Nối A và E lại ta có tam giác BAE cân tại B (vì BE=BA). Ta có góc BAE + góc CAE = góc ABC 
=90 độ. Mặt khác góc CAE + góc AEK = góc EKA = 90 độ => góc BAE = góc AEK. Mà góc BAE = góc BEA (tam giác BAE cân tại B) => góc AEK = góc BEA. Xét tam giác vuông AHE và AKE bằng nhau theo trường hợp cạnh góc vuông (AE chung) góc nhọn kề (góc AEK = góc BEA) => AK = AH (đpcm)

∆AKE vuông tại K => ∠AEK + ∠EAK = 90⁰ => ∠EAK = 90⁰ - ∠EAK (1)

∠BAE + ∠EAK = 90⁰ => ∠BAE = 90⁰ - ∠EAK (2)

Từ (1) ; (2) => ∠AEK = ∠BAE (3)

Vì AB = BE (gt) => ∆ ABE cân tại B => ∠BAE = ∠BEA (theo định lý) (4)

Từ (3) ; (4) => ∠AEK = ∠BEA (5)

Xét ∆AHE và ∆AKE có :

∠AHE = ∠AKE = 90⁰ (gt)

Cạnh AE chung

∠AEK = ∠BEA ( theo (5) )

=> ∆AHE = ∆AKE (CH - GN)

=> AK = AH (cạnh T/Ư) 

Vậy AK = AH

ΔBAEΔBAE có:

BE=AB(gt)BE=AB(gt)

⇒ΔBAE⇒ΔBAE cân tại BB

⇒BAEˆ=BEAˆ⇒BAE^=BEA^(1)(1)

Ta có: BA⊥ACBA⊥AC ( ΔABCΔABC vuông tại AA )

EK⊥AC(gt)EK⊥AC(gt)

Nên: BABA // EKEK

⇒BAEˆ=AEKˆ(2)⇒BAE^=AEK^(2)

Từ (1) và (2) suy ra: BEAˆ=AEKˆBEA^=AEK^

Xét ΔAHEΔAHE và ΔAKEΔAKE có:

Hˆ=Kˆ(=90o)H^=K^(=90o)

BEAˆ=AEKˆ(cmt)BEA^=AEK^(cmt)

ACAC là cạnh huyền chung

⇒ΔAHE=ΔAKE⇒ΔAHE=ΔAKE ( cạnh huyền - góc nhọn )

⇒AH=AK

kẻ EM _|_ AB 

xét tam giác EMB và tam giác AHB có : ^B chung

^EMB = ^AHB = 90

BE = BA (gt)

=> tam giác EMB = tam giác AHB(ch-gn)

=> AH = EM (đn)                (1)

EK _|_ AC (gt)

AB _|_ AC (gt)

=> EK // AB (đl)

=> ^KEA = ^EAM (slt)

xét tam giác AEK và tam giác EAM có : AE chung

^EKA = ^AME = 90

=> tam giác AEK = tam giác EAM (ch-gn)                        (2)

=> AK = EM và (1)

=> AK = AH     

tam giác EMB = tam giác AHB (cmt) => BM = BH (Đn)

BE = BA (Gt)

BH + HE = BE

BM + MA = BA

=> HE = MA

gọi EM cắt AH tại O; xét tam giác EOH và tam giác AOM có : ^EHO = ^AMO = 90

^OEH = ^OAM do tam giác EMB = tam giác AHB (cmt)

=> tam giác OEH = tam giác AOM (cgv-gnk)

=> EH = AM (Đn)

(2) => KE = AM

=> KE = EH

a)  Từ A kẻ đường cao ( hoặc đường trung tuyến  , phân giác) cắt HK tại I 

Xét tam giác AIH và tam giác AIK có :

^A1 = ^A2  ( AI là đường cao của ^A)

AI cạnh chung 

suy ra : tam giác AIH = tam giác AIK( Cạnh góc vuông - Góc nhọn)

suy ra : AK = AH ( 2 cạnh tương ứng )

chú ý : ^ là góc , ngoài ra có thể chứng minh theo trường hợp khác như g-c-g