2+...2^2005]                                                                                                             A=[2^2006-2^0]:1

tui cần

 gấp nhé

a,3A=3+3^2+3^3+...+3^2020

=>3A-A=(3+3^2+3^2+3^3+...+3^2021)-(1+3+3^2+3^3+...+3^2020)

=>2A=3^2021-1=>A=\(\frac{3^{2021}-1}{2}\)

mình cần câu b và c cơ

a, \(A=1+2+2^2+...+2^n\)

\(\Rightarrow2A=2+2^2+2^3+...+2^{n+1}\)

\(2A-A=\left(2+2^2+2^3+...+2^{n+1}\right)-\left(1+2+2^2+...+2^n\right)\)

\(\Rightarrow A=2^{n+1}-1\)

Mấy phần kiia cần có thêm dữ kiện

mik tính A trước nhé

\(A=1-2+2^2-...-2^{2007}+2^{2008}\)

\(2.A=2-2^2+2^3-...-2^{2008}+2^{2009}\)

\(2.A-A=\left(2-2^2+2^3-..-2^{2008}+2^{2009}\right)\)\(-\left(1-2+2^2-...-2^{2007}+2^{2008}\right)\)

\(A=1-2^{2009}\)

1.

Đặt \(1995^{1995}=a=a_1+a_2+a_3+...+a_n\)

Gọi \(S=a_1^3+a_2^3+...+a_n^3=a_1^3+a_2^3+...+a_n^3-a+a\)

\(S=\left(a_1^3-a_1\right)+\left(a_2^3-a_2\right)+...+\left(a_n^3-a_n\right)+a\)

Vì mỗi dấu ngoặc đều chia hết cho 6 do là tích 3 số tự nhiên liên tiếp

\(\Rightarrow S\) chia 6 dư a

Mà \(1995\equiv3\left(mod6\right)\Rightarrow1995^{1995}\equiv3\left(mod6\right)\)

Vậy S chia 6 dư 3

2.

\(2^{100}=\left(2^{10}\right)^{10}=1024^{10}=\left(B\left(25\right)-1\right)^{10}=B\left(25\right)+1\)

Vì 2¹⁰⁰ chẵn nên 3 chữ số tận cùng của nó chẵn nên có thể là 126; 376; 626; 876

Lại có 2¹⁰⁰ chia hết cho 8 => ba chữ số tận cùng chi hết cho 8

=> Ba CTSC là 376

3.

\(22^{22}+55^{55}=\left(BS7+1\right)^{22}+\left(BS7-1\right)^{55}=BS7+1+BS7-1=BS7⋮7\)

\(3^{1993}=3\cdot\left(3^3\right)^{664}=3\cdot\left(BS7-1\right)^{664}=3\left(BS7+1\right)=BS7+3\) nên chia 7 dư 3

\(1992^{1993}+1994^{1995}=\left(BS7-3\right)^{1993}+\left(BS7-1\right)^{1995}=BS7-3^{1993}+BS7-1=BS7-\left(BS7+3\right)+BS7-1=BS7-4\) chia 7 dư 3

\(3^{2^{1930}}=3^{2860}=3\cdot\left(3^3\right)^{953}=3\cdot\left(BS7-1\right)^{953}=3\left(BS7-1\right)=BS7-3\) chia 7 dư 4

4.

\(2^{1994}=2^2\cdot\left(2^3\right)^{664}=4\left(BS7+1\right)^{664}=4\left(BS7+1\right)=BS7+4\) chia 7 dư 4

\(3^{1998}+5^{1998}=\left(3^3\right)^{666}+\left(5^2\right)^{999}=\left(BS7-1\right)^{666}+\left(BS7-1\right)^{999}=BS7+1+BS7-1=BS7⋮7\)

\(A=1^3+2^3+3^3+...+99^3=\left(1+2+...+99\right)^2=B^2⋮B\)

CM bằng quy nạp (có trên mạng)

a/ A = 4 + 4² + 4³ + ...... + 4⁴⁵ (1)

       nhân 2 vế với 2 ta được

4A = 4² + 4³ + 4⁴ + ......... + 4⁵⁵ (2)

lấy (2) - (1) ta được'

4A - A = 4⁵⁵ - 4 

3A = 4⁵⁵ - 4

​A = ( 4⁵⁵ - 4 ) : 3^​​