p^4-q^4 = (p^2-q^2).(p^2+q^2) = (p-q).(p+q).(p^2+q^2)

p,q là snt > 5 => p,q lẻ => p=2a+1 ; q=2b+1 ( a,b thuộc N sao )

=> p^4-q^4=(2a-2b)+(2a+2b+2).(4a^2+4b^2+4a+4b+2) = 16.(a-b).(a+b).(2a^2+2b^2+2a+2b+1) chia hêt cho 16 (1)

Lại có : p,q là snt > 5 =>p,q đều ko chia hết cho 3

=> p^2 và q^2 đều chia 3 dư 1

=> p^4 và q^4 đều chia 3 dư 1

=> p^4-q^4 chia hết cho 3 (2)

Mà p,q là snt > 5 => p,q đều ko chia hết cho 5

=> p^2;q^2 chia 5 dư 1 hoặc 4

=> p^4 và q^4 đều chia 5 dư 1

=> p^4-q^4 chia hết cho 5 (3)

Từ (1);(2) và (3) => p^4-q^4 chia hết cho 16.3.5=240 ( vì 16;3;5 là 3 số nguyên tố với nhau từng đôi một )

=> ĐPCM

Tk mk nha

bai lop may

.p4−q4=p4−q4−1+1=(p4−1)−(q4−1)
lại có 240=8.2.3.5
ta cần chứng minh (p4−1) ⋮ 240 và (q4−1) ⋮ 240
C/m: (p4−1) ⋮ 240:
(p4−1)=(p−1)(p+1)(p2+1)
vì p là số nguyến tố lớn hơn 5 nên p là số lẻ
⟹(p−1)(p+1) là tích của 2 số lẻ liên tiếp nên chia hết cho 8 (1)
Do p>5 nên:
p=3k+1→p−1=3k→p−1 ⋮ 3
hoặc p=3k+2→p+1=3(k+1)→p+1 ⋮ 3 (2)
mặt khác vì p là số lẻ nên p2 là số lẻ →p2+1 là số chẵn nên p2+1 ⋮ 2 (3)
giờ cần chứng minh p4−1 ⋮ 5:
p có thể có dạng:
p=5k+1→p−1 ⋮ 5
p=5k+2→p2+1=25k2+20k+5→p2+1 ⋮ 5
p=5k+3→p2+1=25k2+30k+10→p2+1 ⋮ 5
p=5k+4→p+1=5k+5→p+1 ⋮ 5
p=5k mà p là số nguyến tố nên k=1→p=5 (ko thỏa mãn ĐK)
⟹p4−1 ⋮ 5 (4)
từ (1),(2),(3),(4), suy ra p4−1 chia hết cho 2.3.5.8 hay p4−1 ⋮ 240
chứng minh tương tự, ta có: q4−1 ⋮ 240
Cái này đúng nhất

bài này hùi lớp 6 toớ làm rùi nhưng quên mất

p4−q4=p4−q4−1+1=(p4−1)−(q4−1)
lại có 240=8.2.3.5
ta cần chứng minh (p4−1) ⋮ 240 và (q4−1) ⋮ 240
C/m: (p4−1) ⋮ 240:
(p4−1)=(p−1)(p+1)(p2+1)
vì p là số nguyến tố lớn hơn 5 nên p là số lẻ
⟹(p−1)(p+1) là tích của 2 số lẻ liên tiếp nên chia hết cho 8 (1)
Do p>5 nên:

p=5k+1→p−1 ⋮ 5
p=5k+2→p2+1=25k2+20k+5→p2+1 ⋮ 5
p=5k+3→p2+1=25k2+30k+10→p2+1 ⋮ 5
p=5k+4→p+1=5k+5→p+1 ⋮ 5
p=5k mà p là số nguyến tố nên k=1→p=5 (ko thỏa mãn ĐK)
⟹p4−1 ⋮ 5 (4)
từ (1),(2),(3),(4), suy ra p4−1 chia hết cho 2.3.5.8 hay p4−1 ⋮ 240
chứng minh tương tự, ta có: q4−1 ⋮ 240
Kết luận.......................

p=3k+1→p−1=3k→p−1 ⋮ 3
hoặc p=3k+2→p+1=3(k+1)→p+1 ⋮ 3 (2)
mặt khác vì p là số lẻ nên p2 là số lẻ →p2+1 là số chẵn nên p2+1 ⋮ 2 (3)
giờ cần chứng minh p4−1 ⋮ 5:
p có thể có dạng:

NX : 195457 ⋮ 4195457 ⋮ 4

* pp là SNT >5>5 nên p2≡1(mod4)p2≡1(mod4). Do đó N ⋮ 4N ⋮ 4

* pp là SNT >5>5 nên p2≡1(mod3)p2≡1(mod3). Do đó N ⋮ 3N ⋮ 3

* pp là SNT >5>5 nên p4≡1(mod5)p4≡1(mod5). Do đó N ⋮ 5N ⋮ 5

Vậy suy ra N ⋮ (3.4.5)N ⋮ (3.4.5) tức là N ⋮ 60N ⋮ 60.

đầu tiên . CM : \(1954^{5^7}\)= 4m với m nguyên dương

ta sẽ chứng minh bài toán tổng quát p^4m - 1 \(⋮\)60 với mọi p nguyên tố > 5 và mọi SND m

thật vậy , p^4m - 1 = ( p⁴ )^m - 1^m = ( p⁴ - 1 ) . A = ( p - 1 ) ( p + 1 ) ( p² + 1 ) . A ( A thuộc N )

do p lẻ nên p-1,p+1 là 2 số chẵn liên tiếp suy ra ( p - 1 ) ( p + 1 ) \(⋮\)4 ( 1 )

Mà ( p - 1 ).p.(p+1 ) \(⋮\)3 . p \(⋮̸\)3  \(\Rightarrow\)( p - 1 ) ( p + 1 ) \(⋮\)3 ( 2 )

do p \(⋮̸\)5 nên p có các dạng \(\mp5k+1,\mp5k+2\)

nếu p = 5k +- 1 \(\Rightarrow\)p² = \(25k^2\mp10k+1=5n+1\)

nếu p = 5k +- 2 \(\Rightarrow\)p² = \(25k^2\mp20k+4=5q-1\)

\(\Rightarrow\)p⁴ - 1 \(⋮\)5   ( 3 )

Từ ( 1 ) , ( 2 ) và ( 3 ) \(\Rightarrow\)....

a,Do p là số nguyên tố >3=>p²=3k+1 =>p²-1 chi hết cho 3

Tương tự, ta được q²-1 chia hết cho 3

Suy ra: p²-q² chia hết cho 3(1)

Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p-1 và p+1 là 2 số chẵn liên tiếp=>(p-1)(p+1) chia hết cho 8<=>p²-1 chia hết cho 8

Do q là số nguyên tố lớn hơn 3 nên q-1 và q+1 là 2 số chẵn liên tiếp=>(q-1)(q+1) chia hết cho 8<=>q²-1 chia hết cho 8

Suy ra :p²-q² chia hết cho 8(2)

Từ (1) và (2) suy ra p^2-q^2 chia hết cho BCNN(8;3)<=> p^2-q^2 chia hết cho 24