Xét 3 số tự nhiên liên tiếp \(2005^n,2005^n+1,2005^n+2\) luôn có ít nhất 1 số chia hết cho 3

Mà:\(2005\equiv1\)(mod 3)

 \(\Rightarrow2005^n\equiv1^n=1\)(mod 3)

\(\Rightarrow2005^n\) không chia hết cho 3

Nên trong 2 số  \(2005^n+1,2005^n+2\) luôn có 1 số chia hết cho 3

\(\Rightarrow\left(2005^n+1\right)\left(2005^n+2\right)⋮3\)

Xét \(n=2k\left(k\in N\right)\)Ta có :

\(\left(2005^n+1\right)\left(2005^n+2\right)=\left(2005^{2k}+1\right)\left(2005^{2k}+2\right)\)

\(=\left(2005^{2k}+1\right)\left(2005^{2k}-1+3\right)\)

Vì \(2005^{2k}-1⋮2004⋮3\) do đó \(\left(2005^n+1\right)\left(2005^n+2\right)⋮3\)

Xét \(n=2k+1\) thì \(2005^n+1=2005^{2k+1}+1⋮2007⋮3\)

Ta có ngay ĐPCM

2005+2005²+2005³+...+2005¹⁰

=2005.(1+2005)+2005³.(1+2005)+...+2005⁹.(1+2005)

=2005.2006+2005³.2006+...+2005⁹.2006

=2006.(2005+2005³+...+2005⁹)

=>2005+2005²+2005³+...+2005¹⁰ chia hết cho 2006

= 2005.(1+2005)+2005².(1+2005)+...+2005⁹.(1+2005)

= 2006.(2005+2005²+...+2005⁹) 

=> tổng trên chia hết cho 2006

nhầm chút

Mình có cách hay hơn nha !

Xét 2^n.(2^n+1).(2^n+2)

Ta thấy 2^n;2^n+1;2^n+2 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên trong 3 số có 1 số chia hết cho 3

=> 2^n.(2^n+1).(2^n+2) chia hết cho 3

Mà 2^n và 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau

=> (2^n+1).(2^n+2) chia hết cho 3

Tk mk nha

Đây là KQ của mik

Ta có: \(\left(2^n+1\right)\left(2^n+2\right)\)

\(=4^n+2^n\left(1+2\right)+2\)

Suy ra: \(=\left(4^n+2\right)+3\cdot2^n\)

Mặt khác: \(4^n\equiv1\)(mod 3)

Suy ra: \(\left(2^n+1\right)\left(2^n+2\right)\equiv3+3\cdot2^n=3\left(2^n+1\right)\)(mod 3)

Vậy: .....................

vì 2005 không chia hết cho 3
Nên 2005ⁿ không chia hết cho 3
2005ⁿ có dạng 3k+1 hoặc 3k+2
*Nếu 2005ⁿ=3k+1 => 2005ⁿ+2 chia hết cho 3
*Nếu 2005ⁿ=3k+2 => 2005ⁿ+1 chia hết cho 3

Câu 1: ta có:

\(4C=4^2+4^3+...+4^n+4^{n+1}\)lấy 4C-C ta có:\(3C=4^{n+1}-4\)

=> C=\(\frac{4^{n+1}-4}{3}\) 

b, tương tự ta có: \(5D=5+5^2+...+5^{2000}+5^{2001}\)

=> D=\(\frac{5^{2001}-1}{4}\)

Câu 2: ta có: \(2A=2+2^2+2^3+...+2^{200}+2^{201}\)

=> Lấy 2A - A, ta có: \(A=2^{201}-1\)=> A+1=2²⁰¹ -1+1=2²⁰¹ .

Vậy \(A+1=2^{201}\)

Câu 3: Ta có: \(3B=3^2+3^3+3^4+...+3^{2005}+3^{2006}\)

=> \(B=\frac{3^{2006}-3}{2}\)=> \(2B+3=3^{2006}-3+3=3^{2006}\)

Vậy 2B + 3 là một lũy thừa của 3...

Câu 4: Do 4=2²nên ta có: \(2C=2^3+2^3+2^4+...+2^{2005}+2^{2006}\)

=> \(C=2^{2006}+2^3-\left(2^2+4\right)\)=>\(C=2^{2006}\)

Vậy C là lũy thừa của 2 có số mũ là 2006

Câu 5: a, Do 3n+2 chia hết cho n-1 hay:

3n-3+5 sẽ chia hết cho n-1 =>3(n-1) +5 chia hết cho n-1...mà 3(n-1) chia hết cho n-1 nên 5 chia hết n-1;

=> n-1 thuộc (1,5,-1,-5);;; nên n tương ứng với(2;6;0;-4)

b ,Do n+6 chia hết cho n nên 6 chia hết cho n hay n là ước của 6 

nên => n thuộc (1,6,-1,-6);

c, Do 3n+4 chia hết cho n-1 hay: 3n-3+7 chia hết cho n-1

=> 3(n-1)+7 chia hết cho n-1 => 7 chia hết cho n-1;

n -1 thuộc (1,7,-1,-7) hay n sẽ tương ứng với( 2,8,0,-6);

d, Do n+5 chia hết cho n+1 hay n+1+4 chia hết cho n+1 

=> 4 chia hết cho n+1 => n+1 thuộc (1,4,-1,-4) nên n tương ứng với (0,3,-2,-5);

thanks nha

khó quá ak

ừ, bạn bik làm thì giúp mình nha ^^