Bai 2 : 

                    Ta co :

                            B = [ 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 = 2^6 ] + .... + [ 2^25 +  2^26 + 2^27 + 2^28 +2^29 +2^30 ]

                               = 2[1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 ] +.....+ 2^25[ 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 ]

                             = 2 . 63 +.... + 2^25 . 63

                            = 63 [2 + ..... + 2^25 ] chia het cho 21 

  Vay B chia het cho 21

Bai 1 :

Ta co :

               A = 1/1 + 1/2^2 + 1/3^3 + 1/4^4  + .... + 1?50^2 < 1/1 + 1/1.2 + 1/2.3 + ..... + 1/49.50

                                                                                           =>1 + 1/1 - 1/2 +1/2 -1/3 + .... +1/449 - 1/50

                                                                                           => 1 + 1/1 - 1/50

                                                                                            => 1 + 49/50

                                                                                          => 99/50 < 2

Vay 1 < 2  

bai 1 minh ket luan nham

A < 2

a)  A  =  1 + 2 + 2² + 2³ + ...... + 2³⁹

= (1 + 2 + 2² + 2³) + (2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + 2⁷) + .....+ (2³⁶ + 2³⁷ + 2³⁸ + 2³⁹)

= (1 + 2 + 2² + 2³) + 2⁴(1 + 2 + 2² + 2³) + .......+ 2³⁶(1 + 2 + 2² + 2³)

= 15 (1 + 2⁴ + ...... + 2³⁶ )  \(⋮15\)

Vậy  A là bội của 15

b)   B = 2 + 2² + 2³ + ...... + 2²⁰⁰⁴

= (2 + 2² + 2³ + 2⁴) + (2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸) + ...... + (2²⁰⁰¹ + 2²⁰⁰² + 2²⁰⁰³ + 2²⁰⁰⁴)

= 2(1 + 2 + 2³ + 2⁴) + 2⁵(1 + 2 + 2² + 2³) + ....... + 2²⁰⁰¹(1 + 2 + 2² +2³)

= 15 (2 + 2⁵ + ..... + 2²⁰⁰¹)           \(⋮15\)

Ta thấy B \(⋮2\)(vì các số hạng của B đều chia hết cho 2)

mà  (2; 15) = 1

nên  B \(⋮30\)

c)  Gọi 3 số lẻ liên tiếp là:  2k+1; 2k+3; 2k+5

Ta có:   2k+1 + 2k+3 + 2k+5 = 6k + 9

Ta thấy   6k   chia hết cho 6 nhưng  9 ko chia hết cho 6

nên  6k + 9  ko chia hết cho 6

Vậy tổng của 3 số lẻ liên tiếp ko chia hết cho 6

Ta có \(B=2^1+2^2+2^3+...+2^{30}\)

\(\Rightarrow2B=2^2+2^3+2^4+...+2^{31}\)

\(\Rightarrow B=2B-B=\)\(\left(2^2+2^3+2^4+...+2^{31}\right)-\left(2^1+2^2+2^3+...+2^{30}\right)\)

\(\Leftrightarrow B=2^{31}-2=2\left(2^{30}-1\right)=2\left(8^{10}-1\right)\)

Mà \(8^{10}-1⋮\left(8-1\right)\Leftrightarrow8^{10}-1⋮7\) (1)

Mặt khác \(8^{10}-1=\left(9-1\right)^{10}-1=BS3+1-1=BS3\left(2\right)\)

(1) ; (2) và (7;3) = 1 \(\Rightarrowđpcm\)

Câu 1:

\(A=4+4^2+4^3+.....+4^{2008}\)

\(\Rightarrow4A=4^2+4^3+4^4+...+4^{2009}\)

\(\Rightarrow4A-A=\left(4^2+4^3+4^4+....+4^{2009}\right)-\left(4+4^2+4^3+....+4^{2008}\right)\)

\(\Rightarrow3A=4^{2009}-4\)

\(\Rightarrow A=\frac{4^{2009}-4}{3}\)

Câu 2:

Đặt \(B=A+1=1+4+4^2+4^3+4^4+....+4^{2008}\)

\(=\left(1+4+4^2\right)+\left(4^3+4^4+4^5\right)+...+\left(4^{2006}+4^{2007}+4^{2008}\right)\)

\(=21+4^3\left(1+4+4^2\right)+...+4^{2006}\left(1+4+4^2\right)\)

\(=21+4^3\cdot21+...+4^{2006}\cdot21\)

\(=21\left(1+4^3+...+4^{2006}\right)\)

\(\Rightarrow B⋮21\)

\(\Rightarrow A=B-1\)Không chia hết cho 21

a, \(A=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{50^2}\)

\(A< 1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{49.100}\)

\(A< 1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\)

\(A< 2-\frac{1}{50}\)

\(A< 2\)

b, \(B=2+2^2+2^3+...+2^{30}\)

Ta có :\(B=\left(2+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+...+\left(2^{29}+2^{30}\right)\)

\(B=2\left(1+2\right)+2^3\left(1+2\right)+...+2^{29}\left(1+2\right)\)

\(B=2.3+2^3.3+...+2^{29}.3\)

\(B=3\left(2+2^3+...+2^{29}\right)\)chia hết cho 3(1)

Lại có\(B=\left(2+2^2+2^4\right)+...+\left(2^{28}+2^{29}+2^{30}\right)\)

\(B=2\left(1+2+4\right)+...+2^{28}\left(1+2+4\right)\)

\(B=2.7+...+2^{28}.7\)

\(B=7\left(2+...+2^{29}\right)\) chia hết cho 7 (2) 

Mà (3,7)=1 (3) 

Từ (1)(2)(3) => B chia hết cho 21

PHẠM QUỐC CƯỜNG THANKS NHA

       A=2+2²+2³+...+2³⁰

    2A=    2²+2³+...+2³⁰+2³¹

2A-A=2³¹-1

      A=2³¹-1

a)   A=2³⁰.2-1 \(⋮\)2