Ta có: \(\sqrt{x^2-2x+10}=\sqrt{x^2-2x+1+9}=\sqrt{\left(x-1\right)^2+9}\ge\sqrt{9}\ge3\)

          \(\sqrt{x^2+4x+5}=\sqrt{x^2+4x+4+1}=\sqrt{\left(x+2\right)^2+1}\ge\sqrt{1}\ge1\)

    \(\Rightarrow\)   \(\sqrt{x^2-2x+10}+\sqrt{x^2+4x+5}\ge1+3\ge4\)

Vậy GTNN của biểu thức là 4

\(\frac{17}{2}\)

\(\sqrt{x^2+4x+5}=\sqrt{x^2+4x+4+1}=\sqrt{\left(x+2\right)^2+1}\ge\sqrt{1}=1\)( vì ( x + 2 )² \(\ge\)0 )

vậy GTNN của biểu thức là 1 \(\Leftrightarrow x=-2\)

\(\sqrt{x^2+4x+5}=\sqrt{x^2+4x+4+1}=\sqrt{\left(x-2\right)^2+1}\)\(\ge\sqrt{1}=1\)(Vì \(\left(x+2\right)^2\)\(\ge0\))

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 1 khi \(x=-2\)

\(\sqrt{x^2+4x+5}=\sqrt{x^2+4x+4+1}=\sqrt{\left(x^2+4x+4\right)+1}=\sqrt{\left(x+2\right)^2+1}\)

Ta thấy:

\(\left(x+2\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(x+2\right)^2+1\ge1\)

\(\Rightarrow\sqrt{\left(x+2\right)^2+1}\ge1\)

Vậy GTNN của biểu thức là 1 khi  x = -2

\(M=\sqrt{x^2-4x+4}+2014\sqrt{x^2-6x+9}+\sqrt{x^2-10x+25}\)

\(M=\left|x-2\right|+2014\left|x-3\right|+\left|x-5\right|\)

\(M=\left|x-2\right|+\left|5-x\right|+2014\left|x-3\right|\)

\(M\ge\left|x-2+5-x\right|+2014\left|x-3\right|=3+2014\left|x-3\right|\ge3\)

\("="\Leftrightarrow x=3\)

2) ĐKXĐ:  \(1\le x\le5\)

\(B^2=\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x-1+5-x\right)=8\Rightarrow B\le2\sqrt{2}\)

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi x = 3