Cho a,b,c là các số nguyên tố khác nhau đôi một.
Chứng ming rằng:\(\frac{1}{\left[a,b\right]}\)+\(\frac{1}{\left[b,c\right]}\)+\(\frac{1}{\left[c,a\right]}\)\(\le\)\(\frac{1}{3}\)
Cho a, b, c là các số nguyên tố khác nhau đôi một.
Chứng minh rằng \(\frac{1}{\left[a,b\right]}+\frac{1}{\left[b,c\right]}+\frac{1}{\left[c,a\right]}\le\frac{1}{3}\)
\(\text{Vì }\left[a,b\right],\left[b,c\right],\left[c,a\right]\text{ là BCNN}\)
\(\Rightarrow\left[a,b\right]=a.b;\left[b,c\right]=b.c;\left[c,a\right]=c.a\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left[a+b\right]}+\frac{1}{\left[b+c\right]}+\frac{1}{\left[c+a\right]}=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\)
\(\text{Giả sử }a< b< c\)
\(\Rightarrow a\le2;b\le3;c\le5\)
\(\Rightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\le\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.2}=\frac{1}{3}\)
\(\text{hay }\frac{1}{\left[a+b\right]}+\frac{1}{\left[b+c\right]}+\frac{1}{c+a}\le\frac{1}{3}\left(đpcm\right)\)
ể ==
\(2< 3\Rightarrow\frac{1}{2}>\frac{1}{3}\)
Cậu Bé Tiến Pro: e đổi dấu đi :))
Cho a, b, c là các số nguyên tố đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{\left[a,b\right]}+\frac{1}{\left[a,c\right]}+\frac{1}{\left[b,c\right]}\le\frac{1}{3}\)
Với [a,b]=BCNN(a,b)
Cho a,b,c là các số nguyên tố đôi một khác nhau
Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{\left[a,b\right]}+\frac{1}{\left[a,c\right]}+\frac{1}{\left[b,c\right]}\le\frac{1}{3}\)
Với [a,b]=BCNN(a,b)
Cho a,b,c là các số nguyên tố khác nhau đôi một
CMR : \(\frac{1}{\left[a,b\right]}+\frac{1}{\left[b,c\right]}+\frac{1}{\left[c,a\right]}\le\frac{1}{3}\)
Giả sử a< b < c thì a \(\ge\)2 , b \(\ge\)3 , c\(\ge\)5 . Ta có :
\(\frac{1}{\left[a,b\right]}=\frac{1}{ab}\le\frac{1}{6},\frac{1}{\left[c,a\right]}=\frac{1}{ca}\le\frac{1}{10}\)
=> vế trái nhỏ hơn hoặc bằng \(\frac{1}{6}+\frac{1}{15}+\frac{1}{10}=\frac{1}{3}\)
1.Hình vuông có cạnh là số tự nhiên có thể có diện tích bằng 111...111(2001 chữ số) được hay không? Vì Sao?
2.Cho a,b,c là các số nguyên tố đôi một khác nhau. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{\left[a,b\right]}+\frac{1}{\left[b,c\right]}+\frac{1}{\left[c,a\right]}\le3\)
Cho a, b, c là các số nguyên tố khác nhau đôi một
CHỨNG MINH RẰNG :\(\frac{1}{\left[a,b\right]}\)+ \(\frac{1}{\left[b,c\right]}\)+ \(\frac{1}{\left[c,a\right]}\) < hoặc bằng \(\frac{1}{3}\)
Cho a,b,c là các số nguyên khác nhau đôi một . Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị là một số nguyên :
\(P=\frac{a^3}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{b^3}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\frac{c^3}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)
P = \(\frac{a^3}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}\)\(+\)\(\frac{b^3}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}\)\(+\)\(\frac{c^3}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)
= \(\frac{a^3\left(b-c\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)\(+\)\(\frac{b^3\left(c-a\right)}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)\(+\)\(\frac{c^3\left(a-b\right)}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)\left(a-b\right)}\)
= \(\frac{a^3\left(b-c\right)+b^3\left(c-a\right)+c^3\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)
Tử số = a3(b - c) + b3(c - a) + c3(a - b)
= a3(b - c) - b3[(b - c) + (a - b)] + c3(a - b)
= a3(b - c) - b3(b - c) - b3(a - b) + c3(a - b)
= (b - c)(a3 - b3) - (a - b)(b3 - c3)
= (b - c)(a - b)(a2 + ab + b2) - (a - b)(b - c)(b2 + bc + c2)
= (a - b)(b - c)(a2 + ab + b2 - b2 - bc - c2)
= (a - b)(b - c)(a2 + ab - bc - c2)
= (a - b)(b - c)(a - c)(a + b + c)
Vậy P = \(\frac{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(a+b+c\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)= a + b + c
Vì a, b , c là các số nguyên đôi một khác nhau nên a + b + c là số nguyên
hay P có giá trị là 1 số nguyên
Tìm các số nguyên dương a,b,c đôi một nguyên tố cùng nhau sao cho \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)là số nguyên.
Cho a, b, c khác nhau đôi một. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}=\left(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\right)^2\)
đặt x=a-b;y=b-c;z=c-a
ta có x+y+z=0
nên ta có ĐPCM
\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2\)
<=> \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)\)
<=> \(2\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)=0\)
<=> \(\frac{z}{xyz}+\frac{y}{xyz}+\frac{x}{xyz}=0\)
<=> \(\frac{x+y+z}{xyz}=0\) (luôn đúng )