Giải

Đặt A = a+b+c+d = 1

      B = a+c+d = 2

      C = a+b+d = 3

      D= a+b+c = 4

Ta có A - B = b = 1 - 2 = -1

         A - C = c = 1 - 3 = -2

         A - D = d = 1 - 4 = -3

         và a = A - (-1) - (-2) - (-3) - (-4) = 1+1+2+3+4 = 11

 Vậy a = 11; b = -1; c= -2; d= -3

Ta có : b + c + d = 1 => (b + 1) + c + d = 2

=> a + c + d  = (b + 1) + c + d (= 2)

=> a = b + 1

b + c + d = 1 => b + c + (d + 3) = 4

=> b + c + (d + 3) = a + b + c (= 4)

=> a = d + 3

b + c + d = 1 => b + d + (c + 2) = 3

=> b + d + (c + 2) = a + b + d (= 3)

=> a = c + 2

=> a = b + 1 = c + 2 = d + 3

a + c + d = (c + 2) + c + d = 2

=> 2c + d = 0

a + b + c = (c + 2) + b + c = 4

=> 2c + b = 2

a + b + d = (d + 3) + b + d = 3

=> 2d + b = 0

=> 2c + d = 2d + b

=> 2c = d + b

=> b + c + d = c + d + b = c + 2c = 3c = 1 => c = 1/3 (ko thỏa mãn c thuộc Z)

Vậy ko có giá a, b, c, d nguyên  nào thỏa mãn 

Theo đầu bài ta có:
( a + b + c + d ) - ( a + c + d ) = b    =>    b = 1 - 2 = -1
( a + b + c + d ) - ( a + b + d ) = c    =>    c = 1 - 3 = -2
( a + b + c + d ) - ( a + b + c ) = d    =>    d = 1 - 4 = -3
1 - ( b + c + d ) = a                         =>    a = 1 - ( -1 + -2 + -3 ) = 7

a + b + c + d = 1
a + c + d = 2

=>(a + b + c + d)-(a + c + d)=b=1-2=-1

a + b + c + d = 1

a + b + d = 3

=> (a + b + c + d)-(a + b + d)=c=1-3=-2

a + b + c + d = 1

a + b + c = 4

=>(a + b + c + d)-(a + b + c)=d=1-4=-3

a + b + c + d = 1

b+c+d=-1+(-2)+(-3)=-6

=>(a + b + c + d )-(b+c+d)=1-(-6)=7=a

Vì a + b + c = 4

    a + b + d = -3

    a + c + d = 2

 => a + b + c + d = 4 + d = c - 3 = b - 2 = -1

=> d = -1 - 4 = -5

     b = -1 + 2 = 3

     c = -1 + 3 = 2

mà a + b + d = 4 => a + 3 - 5 = 4 => a - 2 = 4 => a = 4 + 2 = 6

thay a+b+c=-4 vào biểu thức a+b+c+d =-1 ta được:

-4+d=-1=> d=3 

ta có a+b+c=-4 và a+b+d=-3 nên a+b+c-a-b-d=-4--3=-1=> c-d =-1 

mà d=3 => c= 2 

tương tự bạn thay c và d vào biểu thức thứ 3 thì tìm được a 

sau khi tìm được a thì bạn thay a,c,d, vào biểu thức cuối thì tìm được b 

vậy a,b,c cần tìm là ...

2c=b+d và c^2+d^2 là sao? tức là 2c = luôn cả c^2+d^2 hả?