\(\frac{2}{3}+\frac{2}{6}+\frac{2}{12}+\frac{2}{24}+...+\frac{2}{192}.\)

\(=2\times\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{24}+...+\frac{1}{192}\right)\)

\(=2\times\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{12}+...+\frac{1}{96}-\frac{1}{192}\right)\)

\(=2\times\left(1-\frac{1}{192}\right)\)

\(=2\times\frac{191}{192}=\frac{191}{68}\)

\(\frac{2}{3}+\frac{2}{6}+\frac{2}{12}+\frac{2}{24}+...+\frac{2}{192}\)

\(=\frac{1}{3.1}+\frac{1}{3.2}+\frac{1}{3.2^2}+...+\frac{1}{3.2^6}\)

\(=\frac{1}{3}.\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^6}\right)\)

\(=\frac{1}{3}.A\)với \(A=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^6}\)

\(\Rightarrow2A=2.\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^6}\right)\)

\(\Rightarrow2A=2+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2^5}\)

\(\Rightarrow2A-A=\left(2+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2^5}\right)-\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^6}\right)\)

\(\Rightarrow A=2-\frac{1}{2^6}=2-\frac{1}{64}=\frac{127}{64}\)

\(\Rightarrow\frac{2}{3}+\frac{2}{6}+\frac{2}{12}+\frac{2}{24}+...+\frac{2}{192}=\frac{1}{3}.\frac{127}{64}=\frac{127}{192}\)

để chứng minh A > \(\frac{4}{3}\)ta tách tổng A thành 3 nhóm :

A = \(\left(\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+...+\frac{1}{30}\right)+\left(\frac{1}{31}+\frac{1}{32}+...+\frac{1}{50}\right)+\left(\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+...+\frac{1}{70}\right)\)

A > \(\frac{1}{30}.20+\frac{1}{50}.20+\frac{1}{70}.20=\frac{2}{3}+\frac{2}{5}+\frac{2}{7}=1\frac{37}{105}>1\frac{35}{105}=1\frac{1}{3}=\frac{4}{3}\)

để chứng minh A < 2,5 ta tách tổng A thành 6 nhóm :

A = \(\left(\frac{1}{11}+...+\frac{1}{20}\right)+\left(\frac{1}{21}+...+\frac{1}{30}\right)+\left(\frac{1}{31}+...+\frac{1}{40}\right)+\left(\frac{1}{41}+...+\frac{1}{50}\right)+\left(\frac{1}{51}+...+\frac{1}{60}\right)+\left(\frac{1}{61}+...+\frac{1}{70}\right)\)

A < \(\frac{1}{11}.10+\frac{1}{21}.10+\frac{1}{31}.10+\frac{1}{41}.10+\frac{1}{51}.10+\frac{1}{61}.10< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}\)

\(=1+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\right)< 2+0,5=2,5\)

Bạn có hiểu không chi le hay để mình giải thích cho

Ta tách biểu thức thành 7 nhóm , t CÓ các nhóm sau : 

- \(\frac{1}{11}\)+\(\frac{1}{12}\)+\(\frac{1}{13}\)+...+\(\frac{1}{20}\)

- .....

Ta thấy tất cả các phân số trên đều > hơn \(\frac{1}{20}\)

=> \(\frac{1}{11}\)+\(\frac{1}{12}\)+\(\frac{1}{13}\)+....+\(\frac{1}{20}\)> \(\frac{10}{20}\)=\(\frac{1}{2}\) ( VÌ CÓ  10 phân số đều lớn hơn hoặc = \(\frac{1}{20}\))

Tương tự với 7 nhóm còn lại mỗi nhóm gồm 10 phân số ta được các phân số \(\frac{1}{3}\),\(\frac{1}{4}\),\(\frac{1}{5},\frac{1}{6},\frac{1}{7}\)

Ta cộng tổng các p/s \(\frac{1}{3},\frac{1}{4}\frac{1}{5},\frac{1}{6},\frac{1}{7}\)ta được p/s \(\frac{223}{140}>\frac{4}{3}\)

=> ĐIỀU PHẢI CHỨNG MINH

Mk chỉ làm được ở chỗ 4/3 < A thôi 

Vậy nhé bạn yêu wys!!!!!!!!!!!!!!

\(\frac{4^8.3^{12}.27^2}{6^{12}.9^3}\)

= \(\frac{\left(2^2\right)^8.3^{12}.27^2}{\left(2.3\right)^{12}.\left(3^2\right)^3}\)

= \(\frac{2^{16}.3^{12}.27^2}{2^{12}.3^{12}.27^2}\)

= \(\frac{2^{16}}{2^{12}}\)= 2⁴ = 16

\(\frac{7}{9}\)

\(\frac{12-\frac{12}{7}-\frac{12}{289}-\frac{12}{85}}{4-\frac{12}{7}-\frac{12}{289}-\frac{12}{85}}:\frac{3+\frac{3}{13}+\frac{3}{169}+\frac{3}{91}}{7+\frac{7}{13}+\frac{7}{169}+\frac{1}{91}}=\frac{12\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{289}-\frac{1}{85}\right)}{4\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{289}-\frac{1}{85}\right)}:\frac{3\left(\frac{1}{13}+\frac{1}{169}+\frac{1}{91}\right)}{7\left(\frac{1}{13}+\frac{1}{169}+\frac{1}{91}\right)}\)

\(=\frac{12}{4}:\frac{3}{7}\)

\(=3:\frac{3}{7}\)

\(=3.\frac{7}{3}\)

\(=7\)

mk nha bạn

Kaito Kid : Bạn ơi là \(4-\frac{12}{7}-\frac{12}{289}-\frac{12}{85}\) là 12 chứ ko pải là 4 đâu nên ko làm  được

Cậu tính từng bước là ra thui

\(B=81.\left(\frac{12-\frac{12}{7}-\frac{12}{7}-\frac{12}{289}-\frac{12}{85}}{4-\frac{4}{7}-\frac{4}{289}-\frac{4}{85}}:\frac{5+\frac{5}{13}+\frac{5}{169}+\frac{5}{91}}{6+\frac{6}{13}+\frac{6}{169}+\frac{6}{91}}\right).\frac{158158158}{711711711}\)

\(\Leftrightarrow B=81.\left(\frac{12\left(1-\frac{1}{7}-\frac{1}{289}-\frac{1}{85}\right)}{4\left(1-\frac{1}{7}-\frac{1}{289}-\frac{1}{85}\right)}:\frac{5\left(1+\frac{1}{13}+\frac{1}{169}+\frac{1}{91}\right)}{6\left(1+\frac{1}{13}+\frac{1}{169}+\frac{1}{91}\right)}\right).\frac{158\left(1001001\right)}{711\left(1001001\right)}\)

\(\Leftrightarrow B=81\left(\frac{12}{3}:\frac{5}{6}\right).\frac{158}{711}\)

\(\Leftrightarrow B=81\left(3.\frac{6}{5}\right).\frac{2}{9}\)

\(\Leftrightarrow B=81.\frac{18}{5}.\frac{2}{9}\)

\(\Leftrightarrow B=\frac{324}{5}\)

Hok tốt!!

@ღTĭểυ Tɦưღ

Bước 3 của cậu sai rồi nha !!